Successioni e limiti

Question 1

Predicato definitivamente vero

Answer 1

Esiste n bar tale che per ogni n>=n bar P(n) è vero

Question 2

Predicato frequentemente vero

Answer 2

Per ogni n bar esiste n>=n bar P(n) è vero

Question 3

Definizione di successione

Answer 3

Applicazione definita in una semiretta di N

Question 4

Definizione sottosuccessione / successione estratta

Answer 4

Composizione An ° k con k definita da un sottoinsieme di N a N, mantenendo l’ordine degli indici

Question 5

Teorema successione def. limitata

Answer 5

Ogni successione definitivamente limitata

Question 6

Definizione limite di successione

Answer 6

Per ogni intorno U di l esiste un intorno V di +∞ tale che per ogni n appartenente a V intersecato N An appartiene a U

Question 7

Tipologie di limite di successione

Answer 7

1) Convergente = An ha limite finito l (se l=0 An è infinitesimo)
2) Divergente = An ha limite infinito l = ∞
3) Irregolare = non esiste il limite di An

Question 8

Proprietà del limite di successioni

Answer 8

1) Se il limite esiste è unico
2) Ogni sottosuccessione tende al limite della sua successione
3) Criterio di non congruenza: se due sottosuccessioni hanno limite diverso la successione non ammette limite

Question 9

Teoremi di confronto

Answer 9

1) Ogni successione convergente è limitata
Se An -> +/-∞ => An è inferiormente/superiormente limitata
2) Teorema della permanenza del segno: se An ha limite positivo/negativo => An è definitivamente positiva/negativa
3) Inverso del teorema della permanenza del segno: se An è (maggiore/minore) o uguale a zero => il limite è (maggiore/minore) o uguale a zero
4) Teorema dei carabinieri: se An e Cn hanno lo stesso limite finito e An < Bn < Cn definitivamente => Bn tende allo stesso limite di An e Cn
5) Se An diverge positivamente e An<Bn definitivamente => Bn diverge positivamente
6) Se An tende a l => |An| tende a |l|
7) Se An tende a +/-∞ e Bn è limitata inf/sup => An + Bn tende a +/-∞
8) Se An è infinitesima e Bn è limitata => An * Bn tende a 0
9) Ogni successione monotona ammette limite

Question 10

Definizione di continuità (successioni)

Answer 10

Una funzione reale di variabile reale è continua in Xo se per ogni Xn nel dominio di f, se Xn tende a Xo => f(Xn) tende a f(Xo)

Question 11

Proprietà funzioni continue

Answer 11

-Ogni funzione elementare(polinomi, trigonometriche, iperboliche, esponenziali, logaritmiche) e le loro inverse sono continue dove definite
-Se f e g sono continue: f+/-g, f*g, f/g sono continue

Question 12

Gerarchia degli infiniti

Answer 12

n^n»n!»q^n»n^k»loga(n)
per ogni q>1, k>0, a>0

Question 13

Criterio del rapporto

Answer 13

Data una successione An a termini positi, se il limite per
n–>+∞ di An+1/An esiste finito (l) allora:
-l>1: An tende a +∞
-0<=l<1: An tende a 0
-l=1 non ci sono informazioni sul limite

Question 14

Criterio della radice

Answer 14

Data una successione An a termini positivi, se il limite per
n–>+∞ di An+1/An esiste finito (l) allora il limite per n–>+∞ della radice n-esima di An tende alla radice n-esima di l

Question 15

Definizione e^x

Answer 15

Limite per n–>+∞ di (1+(x/n))^n

Question 16

Teorema di Bolzano-Weierstrass

Answer 16

Ogni successione di reali limitata ammette almeno una sottosuccessione convergente

Question 17

Conseguenze BW

Answer 17

-Ogni successione di reali ammette una sottosuccessione con limite
-Ogni successione di reali ammette una sottosuccessione monotona

Question 18

Punto limite
(+teorema)

Answer 18

Limite di una sottosuccessione di An
An ammette limite <=> An ha un unico punto limite

Question 19

Successione di Cauchy
(+teorema)

Answer 19

Se per ogni ε>0 esiste n bar tale che |Am - An| < ε per ogni m,n > n bar
An è convergente <=> An è di Cauchy