VF Stab und Balken als Strukturelement Flashcards
Warum sind Stäbe und Balken sehr wichtig im Entwurfsprozess?
Beanspruchungsgerechtes und gewichtoptimiertes konstruieren führt vielfach auf balken- und stabförmige Strukturelemente
Bei der Prinzipfindung in frühen Stadien der Konstruktion sind nur einfache Geometrieannahmen möglich, sodass häufig Stab- und Balkenmodelle herangezogen werden
Simulation komplexer Betriebsabläufe (einschließlich Regelung) erfordern oft einfache Modelle
Wenn nur globales verhalten erforderlich ist werden bei sehr umfangreichen Modellen (Schiffe, Flugzeuge, Fahrzeuge) die einzelnen Bauteilen/Strukturen, die im globalen Verhalten eindimensionalen Modellen entsprechen, als Balken oder Stäbe modelliert
Einzelner Stab/Balken: in sich innerlich statisch bestimmt
(Um allgemein abschätzen zu können wie sich System verhält wir wissen viel über Balken)
Welche Bedingungen sollten beachtet werden, damit Stäbe und Balken als Strukturelemente verwendet werden können?
Das Modell des eindimensionalen Strukturelements setzt geometrisch voraus, dass die größte Querschnittabmessung klein gegenüber der Länge ist (oder allgemein zwei Abmessungen kleiner als eine dritte sind).
Balken:
> Für d_i/l<1/10 kann das Strukturelement als schubstarrer Balken modelliert werden
–> Bernoulli-Balken
> Für 1/10 Timoschenko-Balken
Stab:
i.d.R. nur Zug bzw. Druck- Beanspruchung
- (halb!)
Was sagt das Saint-Venantsche Prinzip für den Stab aus?
An Enden (Randbedinungen), Übergangsstellen (Geometrie, Lasten, Material,…) und Lasteinleitungsstellen treten Störungen des eindimensionalen Zustands auf, die durch das eindimensionale Modell nicht repräsentiert werden können. In der Regel klingen derartige Störungen schnell ab (was aber nicht heißen soll, dass sie immer unproblematisch sind). Als Richtgröße für das Abklingen gilt ein Abstand vom Ort der Störung der der größten Querschnittabmessung entspricht. Man kann also davon ausgehen, dass wenn der Querschnitt konstant oder nur schwach veränderlich ist, in hinreichender Entfernung vom ungleichförmigen Lastangriff die Spannungen infolge F_N in allen Punkten des Querschnitts gleich sind.
Weiter quantifizierbar wird das Prinzip von Saint-Venant durch Betrachtungen von Timoshenko. Beispielsweise lässt sich beim Biegebalken eine Abklinglänge für die Spannungen definieren, die etwa dem Balkendurchmesser entspricht.
Welche Annahmen sollten zur Herleitung der allgemeinen Stab-Balken-Theorie getroffen werden?
Die Grundannahmen bestehen darin, dass man einem Querschnitt nur bestimmte Verformungsmöglichkeiten zubilligt (kinematische Grundannahmen).
Grundannahme 1:
Es wird angenommen, dass die Gestalt eines Querschnitts auch bei der Deformation erhalten bleibt (Hypothese vom Erhaltenbleiben der Querschnittgestalt).
Grundannahme 2:
Es wird ferner angenommen, dass Querschnitte bei der Deformation eben bleiben (Hypothese vom Ebenbleiben der Querschnitte). also z.B. keine Verjüngungen
Grundannahme 3:
Für σx wird ein „eindimensionales Fasergesetz“,
σ_x = E (ϵ_x - α∆T)
zugrunde gelegt.
Gleichzeitig zu Grundannahme 3 gilt also:
ϵ_y=0
ϵ_z=0
γ_yz=0
Unabhängig von den vorhandenen Spannungen und Temperaturen. Der Querschnitt verhält sich in y- und z-Richtung „unendlich steif“. Das ursprünglich isotrope Material ist durch ein künstliches, orthotropes Material ersetzt worden. Aus dem dreidimensionalen Stoffgesetz ist ein eindimensionales Stoffgesetz für die Fasern in x-Richtung geworden.
Somit wirken in einem Stabquerschnitt bei Biegung und Dehnung σx ,
τxz und τxy , sowie ϵx, γxy und γxz auf.
Muss der E-Modul bei der Bernoulli-Hypothese immer konstant über den Balkenquerschnitt vorausgesetzt werden? Muss der Koordinatenursprung immer am Flächenschwerpunkt liegen?
Der E-Modul kann von x, y und z abhängen, E = E(x, y, z) . (Querschnittsfläche auch).
Anschauliche Interpretationen sind aber sehr mühsam. Vereinfachungen sind durch eine geeignete Wahl des y-z-Koordinatensystems möglich.
Bestimmbar ist:
a) die Lage des Koordinatenursprungs (also nein)
((-> z.B. elast. Schwerpunkt als Koordinatenursprung))
b) eine Drehung des Koordinatensystems um die x-Achse
(Mithilfe von Drehmatrizen: ( y_neu ; z_neu ) = (cosα, sinα ; - sinα , cosα )⋅(y_alt; z_alt )
((-> z.B. um Biegehauptachsen zu erhalten))
Erklären Sie den Begriff Flächenträgheitsmomente. Was sagen sie aus?
Bezeichnet wie groß der Wiederstand eines Querschnittes gegen eine Verformung von außen ist.
Axiales Flächenträgheitsmoment:
beschreibt die Querschnittsabhängigkeit der Verbiegung eines Balkens unter Belastung .
> Nur positive Werte
> axiales Flächenträgheitsmoment ↑ = Verbiegung und die im Querschnitt entstehenden inneren Spannungen ↓
> wesentlichstes Maß im Querschnitt ist die Ausdehnung in Richtung der angreifenden Kraft
I_y=∫(A) z^2 dA
I_z=∫(A) y^2 dA
z = senkrechter Abstand der y-Achse zum Element dA
y = senkrechter Abstand der z-Achse zum Element dA
Polares Flächenträgheitsmoment:
setzt sich aus beiden Flächenträgheitsmomenten zusammen -> Ip = Iy + Iz
Mit dem polaren Flächenträgheitsmoment wird das Flächenträgheitsmoment einer Fläche um einen zu definierenden Punkt (meist ihr Schwerpunkt) beschrieben. Das wesentlichste Maß im Querschnitt ist dabei die radiale Ausdehnung.
Deviationsmoment:
wird benutzt zur Berechnung der Verformung und der Spannungen bei belasteten asymmetrischen Profilen bei asymmetrischer Belastung symmetrischer (oder beliebiger) Profile.
Es gilt: Iyz = 0, wenn die y-Achse oder die z-Achse eine Symmetrieachse des Querschnitts ist. Die zugehörigen Flächenträgheitsmomente heißen dann Hauptträgheitsmomente und nehmen in diesem Falle extremale Werte an.
I_yz= - ∫_(A) yz dA
Satz von Steiner:
Anteil der dazugerechnet werden muss, wenn wir unser Flächenträgheitsmoment nicht bezüglich der Hauptachsen berechnen wollen. ( -> + a^2⋅A)
Was sind Biegehauptachsen? Kann ihr Ursprung beliebig sein? Wie kann man sie berechnen?
Was und Berechnen:
Werden verwendet wenn man die Biegeebenen entkoppeln will
-> Führen dazu η - ξ -koordinatensystem ein wobei die Achsen die Biegehauptachsen sind.
Trifft zu wenn Koppelbiegesteifigkeit Bηξ = 0, daraus folgt, dass die η-Achse oder die ξ-Achse eine Symmetrieachse des Querschnitts ist.
Koordinatensystem wird um x-Achse gedreht, mithilfe von Drehmatrizen:
(η ; ξ) = (cosα, sinα ; - sinα , cosα )⋅(y ; z )
Zusatz:
Die zugehörigen Biegesteifigkeiten heißen dann Hauptbiegesteifigkeiten und nehmen in diesem Falle extremale Werte an.
Mit Biegesteifigkeiten Bη und Bξ , und Koppelbiegesteifigkeit Bηξ berechnen: Flächenträgheitsmoment mit η und ξ, und * E im Intergal
Ursprung beliebig?:
Nein, wird um x-Achse gedreht. (Ursprung bleibt vor und nach Drehung erhalten.)
Sind die elastischen Schwerpunkte im Raum immer eine Linie? Begründen Sie.
Nein. Bei einem sich über die Stablängskoordinate ändernden Querschnitt befindet sich der elast. Schwerpunkt auf einer gekrümmten Kurve im Raum.
Siehe Formel für Berechnung von elastischem SP mit zs und zs , dieser ist abhängig von E-Modul und Querschnittsfläche. Die Verbindungslinie der elastischen Schwerpunkte ist in diesem Fall eine schwach gekrümmte Raumkurve.
(Die Gleichgewichtsbedingungen und die kinematischen Beziehungen müssten hierfür neu formuliert werden. Wir nehmen daher im Folgenden durchweg an, dass der Elastizitätsmodul, die Querkontraktionszahl und die Querschnittsgeometrie nicht von der Stablängskoordinate abhängen.)
- (Teil 1)
Erklären Sie die Bernoulli-Hypothese für einen Balken
Die Grundannahmen/Hypothesen bestehen darin, dass man einem Querschnitt nur bestimmte
Verformungsmöglichkeiten zubilligt (kinematische Grundannahmen).
Er hat mehrere Aufgestellt, die erste ist hier die wichtigste:
1) Hypothese vom Ebenbleiben der Querschnitte:
Querschnitte bleiben bei der Deformation eben.
2) Hypothese vom Erhaltenbleiben der Querschnittgestalt :
Gestalt eines Querschnitts bleibt auch bei der Deformation erhalten.
3) Hypothese vom Senkrechtbleiben der Querschnitte auf der verformten Stabachse:
Balkenquerschnitte, die vor der Deformation senkrecht auf der Balkenachse standen, stehen auch nach der Deformation senkrecht auf der deformierten Balkenachse.
- (Teil 2)
Bedenken Sie die Bernoulli-Hypothese für einen Balken. Was passiert bei der Berücksichtigung von Querkraftbeanspruchungen?
Bedenken: Hypothese vom Ebenbleiben der Querschnitte
-> Querkraftbiegung: Neben den Biegemomenten sind auch die Querkräfte verschieden von Null
Die Grundannahme vom Erhaltenbleiben der Querschnitte wird schon bei der querkraftfreien
Biegung und Dehnung verletzt, da jeder Querschnitt aufgrund der Querkontraktion deformiert wird.
Für den allgemeinen Fall der Querkraftbiegung kann der Querschnitt nicht eben Bleiben
→ Ursache Schubverformung infolge der Schubspannungen:
Wenn an den Ober- und Unterseiten der Balken keine Schubbeanspruchungen in Längsrichtung eingeleitet werden, muss die Schubspannung und damit auch die Gleitung nach dem Satz von der Gleichheit der zugeordneten Schubspannungen am Rande verschwinden und somit ungleichmäßig über den Querschnitt verteilt sein, so dass eine Verwölbung des Querschnitts eintritt.
Die Hypothese vom Ebenbleiben der Querschnitte wird aber benötigt, weil – wie bei der Normalkraft (Zug/Druck) – die Berechnung der Spannungen aus den Schnittgrößen sonst nicht eindeutig möglich ist. Im Unterschied zur Normalkraft beinhaltet diese Hypothese keine unmittelbare Aussage über die Spannungsverteilung, so dass zur Herleitung von Spannungsformeln auch Verformungsbetrachtungen notwendig sind.
Auch in der Praxis hat sich die Bernoulli-Hypothese für die Querkraftbiegung bestens bewährt. Im Zusammenhang mit der Bernoulli-Hypothese ist die Krümmung der Balkenachse als die unmittelbar durch das Biegemoment verursachte Formänderung zu betrachten -> M_b ~ κ_y (x)
63.
Erklären Sie die Bedeutungen des Flächenschwerpunktes und Schubmittelpunktes. Wie kann man sie bestimmen?
Flächenschwerpunkt:
Definition:
Punkt, an dem die Masse des Körpers die gleiche Wirkung auf andere Körper hätte, wenn sie in diesem einzigen Punkt vereint wäre.
Punkt, in dem wir einen Körper aufhängen müssten, damit sie in jeder beliebigen Lage stehen bleiben, heißt Schwerpunkt.
Symmetrielinien und Symmetrieebenen gehen durch den Schwerpunkt.
Berechnen:
Es gibt einfache Formeln für „Standart“-Flächen wie Dreieck, Viereck, Parallelogramm, Trapez, Kreisauschnitt, U-Profil etc.
Besteht ein Körper aus einem Material mit durchgängig gleicher Dichte, dann entspricht sein Massenmittelpunkt dem geometrischen Volumenschwerpunkt.
Schubmittelpunkt:
Definition:
Der Schubmittelpunkt M ist derjenige Punkt in der Querschnittsebene, bezüglich dessen das resultierende Moment Mtx(x) des Schubflusses f(s) gleich null ist.
→ Z.B. symmetrischer QS: Momenten-GGW um Punkt, an dem Symmetrielinie QS schneidet ist äquivalent mit durch Fqz erzeugtes Moment
Wenn man Querkräfte am Schubmittelpunkt einleitet wird kein Torsionsmoment erzeugt.
Berechnen:
Generell: Die Lasteinleitung Fqz(x) (Querkraft) muss parallel verschoben werden bis das Torsionsmoment Mtx(x) = 0 ist
dünnwandiger offener Querschnitt: Es gibt fertige Formel für yM und zM
Spezielle QS siehe KK
Wann kann man die Biegenormalspannungen und Schubspannungen infolge Querkraft im Einzelnen behandeln?
Bei einem prismatischen QS können Biegenormalspannungen und Schubspannungen entkoppelt betrachtet werden.
Erklären Sie grob die Schritte zur Herleitung der Biegedifferentialgleichungen für den Timoshenko-Balken. Welche Voraussetzungen sind dort zu beachten?
DGL-Herleitung:
Mithilfe von Energiemethoden,
EI_yy ψ^’=-M_by (x)
GA(ψ-ω^’ )=-κ⋅F_qz (x)
Mit: Schubverteilungszahl κ : feste Zahl, QS-Abh. KRechteck = 6/5 ; KKreis = 10/9
Annahmen:
Homogenes, isotropes, linear-elastisches Material
Lasten am Schubmittelpunkt M
Kleine Verformungen
QS abschnittsweise Konstant
Schubspannungen werden als konst. Über des QS angenommen berücksichtigung der Schubverteilungszahl κ
Folge: QS bleiben nach Verformung zwar eben, aber nicht mehr senkrecht zur Mittellinie
Wann können Biege- und Zug/Druckprobleme entkoppelt werden?
Wenn man die Zustandsgrößen des Balkens bzgl. des elastischen Schwerpunks definiert.
Wir müssen also Koordinatensystem so festlegen, dass elastischer Schwerpunkt zum neuem Koordinatenursprung S im y-z-Koordinatensystem wird.
Die für die Berechnung vom elast. SP benötigten Integrale werten wir in einem Koordinatensystem mit einem willkürlichen festgelegten Koordinatenursprung aus -> y ̃-z ̃-Koordinatensystem
Extra:
Merksätze zu Hauptachsen (3)
Verschwindet für senkrecht aufeinander stehende Achsen das Deviationsmoment (Zentrifugalmoment) so sind dies Hauptachsen
Ist eine von zwei orthogonal aufeinanderstehenden Achsen eine Symmetrieachse der Fläche, so sind beide Hauptachsen
Ist der Koordinatenursprung der Schwerpunkt, so heißen die Hauptachsen auch Hauptzentralachsen, die Hauptträgheitsmomente auch Hauptzentralmomente.
