Derivate

Question 1

Definizione di rapporto incrementale

Answer 1

R(x,Xo) = (f(x)-f(Xo))/(x- Xo) con Xo nel DOMINIO di f
Definita in dom(f) - {Xo}

Question 2

Definizione di derivata in Xo

Answer 2

Limite per x->Xo di R(x,Xo)

Question 3

Funzione derivabile in Xo

Answer 3

Se esiste finita la derivata f’(Xo)

f è derivabile se e solo se f(x)=f(Xo) + f’(Xo)(x-Xo) + o(x-Xo)

Question 4

Punti di non derivabilità

Answer 4

1) Flesso a tangente verticale: derivata sinistra e destra sono entrambe +/-∞
2) Punto angoloso: esistono derivata destra e sinistra diverse con almeno una finita
3) Cuspide: derivata destra e sinistra sono entrambe infinite con segno opposto

Question 5

Operazioni algebriche derivata

Answer 5

1) Somma di derivabili è derivabile con (f+g)’ = f’+g’
2) Prodotto di derivabili è derivabile con (fg)’ = f’g+fg’
3) Reciproco di derivabile è derivabile con (1/f)’ = -(f’/f^2)
4) Rapposto di derivabili è derivabile con
(f/g)’ = (f’g-f*g’)/g^2

Question 6

Teorema composta derivabile

Answer 6

Composizione di derivabili è derivabile con (f°g)’ = f’(g)*g’

Question 7

Teorema inversa derivabile

Answer 7

Inversa di derivabile è derivabile con (f^-1)’=1/(f’(f^-1(x))

Question 8

Derivate fondamentali

Answer 8

-(k)’=0
-(x^a)’=ax^(a-1)
-(sinx)’=cosx
-(cosx)’= -sinx
-(tanx)’=1/(cos(x)^2)
-(a^x)’=(a^x)ln(a)
-(loga(x))’=(1/x)*1/(ln(a))
-(sinhx)’=coshx
-(coshx)’=sinhx
-(tanhx)’=1/(cosh(x)^2
-(arcsinx)’=1/(sqrt(1-x^2))
-(arccosx)’=1/(-sqrt(1-x^2))
-(arctanx)’=1/(1+x^2)
-(settsinhx)’=1/(sqrt(1+x^2))
-(settcoshx)’=1/(sqrt((x^2)-1))
-(setttanhx)’=1/(1-x^2)

Question 9

Teorema di Fermat

Answer 9

Se Xo è un punto di massimo/minimo locale interno e f è derivabile in Xo => f’(Xo)=0

Question 10

Teorema di Rolle

Answer 10

Se f è continua [a,b] e derivabile in ]a,b[ con f(a)*f(b)<0 => esiste ξ appartenente ad ]a,b[ tale che f’(ξ)=0

Question 11

Teorema di Lagrange

Answer 11

Se f è continua in [a,b] e derivabile in ]a,b[ => esiste ξ appartenente ad ]a,b[ tale che f’(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)

Question 12

Teorema di Cauchy

Answer 12

Se f e g sono continue in [a,b] e derivabili in ]a,b[ => esiste ξ appartenente ad ]a,b[ tale che f’(ξ)(g(b)-g(a))=g’(ξ)(f(b)-f(a))

Question 13

Conseguenze Lagrange

Answer 13

1) Se f è derivabile in un intervallo con f’(x)=0 per ogni x dell’intervallo => f è costante
2) Se f e g sono derivabili in un intervallo e f’(x)=g’(x) per ogni x dell’intervallo => f e g differiscono per una costante
3) Se f è derivabile in un intervallo tale che per Xo interno all’intervallo con f(Xo)=0
CASO 1- la derivata cambia segno tra intorno destro e sinistro di Xo => Xo è un punto di minimo/massimo
CASO 2 - la derivata non cambia segno nell’intorno => f è monotona nell’intorno
4) f derivabile su un intervallo <=> f è lipschitziana sull’intervallo