VF Torsion Flashcards
Was sind die Annahmen und die grundlegenden Voraussetzungen für die Torsionstheorie?
Annahmen:
> konst. Drillung ϑ
> Mantelfläche Lastfrei (z.B. qz, qy, qx,=0)
> Keine Normalspannungen infolge von Torsion –> Verwölbung kann sich frei einstellen/ keine Wölbbehinderung
> kleine Verformungen
> (Theorie I. Ordnung (Gleichgewichtsbetrachtungen erfolgen am unverformten System) )
-> Somit: die Torsionsbeanspruchung kann unabhängig von den anderen Beanspruchungsarten untersucht werden.
Voraussetzung:
> homogenes, isotropes Material und lineares Materialverhalten
> prismatische Stäbe mit gerader Achse
> Querschnittsabmessungen klein gegenüber der Stablänge
> Beanspruchung durch ein Torsionsmoment mit Drehsinn um die Stabachse
> der Stabquerschnitt bleibt durch die Torsionsbeanspruchung unverändert
> die Beschreibung der Querschnittsgeometrie, Verformung und Beanspruchung erfolgt in kartesischen Koordinaten x, y, z bzw. in Zylinderkoordinaten r, phi , x , wobei die x-Achse mit der Stabachse zusammenfällt, oder in speziellen Querschnittskoordinaten
Was ist die Verwölbung eines Querschnitts? Treten Verwölbungen bei allen Querschnitten auf? Wenn nicht, für welche Querschnitte? Wie kann man die Verwölbung berechnen?
Was ist die Verwölbung eines Querschnitts?:
Die Querschnittspunkte können sich in Richtung der x-Achse verschieben. Verformung von Querschnitten in Richtung der Stabachse.
Dabei wird davon ausgegangen:
…dass die Querschnittsform in jedem Schnitt senkrecht zu x weiterhin erhalten bleibt,
…dass die Querschnittsverwölbung unabhängig von der Lage x des Querschnitts ist und
…dass sich die Verwölbung ungehindert einstellen kann.
Treten Verwölbungen bei allen Querschnitten auf? Wenn nicht, für welche Querschnitte?:
Nein, aber mit wenigen Ausnahmen verwölben sich alle Querschnitte.
Ausnahmen bilden:
a) Kreis- und Kreisringquerschnitte
b) Spezielle geschlossene, dünnwandige Querschnitte, bei denen eine konstante Profildicke vorliegt und deren Mittellinien Kreistangenten-Polygone darstellen (einschließlich beliebiger Dreiecke, Quadrate und alle regelmäßigen n-Ecke).
c) Alle dünnwandigen offenen Profile mit Querschnitten, die sich aus dünnen Rechtecken aufbauen, deren Profilmittellinien sich alle in einem Punkt schneiden, wobei die Wandstärken unterschiedlich sein können. Wichtig ist hierbei der Abstand der Tangente (in einem jeweiligen Eck-Punkt) vom Schubmittelpunkt da dieser in der Gleichung zur Berechnung der Verwölbung vorkommt. Da der Schubmittelpunkt auf der Profillinie sitzt ist der Abstand = 0. –> ω = 0
Wie kann man die Verwölbung berechnen?:
Die Querschnittsverwölbung mit der Wölbfunktion: u = ω(y,z) ϑ
–> Eigenschaft, die nur von der Form des Querschnitts abhängt
–> Benötigen zur Berechnung dieser entweder Laplace’sche oder Poisson’sche DGL unter Betrachtung der RBs
Was sind Verdrehwinkel und Verdrillung? Schreiben Sie bitte die Differentialgleichung der Drillung auf.
Verdrehwinkel:
Winkel ϕ(x) um die der Querschnitt aus seiner Ursprungslage um die X-Achse gedreht wird.
Annahme: wächst linear mit der Stablänge.
Verdrillung:
Verdrehwinkel ϕ pro x-Achsenabschnitt.
Generell: Formänderung, die entsteht, wenn zwei entgegengesetzte Drehmomente die Endflächen eines zylinderförmigen Stabes um einen Winkel verdrehen.
DGL der Drillung:
ϑ = dϕ/dx = M_t(x) / (G*I_t )
–> Verdrehung: φ(x) = ϑ⋅x
Was passiert mit der Dehnung in x -Richtung, wenn die Verwölbungen nicht verhindert sind? Erklären Sie Schritt für Schritt.
Mit Wölbfunktion ergibt sich: u=ϑ⋅ω(y,z)
Damit Dehnung in x-Richtung: ϵ_x=δu/δx=δϑ/δx ω(y,z)
Aus der Annahme der kleinen Verformungen entsteht ϑ = const.
–> Schraublinie wird durch Gerade angenähert (egal wie Querschnitt)
Somit folgt für die reine Torsion keine Dehnung in x-Richtung:
ϵ_x = δu/δx = δϑ/δx ω(y,z) = 0
45.
Erklären Sie grob die Herleitung für die Laplace-Gleichung zur Bestimmung der Wölbfunktion. Wie sieht sie aus?
Grob:
Verzerrungen und Materialgesetz in GGW-Bed. Einsetzen.
–> Laplace-Gleichung (Potentialgleichung) zur Bestimmung der Wölbfunktion (unabhängig von der Belastung):
∆ω(y.z) = 0 , mit y,z ∈ Querschnitt
Genauer:
Wölbfunktion: u=ϑ⋅ω(y,z)
Keine Wölbbehinderung: ϵ_x=0
Annahme: Drillung ϑ konstant, daraus folgt: ϵ_z=ϵ_y=0,γ_yz=0
Mit Hookeschem Gesetz folgt für homogenes, isotropes Material: σ_x=σ_y=σ_z=τ_yz=τ_zy=0
Somit bleibt nur Übrig: τ_yx und τ_zx
- -> Gleichungen für τ_yx und τ_zx aus den Verformungsbetrachtungen
- -> Gleichgewicht ((1.Zeile)) : (δτ_yx)/δy+(δτ_zx)/δz=0
Nehmen RBs zu Hilfe:
Es tangieren die aus der Torsion resultierenden Schubspannungen den Querschnittsrand, und die Mantelfläche ist laut Voraussetzungen lastfrei.
–> Somit muss gelten: τ_n =! 0 = τ_xy cosα + τ_xz sin α
= τ_xy ⋅ dz/ds + τ_xz ⋅ (-dy/ds)
–> Laplace Gleichung aufstellen
46.
Unterscheiden Sie zwischen dem Torsionsträgheitsmoment It und dem polaren Trägheitsmoment Ip. Wann sind sie gleich?
Torsionsträgheitsmoment It :
Beschreibt den Widerstand gegen Torsion in Abhängigkeit von Größe und Form des Stabquerschnitts.
polares Trägheitsmoment Ip:
Beschreibt den Widerstand gegen Torsion bei wölbfreien Querschnitten.
Wenn r ↑, dann IP ↑ (Höchste Potenz: Radius)
Wann sind sie gleich?:
I_T = I_P nur für wölbfreie Querschnitte, also für den Fall ω(y, z) = 0.
(Wenn man sich Gleichung anschaut fallen Terme mit ω weg, dann bleibt Polares FTM).
Erklären Sie ganz grob die Methode der Torsionsfunktion. Wie sieht die Poissonsche Differentialgleichung aus?
–> wird benutzt um für einen allgemeinen Querschnitt das Torsionsproblem zu lösen
Man führt Torsionsfunkton Φ(y,z) ein:
τ_yx = -2Gϑ (δΦ/δz) und τ_xz = 2Gϑ (δΦ/δy)
Mit der das Gleichgewicht (δτ_yx)/δy + (δτ_zx)/δz = -2Gϑ (δ^2 Φ)/(δz δy) + 2Gϑ (δ^2 Φ)/(δy δz) = 0 in jedem Punkt erfüllt wird.
Mit Materialgesetz und Kompatibilitätsbeziehungen folgt die Poissonsche Differentialgleichung (zur Bestimmung von Φ(y,z) ): ∆Φ(y,z) = 1 , mit y,z ∈ Querschnitt
Was sagt die Überlegung nach Föppl aus?
Basiert auf Membrangleichnis:
Schmales Rechteck: verbesserte Näherungsformel für It (Bei anderem stimmen die Gleichungen immer besser, je dünner das Rechteck ist.)
Aus dünnen Rechtecken zusammengesetzte Querschnitte:
bis auf kleine Störungen im Übergangsbereich, lässt sich für IT der zusammengesetzte Querschnitt aus den Anteilen einzelner Rechtecke beschreiben.
Mit: I_t = η ∑ I_ti
η : Korrekturfaktor abhängig von Profil
Erklären Sie grob die Schritte zur Berechnung der Verwölbung eines dünnwandigen offenen sowie geschlossenen Profils. Wie kann man die Anfangsverwölbung berechnen?
Offen:
Mit Wölbfunktion
Geschlossen:
Es gilt: u = T/G ⋅ ∫(ds/t) - φ’ ⋅ ∫r_t ds + C
Mit φ’ = ϑ = M_t / (G⋅I_t ) (Durch Bredtsche Formeln errechenbar)
RB: Wegen Starrkörperverschiebung ist in der Mitte vom Querschnitt u=0
Was ist Wölbkrafttorsion?
Im Gegensatz zur reinen Torsion lässt die Theorie der Wölbkrafttorsion Wölbbehinderungen zu.
Ursachen von Wölbbehinderungen:
Lagerungen
Aussteifungen im Querschnitt
die Verbindung unterschiedlicher Querschnitte
die Verbindung gleicher im einen Winkel zueinander gedrehter oder versetzter Querschnitte
Wie kann die Verwölbung verhindert werden?
Größte Verwölbung (und größter Einfluss der Wölbkrafttorsion) bei dünnwandigen offenen Profilen –> also das nicht (sondern dickwandige, geschlossene)
Warum treten Normalspannungen bei verhinderten Verwölbungen auf?
formeln noch sagen
Wegen der Wölbbehinderung tritt in längsrichtung eine Dehnung ϵ_x auf. Da nicht mehr reine Torsion herrscht gilt ϑ≠0 .
Laut Hooke treten also auch Normalspannungen σ_x auf .
Die Dehnung klingt ab mit zunehmender Entfernung von der Stelle der Wölbbehinderung.
Formeln:
σ_x = E⋅ϵ_x ( = E⋅ϑ’(x)⋅ω(y,z) )
ϵ_x = δu/δx = ϑ’(x)⋅ω(y,z)
Wie sieht die Differentialgleichung der Wölbkrafttorsion für dünnwandige offene Profile aus?
DGL: M_t = G I_t φ’ - Eφ’’’ I_ωω
Beachte: M_t = M_(t,Saint-Vernant) - M_t*
Mit: Wölbwiderstandsmoment I_ωω=∫_(A) ω^2 dA
Wie lautet die allgemeine Lösung dieser Differentialgleichung?
Allg Lsg:
φ(x) = 1/λ [A sinh(λx) + B cosh(λx) ] + M_t/(GI_t ) x + C
Mit: λ = √( GI_t / EI_ωω )
Welche Bedeutung hat der Abklingfaktor?
Wird definiert als k≔λ⋅l
k ↑ : reine Saint-Venant-Torsion (geringer Einfluss der Wölbkrafttorsion)
k ↓ : reine Wölkrafttorsion (geriner Einfluss der SV-Torsion)
