Topologia della retta reale

Question 1

Aperto

Answer 1

Sottoinsieme di R unione di intervalli aperti
Per ogni x in A, esiste ε>0 t.c. ]x-ε,x+ε[ è sottoinsieme di A

Question 2

Chiuso

Answer 2

Sottoinsieme di R il cui complementare è aperto
Contiene tutti i suoi punti di accumulazione

Question 3

Proprietà aperti

Answer 3

1) R e ∅ sono aperti
2) L’intersezione finita di aperti è un aperto
3) L’unione infinita di aperti è un aperto

Question 4

Proprietà chiusi

Answer 4

1) R e ∅ sono chiusi
2) L’unione finita di chiusi è un chiuso
3) L’intersezione infinita di chiusi è un chiuso

Question 5

N, Z, Q aperti o chiusi

Answer 5

N è chiuso
Z è chiuso
Q non è nè chiuso nè aperto

Question 6

Intorno di un punto

Answer 6

Sottoinsieme di R che contiene un aperto che contiene Xo
U è un intorno di Xo <=> esiste A aperto che contiene Xo sottoinsieme di U

Question 7

Intorno di +∞ e -∞

Answer 7

Semiretta [a,+∞[
Semiretta ]-∞,a]

Question 8

Intorno sferico di Xo con raggio r
(+teorema)

Answer 8

Intorno di Xo della forma ]Xo-ε,Xo+ε[
Ogni intorno contiene un intorno sferico

Question 9

Intorno destro e sinistro

Answer 9

Intervalli (NON INTORNI) della forma
]Xo,a[
]a,Xo[

Question 10

Proprietà di separazione

Answer 10

Dati x,y in R bar => esistono U e V, intorni di x e di y, disgiunti

Question 11

Punti interni ad A (Å)

Answer 11

Se esiste un intorno U di x tale che U è un sottoinsieme di A

Question 12

Punti esterni ad A

Answer 12

Se esiste un intorno U di x tale che U e A sono disgiunti

Question 13

Punti di bordo /di frontiera (∂A)

Answer 13

Punti nè esterni nè interni ad A

Question 14

Punti isolati

Answer 14

Se esiste un intorno U di x tale che U intersecato ad A = {x}

Question 15

Punti aderenti ad A
(+regola)

Answer 15

Se per ogni intorno U di x, U e A sono disgiunti
I punti aderenti sono o di accumulazione o isolati

Question 16

Punto di accumulazione

Answer 16

Se per ogni intorno U di x, l’intersezione tra U - {x} e A non è vuota