Wahrscheinlichkeitsrechnung 2 Flashcards
Formen der Interpretation von Wahrscheinlichkeiten
- Symmetrieabhänge Interpretation
- Frequentische Interpretation
- Subjektivistische Interpretation
Symmetrieabhängige Interpretation
- Alle Wahrscheinlichkeiten werden als gleich groß interpretiert (z.B. Würfel, Münze)
- Grundlage für Berechnungen
Frequentische Interpretation
-Interpretiert Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses als relative Häufigkeit, mit der es bei diversen Versuchen mit den selben Rahmenbedingungen auftritt
Subjektivistische Interpretation
- Typische Menschliche, geschätzte Interpretation
- Erfahrungswissen fördert im Allgemeinen die Qualität der Wahrscheinlichkeitsschätzung
- Schwierig zu validieren
Zufallsexperiment /Zufallsvariable
z.B. Würfelwurf (symmetrieabhängige Interpretation)
Ergebnismnenge
- Omega
- Alle möglichen Ergebnisse, Auflistung in Spezialklammern
Ereignis
- Teilmenge der Ergebnismenge
- Z.B. Würfelwurf mit ungerader Zahl
Komplementärereignis (von X)
-Alle Ergebnisse, die in der Ergebnismenge liegen, aber nicht im Ereignis X
Schnittmenge
Ergebnnisse, die sich zwei Teilmengen (Ereignisse) teilen
Disjunkte Ereignisse
Es gibt keine Schnittmenge der Ereignisse A und B
Gegenteil disjunkter Ereignisse
Ereignis B umfasst ereignis A
Vereinigungsmenge
Vereinigungsmenge der Ereignisse A und B besteht aus allen Ergebnissen, die entweder in A oder B enthalten sind
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeit von Ereignis B unter Voraussetzung, dass Ereignis A eintritt ( p(B|A) )
A Posteriori wahrscheinblichkeit
Wahrscheinlichkeit, mit der Beobachtungen auf der Grundlage von daten Gruppen zugewiesen werden
A Priori Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeit, dass eine Beobachtung einer Gruppe angehört, bevor die daten erfasst werden
Wahrscheinlichkeitsfunktion
- Einzelereignisse
- Funktion mit diskreter Variable, nur einzelne Ergebnisse möglich
Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
- Beliebige Anzahl von Ereignissen
- Funktion mit stetiger Zufallsvariable, alle Ergebnisse zwischen zwei Werten möglich
- sozusagen integrierte Wahrscheinlichkeitsfunktion
Verteilungsfunktion
- Funktion bis zu bestimmter Ausprägung
- Bei diskreter Variable Wahrscheinlichkeitsfunktion aufsummiert
- Bei stetiger Variable integrieren von - unendlich bis Variable x
Binomialverteilung
- Urnenmodell
- Zwei Merkmale der Kugeln (Schwarz oder weiß?)
- Zurücklegen der Kugeln
- Keine Bedeutung der Zugreihenfolge
- -> Einfachste mögliche Kombination
Urnenmodell
- Betrachtet abstrakt einen Behälter mit bestimmter Anzahl an Kugeln, aus denen mehrere Zufällig hintereinander gezogen werden können
Normalverteilung
- Stetige Verteilung
- Grenzfall der Binomialverteilung mit sehr vielen Ziehungen
- My: erwartungswert
- Sigma: Standardabweichung
Standardabweichung der Normalverteilung
Durchschnittliche Entfernung aller gemessenen Ausprägungen eines Merkmals vom Erwartungswert
- Je höher der Faktor vor Standardabweichung, desto größer das Intervall und desto mehr Ergebnisse sind inbegriffen
- Faktor 1: Ca. 2/3 der Ergebnisse werden abgedeckt
- Faktor 6: Qualitätssicherungskonzept Sigma 6; Prozessqualität mit 99,99% aller Ergebnisse in festgelegten Parametern
Exponentialverteilung
- nicht-symmetrische, fallende Dichtefunktion
- oder nicht-symmetrische, steigende Verteilungsfunktion
- Parameter Lambda determiniert Verlauf der Funktion
- erwartungswert = 1/Lambda
Memoryless-Effekt bei Exponentialfunktionen im Zeitkontext
Egal in welchem Zeitpunkt man sich befindet, die Angabe gilt immer für die Zukunft
Weibullverteilung
- Erweiterung der Exponentialverteilung ohne Memoryless-Effekt
- parameter Alpha (Skalenparameter) und Beta (Form- bzw. Gestaltparameter)
Erwartungswert
- mittlere Erwartung über den Ausgang einer Zufallsvariable
- muss keinem möglichen Einzelergebnis entsprechen
- My
Varianz
- Sigma (Standardabweichung) zum Quadrat
- Abkürzung var(X)
- Misst Streuung der Verteilung
Korrelation
- p(X,Y)
- Zusammenspiel zweier Verteilungen X und Y
- p=0 kein empirischer Zusammenhang
- p=1 Perfekt positiver Zusammenhang (Linearer Verlauf in positiver Richtung)
- p=-1 Perfekt negativer Zusammenhang (Linearer Verlauf in negativer Richtung)
Kovarianz
- Zusammenspiel zweier Verteilungen X und Y
- Formel Cov(XY)=My(XY) - My(X) - My(Y)
Nicht-extreme Korrelation
- lassen sich nicht mehr durch lineare Zusammenhänge beschreiben
- Je näher der korrelationswert an Extrema (-1/1), desto mehr gleicht sich die Punktewolke der Linearität an
Monte-Carlo-Simulation
- Ermittlung der Verteilung einer Zielgröße durch Zufallsziehungen aus bekannten Verteilungen der Einflussgrößen
- Voraussetzung: Dichtefunktion der Einflussfaktoren und ein Wirkungsmodell sind bekannt
