Insiemi numerici

Question 1

Numeri naturali
(scrittura e proprietà)

Answer 1

N={0,1,2,…}
-Totalmente ordinato rispetto a ≤

Question 2

(Assioma) Principio del minimo intero

Answer 2

Ogni sottoinsieme di N ammette minimo

Question 3

Principio di induzione

Answer 3

Dato un predicato P(n) definito per ogni n≥n. von n. naturale, se P(n.) è vero (BASE INDUTTIVA) e se assunto vero P(n) vero segue che P(n+1) è vero (PASSO INDUTTIVO) → P(n) è vero per ogni n≥n.

Question 4

Coefficiente binomiale
(definizione ricorsiva)

Answer 4

(ⁿk)={0 se n=0; n!/((n-k)!k!) se 0≤k≤n}

Question 5

Binomio di Newton

Answer 5

(a+b)ⁿ=sommatoria tra n e k=0 di (ⁿk) aⁿ-bⁿ-k

Question 6

Numeri interi
(scrittura e proprietà)

Answer 6

Z={0,±1,±2,…}
-Associativo, elemento opposto ed elemento neutro rispetto alla somma

Question 7

Numeri razionali
(scrittura e proprietà)

Answer 7

Q={p/q | p,q appartiene a Z}
-Totalmente ordinato rispetto a ≤
-Numerabile
-Denso
-Proprietà di Archimede

Question 8

Numeri reali
(proprietà e sezioni di Dedekind)

Answer 8

-Somma associativa, commutativa, elemento neutro e opposto
-Prodotto associativo, commutativo, elemento neutro e opposto
-Distributività ridpetto alla domma
-Rispetta l’assioma di Dedekind

Question 9

Definizione di intervallo

Answer 9

Sottoinsieme I di R non vuoto tale che per ogni x,y in R
x<k<y => k appartiene a I

Question 10

Tipi di intervalli

Answer 10

1) Chiuso: [a,b] cioè x appartiene a R t.c. a<=x<=b
2) Aperto: ]a,b[ cioè x appartiene a R t.c. a<x<b
3) Misti: ]a,b] oppure [a,b[

Question 11

Intervallo limitato

Answer 11

Sottoinsieme A di R non vuoto se esistono m,M in R t.c. per ogni a appartenente ad A si ha che m<a<M

Question 12

Estremo superiore (definizione e caratterizzazione)

Answer 12

E’ il minimo tra i maggioranti di un insieme
A=min{x appartiene a R t.c. a<=x per ogni a appartenente ad A}
CARATTERIZZAZIONE
-S>=a per ogni a in A
-Per ogni ε>0 esiste a in A t.c. a>S-ε

Question 13

Estremo inferiore (definizione e caratterizzazione)

Answer 13

E’ il massimo tra i minoranti di un insieme
A=max{x appartiene a R t.c. x<=a per ogni a appartenente ad A}
CARATTERIZZAZIONE
-s<=a per ogni a in A
-Per ogni ε>0 esiste a in A t.c. a<s+ε

Question 14

Proprietà di Archimede

Answer 14

Per ogni x,y in A positivi esiste n naturale tale che nx>y

Question 15

Proprietà di densità

Answer 15

Per ogni x,y in A con x<y esistono infiniti z appartenenti ad A tali che x<z<y

Question 16

Assioma di Dedekind

Answer 16

Dati due indiemi non vuoti, se per ogni elemento a e b, a≤b → esiste c reale tale che per ogni coppia di a,b a≤c≤b