Limiti di funzioni

Question 1

Limite per x->+∞

Answer 1

Per ogni intorno U di l esiste x bar in R tale che per ogni x appartenente a [x bar, +∞[ (nel DOMINIO) f(x) appartiene ad U
SOLO SE +∞ è un PUNTO DI ACCUMULAZIONE del dominio

Question 2

Limite per x->-∞

Answer 2

Per ogni intorno U di l esiste x bar in R tale che per ogni x appartenente a ]-∞, x bar] (nel DOMINIO) f(x) appartiene ad U
SOLO SE -∞ è un PUNTO DI ACCUMULAZIONE DEL DOMINIO

Question 3

Caratterizzazioni limite finito a +/-∞

Answer 3

-Se per ogni ε > 0 esiste x bar reale tale che per ogni x>=x bar (nel DOMINIO) |f(x) -l|<ε
-Se per ogni ε > 0 esiste x bar reale tale che per ogni x<=x bar (nel DOMINIO) |f(x) -l|<ε

Question 4

Caratterizzazioni limite infinito a +/-∞

Answer 4

-Se per ogni M>0 esiste x bar reale tale che per ogni x>=x bar (nel DOMINIO) f(x)>M (oppure f(x)<-M se l= -∞)
-Se per ogni M>0 esiste x bar reale tale che per ogni x<=x bar (nel DOMINIO) f(x)>M (oppure f(x)<-M se l= -∞)

Question 5

Limite in un punto

Answer 5

Per ogni intorno U di l esiste un intorno V di x star tale che per ogni x in V - {x star} (nel DOMINIO) f(x) appartiene a U

Question 6

Caratterizzazione limite finito in un punto

Answer 6

Per ogni ε>0 esiste δ(ε) tale che per ogni x nel dominio|
x-x star|< δ(ε) => |f(x) - f(x star)| < ε

Question 7

Teorema ponte

Answer 7

Il limite di f(x) per x ->x star è l <=> per ogni successione Xn nel dominio di f - {x star} se x-> x star => f(x) -> l

Question 8

Definizione di continuità

Answer 8

-Se x star è punto di accumulazione del dominio e nel DOMINIO allora f(x) è
continua in x star <=> limite per x -> x star di f(x) = f(x star)
-Sia f da A->R, con x star in A, f è continua se per ogni intorno U di f(x star) esiste un intorno V di x star tale che per ogni x nell’intorno V, f(x) appartiene a U

Question 9

Limiti notevoli

Answer 9

-Limite per x che tende a 0 di (sinx)/x = 1
-Limite per x che tende a 0 di (cosx)/x^2 = 1/2
-Limite per x che tende a 0 di (e^x - 1)/x = 1
-Limite per x che tende a 0 di (ln(1+x))/x = 1
-Limite per x che tende a 0 di (arctanx)/x = 1
-Limite per x che tende a 0 di (arcsinx)/x = 1
Limite per x che tende a +∞ di (1+1/x)^x = e
Limite per x che tende a 0+ di x^α*ln(x)^β = 0 per OGNI α,β reali

Question 10

Proprietà della continuità

Answer 10

1) Località della continuità: se esiste un intorno di x star in cui f è continua e f(x)=g(x) con x star nel dominio di g => g è continua in x star
2) Limitatezza locale: se f è continua in x star ed esiste un intorno V di x star => f|V è limitata
3) Permanenza del segno: se f è continua in x star ed esiste un intorno V di x star e f(x star) non è nullo => f|V ha segno costante
4) Algebra della continuità: se f e g sono continue in uno stesso intervallo => f+/-g , f*g , f/g , |f| sono continue
5) Continuita della composizione: se f è continua in x star e g è continua in f(x star) => g°f è continua
6) Se A ammette sup(A) e f è continua su A e A u sup(A) è sottoinsieme del dominio di f con f crescente => il limite per x che tende a sup(A) di f(x) = f(sup(A))

Question 11

Teorema di esistenza degli zeri

Answer 11

Se f è continua in un intervallo chiuso e limitato con f(a)f(b)<0 => esiste almeno un ξ in [a,b] tale che f(ξ) = 0

Question 12

Teorema dei valori intermedi
(+corollario)

Answer 12

Se f è continua in un intervallo chiuso e limitato => f assume utti i valori tra f(a) e f(b)

Se f è continua in un intervallo => l’immagine di f in quell’intervallo è un intervallo con sup(f) e inf(f) come estremi

Question 13

Teorema sull’inversa continua

Answer 13

Se f è continua e invertibile in un intervallo => f^-1 è continua nell’intervallo immagine

Question 14

Teorema di Weierstrass

Answer 14

Se f è continua in un intervallo chiuso e limitato => f ammette massimo e minimo

Question 15

Teorema di limitatezza

Answer 15

Se f è continua in un intervallo chiuso e limitato => f è limitato

Question 16

Punti di discontinuità

Answer 16

1) Punto di salto: limite destro e sinistro esistono entrambi finiti ma diversi
2) Seconda specie: almeno uno tra limite destro e sinistro non esistono o sono infiniti
3) Discontinuità eliminabile: limite destro e sinistro esistono finiti uguali ma diversi dal valore della funzione in quel punto

Question 17

Definizione funzione lipschitziana
(+corollari)

Answer 17

Se esiste L<=0 tale che per ogni x,y nel dominio di f si ha:
|f(x)-f(y)|<=L|x-y|
dove la minore delle L è detta costante di Lipschitz

-f lipschitziana => f continua
-f lipschitziana => f uniformemente continua

Question 18

Definzione funzione uniformemente continua
(+corollario)

Answer 18

Se per ogni ε>0 esiste δ tale che per ogni x,y nel dominio di f
|x-y|< δ => |f(x) - f(y)| < ε

-f uniformemente continua => f continua

Question 19

Teorema di Heine-Cantor

Answer 19

Se f è continua in un intervallo chiuso e limitato => f è uniformemente continua in quell’intervallo

Question 20

Teorema uniformemente continua

Answer 20

f definita su un intervallo aperto limitato ed f è uniformemente costante => esiste f tilde da [a,] in R continua che coincide con f in ]a,b[

Question 21

Teorema della farfalla

Answer 21

f definita da [a,+∞[ in R ed uniformemente continua =>
esistono m,q reali tali che |f(x)|< m|x|+q per ogni x in [a,+∞[

Question 22

Teorema dell’asintoto

Answer 22

f definita da [a,+∞[ in R e f è continua ed ha un asintoto (orizzontale/obliquo) => f è uniformemente continua su [a,+∞[

Question 23

Infinitesima di ordine superiore
(+o-piccoli)

Answer 23

f è un infinitesima di ordine superiore a g se f e g sono entrambe infinitesime per x che tende a x star se il limite per x che tende a x star di f/g è zero
f è infinitesima di ordine superiore a g <=> f(x) = o(g(x))

Question 24

Algebra degli o-piccoli

Answer 24

1) ko(f) = o(f)
2) o(f) + o(f) = o(f)
3) o(o(f)) = o(f)
4) o(f+(o(f)) = o(f)
5) fo(g) = o(fg)
6) o(f) * o(g) = o(fg)

Question 25

Infinitesimo di ordine α

Answer 25

Se vale f(x) = L(x - x star)^α + o(x - x star)^α