VF Dreidimensionaler Spannungs- und Verzerrungszustand linear-elastischer Körper Flashcards
1.
Was sind die Hauptaufgaben von strukturmechanischen Berechnungen?
- wichtigste: Modellierung (müssen gewünschte Systemegenschaften abbilden können)
Generell: SBs wichitg und wichtig Gefühl zu bekommen weil sonnst passiert Zeug wie Brücke in Haus die eingestürzt ist in Hotel Kansas City
- Nachweise:
> Festigkeitsnachweise (wesentlichste)
Methoden:
• Vorh. Spannungen gegen zul. Spannungen absichern
• Aufnehmbare Traglast
• Bruchmechanische Konzepte
• Verschiebungsgrenzen einhalten
• Dynamische Belastungen, z.B. beschl. Von Teilen
• Sicherheiten gegen seismische Beanspruchungen
> Stabilitätsnachweise: (versärkt erford. v.a. wegen Leichtbau)
Lassen sich in Form kritischer Spannungen in Festigkeitsnachweise integrieren. - Strukt. Untersuchungen Beinhalten:
> Unterstützung der Entwurfsphase
> Gewährleistung von Sicherheit und Funktionsfähigkeit
> Optische Gestaltung (Materialeinsatz, Fertigung) - Theoretische Vorgehensweise die ergänzt wird durch:
> Experimentelle Untersuchungen für ausgewählte Bauteile unter ausgewählten Bedingungen (experimentelle Strukturanalyse)
> Versuche unter realen Bedingungen (z.B. Betriebsversuche bei Zulassungen, Crashversuche)
–> SB hilft Anzahl der notwendigen Experimente zu verringern bzw. die Experimente im Vorfeld zu qualifizieren
4.
Wie sind Normal- und Schubspannungen definiert?Wovon sind Sie abhängig?
Definiert:
Normalspannung:
= Normailkraftanteil zur Fläche
Sigma_i = dF_ni / dA_i
Schubspannung:
= Tangentialkraftanteil zur Fläche
tau_i = dF_ti / dA_i
Abhängig:
Aufteilung ist von Lage der Fläche dA_i (Schnittführung) abhängig
=> somit willkürlich
5.
Was ist ein Spannungstensor 2. Stufe? Wie viele unbekannte Größen enthält dieser Spannungstensor (im Fall keines verteilten Moments auf ein Volumenelement)?
Was:
2. Stufe (= Zwei Indizes)
> 1. Index: Richtung der Flächennormalen
> 2. Index: Richtung der Kraft/Spannung
Unbekannte:
Weil „keines verteilten Moments auf ein Volumenelement“ gilt Bolzmannsche Annahme : τ_xy= τ_yx (und die beiden anderen Schubsp.) -> Tensor Symmetrisch! E = E^T
–> 6 Unbekannte
Was sind Invarianten?
((nur nochmal gleichung mit hauptsp. aufstellen))
Jeder Spannungstensor hat drei Anteile, die gegenüber Koordinatentransformation invariant bleiben (Drehung der Koordinatenbasis).
J_1 = spur (E) J_2 = Spannungen miteinander mal genommen irgendwie ( = σ_x σ_y + σ_x σ_z + σ_y σ_z - τ_xy^2 - τ_xz^2 - τ_yz^2) J_3 = det (E)
Es gilt:
σ^3 - J_1 σ^2 + J_2 σ - J_3 = 0
Was kann man damit machen?
- Überprüfen ob Hauptspannung
- > dadurch sehe ich max. Kraftfluss durch Struktur (z.B. Faserrichtung für Komposite)
- Sind die Zwei Spannungszustände gleich nachdem KS gedreht (wenn Belastungsfall bleibt gleich)?
- Hauptspannungen bestimmen mit charakteristischer Gleichung wenn Spannungstensor E bekannt
Was sind Verschiebungen und Verzerrungen? Wie hängen sie zusammen?
Was:
Verzerrung = Veränderung der Verschiebung
Verzerrung besteht aus: Dehnung und Gleitung.
Zusammenhang:
a) Dehnung: Die auf die ursprüngliche Länge bezogene Verlängerung der Würfelseiten.
b) Gleitung: Die Abweichung vom ursprünglichen rechten Winkel des Würfels.
12.
Erklären Sie die Begriffe Volumenänderung und Gestaltänderung. Was ist ein inkompressibles Material?
Begriffe:
Deformationen lassen sich in Gestalt- und Volumenänderungen des Körpers aufteilen, wobei für einen allgemeinen Körper beide Anteile auftreten.
> Volumenänderung: Volumen verändert sich, Form (Gestalt) bleibt gleich. -> Dilatation
Gestaltänderung: Volumen bleibt gleich, Form (Gestalt) ändert sich. -> Distorsion
Inkompressibles Material:
Ändert Volumen nicht (bei konst. Temp.). Beispiel Gummi.
-> Volumenänderung nicht möglich, Gestaltänderung möglich. Bei z.B. Druckänderung.
13.
Sind die Verschiebungen und Verzerrungen immer durch lineare Beziehungen verknüpft? Was muss man zur Beschreibung von sehr großen Deformationen einer Struktur machen?
Verknüpft?
Bei kleinen Verschiebungen und Verzerrungen ja.
Es gilt dann: Es wird vorausgesetzt, dass alle Verschiebungen und Verzerrungen so klein sind, dass lineare kinematische Beziehungen verwendet werden können.
Große Deformation:
Bei den Normaldehnungen nicht Vereinfachung Treffen, dass einfach
ϵ_x=δu/δx (und für Ex und Ey) , sondern hinterer Term noch dazu:
ϵ_x=δu/δx+1/2 [( δu/δx)^2+(δv/δy )^2+(δw/δz)^2 ]
Wären die Verschiebungen sehr klein so könnte der hintere Term vernachlässigt werden, da die kleinen Terme durch Quadrierung noch kleiner werden.
14.
Was sagen die Verträglichkeitsbeziehungen aus?
> Sind Zusammenhang zwischen Dehnen und Gleiten.
wenn erfüllt dann Verschiebungsfeld einheitlich
Wir haben für 3 Verschiebungskomponenten 6 Verzerrungsgleichungen (jeweils Dehnungen und Gleitungen). Wenn die Verschiebung eindeutig ist, haben wir eine Abhängigkeit zwischen den Verzerrungen (Dehnen und Gleiten); es liegen also Verträglichkeitsbeziehungen vor.
Mathematische Bedeutung:
- stetige Differenzierbarkeit der Verschiebungen
- stetiges Verschiebungsfeld
Mechanische Bedeutung:
- Vor, während, und nach der Belastung passen benachbarte Elemente zusammen.
- Keine Klaffungen/Durchdringungen bei der Verformung.
–> Bedingung ist erfüllt, wenn alle Terme von Verträglichkeitsbeziehungen = 0 werden
Zeichnen Sie den Verlauf der Spannungs-Dehnungs-Beziehung eines weichen Stahls und markieren Sie die markanten Punkte. Wie sieht die Beziehung für ein ideal elastisch-plastisches Material aus?
Achsen:
> Spannung σ : Beschreibt wieviel Kraft jeder mm^2 der Querschnittsfläche aufbringen muss, um den Werkstoff unter der Belastung zusammen zu halten. σ=F/A_i
> Dehnung ϵ : Prozentuale Längenänderung ϵ=∆L/L_0 in %
Elastischer Bereich:
> Zugprobe geht nach Wegnahme der Belastung wieder in die ursprüngliche Lage zurück
> Gefüge wird nicht beschädigt, innere Struktur unversehrt
0,01% - Dehngrenze (Rp0,01):
Wenn Stoff keine ausgeprägte Streckgrenze hat wird sie bei einer Dehnung von 0,01% festgelegt
Fließbereich:
> Wird elastisch und plastisch Verformt -> Die neue Länge besitzt einen elastischen und einen plastischen Anteil
> Länge geht nach Wegnahme der Belastung etwas zurück, aber nicht bis L0 -> bleibende plastische Verformung
Obere Streckgrenze (ReH) und untere Streckgrenze (ReL): > oberen Streckgrenze wird bei Belastung zunächst erreicht, dann schwankt Spannung bei weiterer Steigerung der Dehnung leicht um unteren Streckgrenze -> kann als Materialinstabilität interpretiert werden (praktische Bedeutung dieses Phänomens gering)
Verfestigungsbereich:
> Verfestigung tritt ein
> Verhalten ab jetzt abhängig davon, um was für ein Bauteil es sich handelt und in welchem Systemzusammenhang das Bauteil verwendet wird (oft ähnlich wie bei Fließbereich)
Zugfestigkeit Rm:
>Ab hier beginnt Einschnürung
ϵ ↑ , aber ∅↓ , somit σ ↓
Beziehung:
erst linear, dann gerader horizontaler strich sobald Fließbereich erreicht wird
+ was passiert wenn man doch och spannungen oberhalb der fließspannung zulässt?
Was sagt der E-Modul aus? Wie groß ist er ungefähr für Stahl? Was beschreibt
die Poissonzahl ϑ?
E-Modul (Elastizitätsmodul) :
Der Materialkennwert beschreibt bei linear-elastischem Verhalten den proportionalen Zusammenhang zwischen Spannung und Dehnung bei der Verformung eines festen Körpers.
E=σ/ε=const. ; [E] = Pa
-> Proportionalitätskonstante im Hookeschen Gesetz
E-Modul von Stahl:
E=210000 N/mm^2 =210 kN/mm^2 =210 GPa
Poissonzahl ν:
auch Querkontraktionszahl, Materialkennwert, gehört zu den elastischen Konstanten eines Materials, dient der Berechnung der Querkontraktion
-> Verhältnis aus einer relativen Änderung der Dicke zu einer relativen Änderung der Länge, sobald eine äußere Kraft bzw. Spannung auf ein bestimmtes Werkstück einwirkt.
-> Wie verändert sich Volumen wenn ich an Probe ziehe?
Verhalten beim Auseinanderziehen:
- ν ≈ 0,5 : Volumen bleibt (fast) gleich.
- 0 < ν < 0,5 : Volumen der Probe nimmt zu. Die Probe wird zwar dünner, aber nicht so sehr, dass das Volumen gleich bliebe.
- ν > 0,5: Volumen nimmt ab
((- ν < 0: Probe wird dicker))
Charakteristische Werte:
- Metalle (z.B. Stahl) : ν≈0,3
- Inkompressibles Material (z.B. Gummi): ν=0,5
- Kork: ν≈0
- Holz („orthotropisches“ Material, abhängig von der Faserorientierung) und Faserverbundkunststoff (abhängig von der Faserorientierung): ν>0,5
Vorsicht! In manchen wissenschaftlichen gebieten (z.B. Geotechnik):
Poissonzahl (Formelzeichen: m) wird als Kehrwert der Querkontraktionszahl (FZ: ν) bezeichnet! -> m=1/ν
Erklären Sie die Kraftgrößenmethode und die Deformationsmethode.
Uberlegen, was wir als unsere Hauptunbekannten festlegen wollen:
a) Kraftgrößenmethode: Die Spannungen sind die Hauptunbekannten
> sechs Unbekannte: σ_x, σ_y, σ_z, τ_xy, τ_xz, τ_yz
> Müssen GGW-Bez. Und RBs erfüllen
Gleichungen reichen nicht aus,, brauchen noch Verträglichkeitsbeziehungen (statisch unbest. Problem).
> z.B. angewandt bei Airysche Sp.-Fkt
b) Deformationsmethode: Die Verschiebungen der Punkte eines elastischen Körpers sind die Hauptunbekannten
> Unbekannte: u(x, y, z,), v(x, y, z), w(x, y, z)
> Dafür benötigen wir drei GGW-bez. und die drei RBs die die äußeren Kräfte (die Belastungen) enthalten.
> Wenn die Verschiebungen bestimmt sind, können die Verzerrungen aus den Cauchyschen Gleichungen und damit die Spannungen aus dem Hookschen Gesetz ermittelt werden.
–> Deformationsmethode mathematisch einfacher und erfordert weniger Gleichungen.
Wie kann die Zulässigkeit eines Spannungszustands bewertet werden? Wann sind die Hauptspannungshypothese, die Schubspannungshypothese oder die Gestaltänderungshypothese anzuwenden?
(Frage äquivalent zu Konstruktion auf Festigkeit überprüfen.)
Mit Vergleichsspannungen: σ_v ≤ σ_zul
Um die zwei Spannungszustände bei σ_v≤σ_zul miteinander vergleichen zu können brauchen wir Festigkeitshypothesen.
Die wichtigsten Festigkeitshypothesen:
Hauptspannungshypothese
> Annahme:
Die maximale Hauptspannung ist für das Versagen des Bauteils verantwortlich. -> σ_v=σ_1
> Anwendung:
spröde Werkstoffe
> Achtung:
Liefert für zähes Material zu niedrige Werte für σv -> Gefahr der Unterschätzung
Schubspannungshypothese
>Annahme:
Die maximale Schubspannung ist für das Versagen des Bauteils verantwortlich. -> σ_v=σ_1-σ_3 (Hauptspannungsdifferenz entspricht dem doppelten Wert der maximalen Schubspannung)
> Anwendung:
zähe Werkstoffe
> Achtung:
Liefert für nicht-zähes Material zu hohe Werte für σv -> Werkstoff wird nicht ausgenutzt/Gefahr der Überschätzung
Gestaltänderungshypothese von Mises
> Annahme:
Die maximale Gestaltänderung ist für das Versagen des Bauteils verantwortlich. -> σ_v= ~ Lange Gleichung in der Normalspannungen und Schubspannungen alle mit drin sind ~
> Anwendung:
mittelzähe / duktile Werkstoffe -> für übliche Metalle
Wie kann man die zulässige Spannung eines Materials bestimmen?
Mit dem Zugversuch. Spannungs-dehnungs-Diagramm erstellen und relevante Werte verwenden:
σ_zul = R_e/S oder R_p0,01/S (beides Fließen) oder R_m/S (Bruch)
S: Sicherheitsbeiwert aus Normen/Regelblättern (1 > S)
Wozu benötigt man Festigkeitshypothesen?
Wir haben bei Berechnungen und im allgemeinen einen 3D-Spannungszustand. (daraus σ_v)
Beim Zugversuch haben wir einen einachsigen Spannungszustand. (daraus σ_zul)
Wir benötigen Festigkeitshypothesen um die zwei Spannungszustände miteinander vergleichen zu können bei σ_v≤σ_zul .
Wie sieht die Vergleichsspannung σv nach von Mises aus und welche Bedeutung hat sie?
Gestaltänderungshypothese von Mises
> Annahme:
Die maximale Gestaltänderung ist für das Versagen des Bauteils verantwortlich. -> σ_v= ~ Lange Gleichung in der Normalspannungen und Schubspannungen alle mit drin sind ~
> Anwendung:
mittelzähe / duktile Werkstoffe -> für übliche Metalle
