Termodugga Ch 5 - 8 Jock

Question 1

5.1 Förklara vad som avses med volymändringsarbete. Ange ett generellt uttryck på hur detta arbete kan beräknas (slutet system).

Answer 1

Volymändringsarbete = det arbete som innebär förflyttning av ett systems begränsningsyta i sam- band med kraftverkan i förflyttningens riktning (normalkrafter); W_b = ∫ P_b dV, där P_b är trycket verkande mot systemgränsen där volymändring dV sker. (s. 142/3)

Question 2

5.2 Härled ett uttryck på det mekaniska arbete måste tillföras för att komprimera en gas i en cylinder m.h.a. en friktionsfri (lättrörlig) kolv.

Om processen är kvasistatisk, hur kan då detta arbete åskådliggöras i ett tillståandsdiagram?

Answer 2

Arbetets belopp är enligt mekaniken produkten mellan kraftkomposanten i förflyttningens riktning och förflyttningen. Vid en liten förflyttning ds av kolven är detta arbete F ds. Eftersom kolven är friktionsfri är kraften F lika med trycket som verkar mot kolvens inneryta multiplicerat med denna ytas area, F = P_bA. Arbetet blir δW_b = P_bA ds = P_b dV, där dV är volymsfo ̈rändringen (W_b =volymändringsarbete).

Vid kvasistatisk process är trycket hela tiden homogent i behållaren, P_b = P . Efter integration fås W_b = ∫ P dV , vilket representeras av ytan under processkurvan i P-V–diagram. (s. 142/3)

Question 3

5.3 Bestäm volymändringsarbetet vid en kvasistatisk isoterm process för en ideal gas. Givna data är temperaturen, gasens begynnelse- och slutvolym, liksom gasens massa och gaskonstant.

Answer 3

Kvasistatiskt volymändringsarbete: W_b = P dV. För en ideal gas gäller PV = mRT, d.v.s. mRT ln V₂/V₁. (s. 145) vid isoterm process P = C/V där C = mRT = konst. Insättning ger Wb = C ∫ dV/V = mRT ln V₂/V₁. (s. 145)

Question 4

5.4 Ange de generellt accepterade teckenreglerna för arbete resp. värme. Illustrera med figur.

Answer 4

Arbete räknas positivt om systemet utför arbetet (inverkan på systemets omgivning kan tänkas helt omvandlat till lyftning av en vikt). Arbetet är negativt om det är omgivningen som utför det positiva arbetet. Värme räknas positivt om värme “tillförs” systemet, d.v.s. om systemets temperatur (lokalt) är lägre än omgivningens. (s. 69, 148)

Question 5

5.5 (a) Ange termodynamikens första huvudsats gällande ett slutet system. Ingående storheter skall klarläggas. Hur formuleras denna om systemet genomgår en kretsprocess?

Answer 5

För alla processer med ett slutet system gäller att summan av nettoutbytet in av värme och arbete är lika med systemets totala energiändring. I symboler: Q_net,in + W_net,in = Q_net,in − W_net,out = ∆E_sys, eller med teckenkonvention: Q−W = ∆E. För en kretsprocess är ∆E = 0, d.v.s. Q = W. (s. 148)

Question 6

5.5 (b) Under vilka omständigheter för slutna system gäller Q − W_other = ∆H? Visa att relationen följer under dessa omständigheter.

Answer 6

Sambandet gäller vid kvasistatiska isobara processer med enkla kompressibla system. Alla slutna system: Q−W = ∆E; enkla kompressibla system: ∆E = ∆U; arbetsuppdelning, W = W_b+W_other; kvasistatisk isobar process: W_b = ∫ PdV = P∆V; H = U + PV, d.v.s. ∆H = ∆U +P∆V vid konstant tryck (isobar process). Insättning ger Q − W_other = ∆U + P ∆V = ∆H . (s. 149/50)

Question 7

5. 6 Definiera eller förklara kortfattat
   (a) polytrop process

Answer 7

= en process där sambandet mellan tryck P och volym V kan beskrivas m.h.a. PVⁿ = C, där C och n är konstanter; n = polytropexponent. (s. 146)

Question 8

5. 6 Definiera eller förklara kortfattat
   (b) specifik värmekapacitet cv

Answer 8

c_v = (∂u/∂T)_v, partiella derivatan av den inre energin per massenhet m.a.p. temperaturen vid konstant volym. Alt. i ord: cv är summan av det värme och arbete som måste tillföras 1 kg av ett ämne för att öka dess temperatur 1 K vid en isokor process. (s. 152/3)

Question 9

5. 6 Definiera eller förklara kortfattat
   (c) specifik värmekapacitet c_p

Answer 9

c_p = (∂h/∂T)_P, partiella derivatan av entalpin per massenhet m.a.p. temperaturen vid konstant tryck. Alt. i ord: c_p är summan av det värme och arbete (volymändringsarbete oräknat) som måste tillföras 1 kg av ett ämne för att öka dess temperatur 1 K vid en isobar process. (s. 152/3)

Question 10

5. 6 Definiera eller förklara kortfattat
   (d) perfekt gas

Answer 10

Perfekt gas = ideal gas med konstanta c_p och c_v. Ideal gas = gas som uppfyller Pv = RT. (fö)

Question 11

5.7 Visa att c_p − c_v = R för en ideal gas; utgångspunkt: matematisk definition av c_v .

Answer 11

c_v = (∂u/∂T)_v, där u(T,v). För en ideal gas beror inre energin u endast av temperaturen, u = u(T) ⇒ c_v = du/dT eller du = c_vdT. Entalpi: h = u+Pv=u+RT = h(T), ty Pv=RT för en ideal gas. c_p = (∂h/∂T)P = dh/dT (inget beroende av P) ⇒ dh = c_p dT = du+RdT = (c_v+R)dT, d.v.s. c_p − c_v = R. (s. 154–156)

Question 12

6.1 Formulera i ord och symboler principen om massans oförstörbarhet gällande en kontrollvolym.

Answer 12

Nettotransporten av massa in i en kontrollvolym (öppet system) är lika med ändringen av kontroll- volymens massa, m_in − m_out = ∆m_CV. (s. 182)

Question 13

6.2 Härled energiekvationen vid stationär strömning genom en kontrollvolym med flera homogena in- och utlopp. Om in- och utmatningsarbete (eng. flow work) vid in- resp. utlopp tolkas som energi (under transport) skall detta tydligt motiveras.

Answer 13

Energibalans: E_in − E_out = ∆E_CV, eller med teckenkonvention Q − W + E_mass,in − E_mass,out = ∆E_CV, da ̈r Q = Q_in −Q_out, W = W_out −W_in = W_b +W_other.

Eftersom kontrollytor vid stationära förhållanden måste vara fixerade är det enda volymändringsarbetet W_b i detta fall den energitransport som sker vid in- och utmatning av massa vid in- och utlopp. Betrakta ett inlopp (in- matning). Under en viss (kort) tid ∆t trycker omgivningen här in massan m_i sträckan L m.h.a. trycket P. Trycket verkar i samma riktning som fo ̈rflyttningen, vilket inneba ̈r arbetet P AL = P V = P v m_i = (P v)_inm_i. Denna energitransport tillförs kontrollvolymen.

På motsvarande sätt för utmatning vid utlopp; bortförd energi: (Pv)_outm_e. Eftersom energi är en massberoende storhet bär masselementen m_i och m_e också med sig energi (m_i e_in resp. mee_out ). Efter insättning fås (flera in-och utlopp): Q−W_other+∑m_i(e+Pv)_in−∑m_e(e+Pv)_out =∆E_CV =0, ty energ info är CV (vid stationära förhållanden) är konstant i tiden. Med e = u + ke + pe, h = u + P v (entalpi) och θ = h+pe+ke fås Q−W_other = ∑m_eθ_e −∑m_iθ_i (index e vid utlopp; i vid inlopp). Division med ∆t → 0 ger Q ̇ − W ̇ _other = ∑ m ̇ _eθ_e − ∑ m ̇ _iθ_i. (s. 187–189, 193, fö)

Question 14

6.3 Vilken intensiv tillståndsstorhet kan oftast betraktas som konstant vid stationära (tidsoberoende) förhållanden genom en adiabatisk strypanordning? Beskriv varför.

Answer 14

Entalpi h kan oftast betraktas som konstant vid adiabatisk strypning (ex. strypventiler, kapillärrör, m.m.). Betrakta en kontrollvolym (CV) runt en strypanordning med ett inlopp (i) och ett utlopp (e). Energiekvationen vid stationär strömning: q − w_other = h_e − h_i + ∆ke + ∆pe. Vid strypning sker expansion (tryckminskning) utan (tekniskt) arbetsutbyte, w_other = 0; adiabatisk process, q = 0. Oftast kan också ändringar i potentiell och kinetisk energi (mellan in- och utlopp) försummas, ∆pe = ∆ke = 0. Energiekvationen ger h_e = h_i eller h = konst. (s. 201)

Question 15

7.1

Vad menas med ett värmemagasin? Ange minst två exempel.

Answer 15

Ett värmemagasin är ett system med vilket värme kan utbytas med dess omgivning utan att systemets temperatur ändras; värmemagasin har mycket hög värmekapacitet. Exempel: atmosfären, sjöar och vattendrag, system under fasomvandling, värmepannor. (s. 235)

Question 16

7.2

Definiera

(a) termisk verkningsgrad ηth

Answer 16

Termisk verkningsgrad = nettoarbete ut dividerat med totalt tillfört värme, η_th = W_net,out/Q_in; kretsprocess, slutet system = värmemotor. (s. 238)

Question 17

7.2

Definiera

(b) köldfaktor COP_R

Answer 17

Köldfaktor = upptaget värme dividerat med processens nettoarbete in,

COP_R = Q_in/W_net,in;

kretsprocess, slutet system = kylmaskin. (s. 243)

Question 18

7.2

Definiera

(c) värmefaktor COP_HP

Answer 18

Värmefaktor = bortfört värme dividerat med processens nettoarbete in, COP_HP = Q_out/W_net,in;

kretsprocess, slutet system = v¨armepump. (s. 243)

Question 19

7.3

Ange Kelvin-Plancks resp. Clausius formulering av termodynamikens andra huvudsats. Illustrera. Visa att de bägge formuleringarna är ekvivalenta.

Answer 19

Kelvin-Planck: Det är omöjligt att konstruera en värmemotor vilken uträttar arbete och enbart tillförs värme, se Fig. 7-18.

Clausius: Det är omöjligt att konstruera en kretsprocessmaskin vars enda verkan är att uppta värme vid en låg temperatur och avge detsamma (lika mycket) vid en högre temperatur, se Fig. 7-26.

(1) A (Kelvin-Planck) möjlig ⇒ B (Clausius) möjlig. Låt den tänkta maskinen A driva en vanlig kylmaskin R. Kombinationen (kretsprocessmaskinen) A + R har nu som enda verkan att uppta värme vid en låg temperatur och avge detsamma (lika mycket) vid en högre, en maskin B.
(2) B möjlig ⇒ A möjlig. Låt en vanlig värmemotor HE arbeta mellan samma två värmemagasin som den tänkta maskinen B. Anpassa HE så att den avger lika mycket värme som B upptar (via värmemagasinet TL). Kombinationen B + HE+ värmemagasinet TL är nu likvärdig med en maskin A, vilken upptar värme vid en temperatur och helt omvandlar detta värme till arbete. (s. 241/247/248)

Question 20

7.4

Definiera eller förklara kortfattat vad som menas med reversibel resp. internt reversibel process. Ange minst fyra grundläggande faktorer (irreversibiliteter) som var och en och när en sådan uppträder gör en process irreversibel.

Answer 20

Vid revertering av en reversibel process återställs både system och omgivning, både system och omgivning genomlöper då exakt samma jämviktstillstånd.

Vid revertering av en internt reversibel process återställs systemet men inte omgivningen, systemet (men inte omgivningen) genomlöper då exakt samma jämviktstillstånd.

Vid en reversibel process uppträder inga irreversibiliteter i vare sig systemet eller i omgivningen, vid internt reversibel process endast i omgivningen.

Exempel på grundläggande irreversibiliteter:

(1) friktion,
(2) blandning av gaser (diffusion),
(3) expansion utan arbetsutbyte,
(4) värmeutbyte vid ändlig temperaturdifferens,
(5) kemiska reaktioner,
(6) elektriskt motstånd, . . . (s. 248–251)

Question 21

7.5

Formulera och bevisa Carnots principer angående termisk verkningsgrad för reversibla och irreversibla värmemotorer. Illustrera.

Answer 21

(1) Termisk verkningsgrad för en irreversibel värmemotor är alltid lägre än för motsvarande reversibla värmemotor.

Bevis: De bägge maskinerna arbetar mellan samma värmemagasin och anpassas så att de (båda var för sig) mottar lika mycket värme Q_H från det varma magasinet vid T_H, se Fig. 7-39.

Revertera nu den reversibla motorn (så att den blir en kylmaskin). Dess bägge värmeutbyten liksom dess arbetsutbyte byter riktning utan att beloppen ändras. Nettovärmeutbytet med det varma magasinet är nu noll. Antag nu att den irreversibla motorn har högre termisk verkningsgrad än den reversibla,

ηth,irrev > ηth,rev,

d¨ar ηth = Wnet,out/QH =

1 − QL/QH (Wnet,out =

QH − QL; kretsprocess).

Den irreversibla motorn avger då mindre spillvärme till det kalla magasinet (vid T_L) än den reverterade motorn upptar,

QL,rev − QL,irrev > 0.

Den ger ju också ut mer arbete än den reverterade mottar. De bägge maskinerna tillsammans med det varma magasinet vid T_H är nu en omöjlig maskin enligt Kelvin-Plancks formulering.

Verkningsgraden kan därför inte vara högre för den irreversibla motorn.

Verkningsgraderna kan ju heller inte vara lika eftersom den irreversibla motorn då skulle vara reversibel.

Alltså gäller η_th,irrev < η_th,rev.

(2) Alla reversibla värmemotorer vid vilka värmeutbytet med omgivningen sker vid två konstanta temperaturer har samma termiska verkningsgrad.

Bevis: Antag att två reversibla värmemotorer är kopplade mellan samma värmemagasin. Enligt beviset f¨or Carnots första princip kan varken den ena eller den andra motorns termiska verkningsgrad vara högre än den andra. De måste därför vara lika. (s. 253/4)

Question 22

7. 6
   (a) En uppfinnare påstår sig ha tillverkat en värmemotor som vid optimala driftsförhållanden har en termisk verkningsgrad av η_th = 40%, då arbetsmediets högsta och lägsta temperatur är 177◦C resp. 27◦C. Kan detta vara möjligt? Motivera.

Answer 22

Den högsta termiska verkningsgrad en värmemotor kan ha är η_th,max = 1 − T_L/T_H, där T_L och T_H är processens lägsta och högsta temperatur

(Carnotmotor, reversibel kretsprocess; värmeutbyte med värmemagasin T_L och T_H, vid försumbara temperaturdifferenser).

Detta fall:

T_L = 27◦C = (27 + 273) K = 300 K,

TH = 177◦C = (177 + 273) K = 450 K,

ηth,max = 1 − 300/450 =

1 − 2/3 =

1/3 = 33% < 40%,

d.v.s. omöjligt. (s. 257)

Question 23

8.1

Med utgångspunkt i Clausius olikhet för internt reversibla kretsprocesser med slutna system, definiera entropi (entropiändring) samt visa att entropi är en tillståndsstorhet.

Answer 23

Clausius olikhet:

(Cirkelintegrral)(δQ/T) ≤ 0 (kretsprocess, slutet system).

Likhetstecknet gäller internt reversibel kretsprocess.

Definition av entropiändring, godtyckligt liten del av en process: dS = (δQ/T)_{int rev}, d.v.s. ändlig process (1 → 2):

∆S = S2 − S1 = ∫ (δQ/T)_{int rev},

där T är temperaturen på systemgränsen där värmeutbytet δQ sker.

Entropi är en tillståndsstorhet eftersom den inte ändras om processen genomlöper en kretsprocess, (Cirkelintegral) dS = 0. (s. 277/8)

Question 24

8.2

Bestäm entropiändringen för ett slutet system som genomgått en internt reversibel isoterm process.

Answer 24

Enligt definition (slutet system):

∆S = S2 − S1 =

∫ (δQ/T)_{int rev} =

T₀⁻¹∫ (δQ)_{int rev} =

Q/T0 = (Qin − Qout)/T0,

där T0 är systemets konstanta temperatur. (s. 279)

Question 25

8.3

Med utgångspunkt i Clausius olikhet, (Cirkelintegral) (δQ/T) ≤ 0, härled ett generellt samband för principen om entropins tillväxt.

Formulera denna princip i ord.

Answer 25

Betrakta en godtycklig tillståndsförändring

(process) 1 → 2.

Bilda nu en tänkt kretsprocess med en internt reversibel process

2 → 1 (tillbaks till utgångstillståndet).

Clausius olikhet ⇒ (Cirkelintegral) (δQ/T) =

∫²₁ (δQ/T) + ∫ 1 2 (δQ/T)int rev ≤ 0.

Enligt definition av entropiskillnad är andra termen lika med S1 − S2, d.v.s.

S2 − S1 = ∆S ≥ ∫ 2 1 (δQ/T).

Denna olikhet gäller alla slutna system. Speciellt för isolerade system (δQ = 0) kan inte entropin minska, ∆S_isol. ≥ 0, där likhetstecknet endast gäller internt reversibla processer.

Eftersom system + tillräckligt stor omgivning med inverkan av systemet/processen kan betraktas som ett slutet, isolerat system, samt då inga processer är helt reversibla, gäller generellt att summan av systemets och omgivningens entropiändring, processens totala entropigenerering, alltid är större än noll,

∆Stot = ∆Ssys + ∆Ssurr = Sgen,tot > 0. (s. 280–282)

Question 26

8.4

Beskriv delprocesser i Carnotprocessen samt rita upp denna i ett T-s-diagram för ett enhetligt ämne samt i ett P-v-diagram för en ideal gas (slutet system).

Härled processens termiska verkningsgrad

(utgångspunkt: definition av entropiskillnad).

Answer 26

1 → 2: värmetillförsel Q_H vid konstant temperatur T_H,

2 → 3: adiabatisk expansion,

3 → 4: värmebortförsel Q_L vid konstant temperatur T_L < T_H,

4 → 1: adiabatisk kompression.

Processen är reversibel vilket t.ex. innebär att angivna värmeutbyten sker vid försumbar temperaturdifferens. Dessutom är givetvis alla delprocesser internt reversibla vilket enligt definition av entropiändring,

∆S = ∫ (δQ/T)_{int rev}, innebär att de adiabatiska delprocesserna 2 → 3 och 4 → 1 sker vid konstant entropi (isentroper).

I ett T-s-diagram blir Carnotprocessen en rektangel (2 isotermer, 2 isentroper), se Fig. 8-19.

I ett P-v-diagram för en ideal gas lutar isentroper mer nedåt jämfört med isotermer, se Fig. 7-35/6.

Termisk verkningsgrad: η_th = W_net,out/Q_H;

kretsprocess: W_net,out = Q_net,in = Q_H − Q_L,
d. v.s. η_th = (Q_H − Q_L)/Q_H =

1 − QL/QH.

Enligt definition av entropiskillnad (värmeutbyte vid konstant temperatur, reversibla delprocesser):

S2 − S1 = QH/TH samt S4−S3 = −QL/TL.

Eftersom

S2−S1 = S3−S4

fås QL/QH = TL/TH,

d. v.s. η_th,Carnot = 1−TL/TH.
(s. 251/252/278/288/289)

Question 27

8.5

Härled de s.k. T ds-relationerna (två stycken). Utgå från energiekvationen i differentierad form för ett enkelt kompressibelt system.

Answer 27

Enkelt kompressibelt system,

energibalans: δQ − δW = dU,

per massenhet δq − δw = du.

Betrakta en internt reversibel process med enbart kvasistatiskt volymändringsarbete. Enligt definition av entropiskillnad:

δq = δqint rev = T ds.

Enligt definition av kvasistatiskt volymändringsarbete:

δw = δwb = P dv, d.v.s.

T ds = du + P dv (T ds-relation 1).

Via definition av entalpi,

h = u + P v, fås

dh = du + P dv + v dP, d.v.s.

T ds = dh − v dP (T ds-relation 2).

(s. 293/4)

Question 28

8.6

Ange ett entropisamband (m.h.a. symboler) gällande alla processer och alla system.

Klargör termerna och ange speciellt ett generellt villkor för en av termerna.

Answer 28

Alla system, alla processer:

Sin −Sout +Sgen = ∆Ssys.

Sin och Sout är transport av entropi in resp. ut ur systemet p.g.a. mass- och värmeutbyte;

Sgen är genererad entropi innanför systemgränsen (kontrollytan);

∆Ssys är systemets totala entropiändring.

Sgen är alltid större än eller lika med noll,

Sgen ≥ 0. (s. 316/318/319)