Dugga Plugga Kugga Wilmer X_X

Question 1

2. 1 Definiera eller förklara kortfattat
   (a) slutet system (system) (s. 24)

Answer 1

= en identifierbar, fixerad mängd massa, omsluts av systemgräns. (s. 24)

Question 2

2. 1 Definiera eller förklara kortfattat
   (b) kontrollvolym (öppet system) (s. 24/25)

Answer 2

= en specificerad volym, t.ex. runt en kompressor eller en turbin. Massa tillåts passera volymens s.k. kontrollytor. (s. 24/25)

Question 3

2. 1 Definiera eller förklara kortfattat
   (c) tillståndsstorhet (s. 25)

Answer 3

= en mätbar storhet för ett system i jämvikt. (s. 25)

Question 4

2. 1 Definiera eller förklara kortfattat
   (d) intensiv/extensiv storhet (s. 25)

Answer 4

En extensiv storhet är propertionell mot systemets massa (massberoende storhet), t.ex. energi.

En intensiv storhet är oberoende av systemets massa (massoberoende storhet), t.ex. temperatur. (s. 25)

Question 5

2. 1 Definiera eller förklara kortfattat
   (e) termodynamisk jämvikt

Answer 5

Vid jämvikt för ett system existerar inga drivande potentialer inom systemet. För termodynamisk jämvikt krävs

* termisk jämvikt (samma temperatur överallt),

* mekanisk jämvikt (samma tryck),

* fasjämvikt (samma massa i varje komponent) samt

* kemisk jämvikt (samma kemiska sammansättning). (s. 27/28)

Question 6

2. 1 Definiera eller förklara kortfattat
   (f) enkelt kompressibelt system

Answer 6

= ett system med försumbar inverkan av rörelse, gravitation, ytspänning samt elektriska och magnetiska krafter. (s. 28)

Question 7

2. 1 Definiera eller förklara kortfattat
   (g) tillståndsförändring (process)

Answer 7

= förändring som sker när ett system går från ett jämviktstillstånd till ett annat. (s. 29)

Question 8

2. 1 Definiera eller förklara kortfattat
   (h) kvasistatisk process

Answer 8

= en process som sker så långsamt att avvikelser från jämviktsförhållanden under processen är försumbara. (s. 29)

Question 9

2. 1 Definiera eller förklara kortfattat
   (i) isoterm/isobar/isokor process

Answer 9

Isoterm process: process vid konstant temperatur;

isobar process: ∼ konstant tryck;

isokor: ∼ konstant volym. (s. 29)

Question 10

2. 1 Definiera eller förklara kortfattat
   (j) cyklisk process (kretsprocess)

Answer 10

= en process där mediet återgår till begynnelsetillståndet vid slutet av processen, oftast repetitivt. (cykliskt). (s. 30)

Question 11

2. 1 Definiera eller förklara kortfattat
   (k) stationär process

Answer 11

= process i vilken alla flöden genom en kontrollvolym är konstanta i tiden;

alla storheter är konstanta i tiden i resp. punkt inom kontrollvolymen. (s. 30)

Question 12

2. 1 Definiera eller förklara kortfattat
   (l) den exakta relationen mellan Kelvins och Celsius temperaturskalor.

Answer 12

T [K] = T [◦C] + 273.15 (s. 33)

Question 13

2.2

Formulera det så kallade tillståndspostulatet (eng. The State Postulate).

Answer 13

Tillståndet (jämviktstillståndet) för ett enkelt kompressibelt system är fullständigt beskrivet av två oberoende intensiva tillståndsstorheter, t.ex.

temperatur T och volymitet v. (s. 28)

Question 14

2.3

Redogör för termodynamikens nollte huvudsats. (Vad är lika resp. olika temperatur?)

Answer 14

Två system har samma temperatur om de är i termisk jämvikt med varandra, d.v.s. om ingen förändring sker om de får kommunicera (bortsett från ev. kemiska reaktioner).

Betrakta två system (S1 och S3) som har samma temperatur. När system S3 förs i kontakt med ett system S2 sker märkbara förändringar. Om dessa inte beror av kraftverkan mellan systemen är temperaturen för S1 och S2 olika. (f¨o, s. 30/31)

Question 15

3.1

Redogör detaljerat för de energiformer som innefattas i begreppet inre energi.

Answer 15

Inre energi = summan av molekylernas kinetiska och potentiella energi relativt masscentrum. Uppdelning kan göras i sensibel och latent energi, kemisk energi samt kärnenergi;

sensibel energi är summan av molekylernas kinetiska energi (translation, rotation, vibration, etc.);

latent energi den potentiella energi som kommer sig av bindningar mellan molekyler;

kemisk energi = potentiell energi p.g.a. bindningar mellan atomer;

kärnenergi = potentiell energi upplagrad inom atomkärnorna. (s. 61)

Question 16

3.2

Definiera begreppet värme (värmeutbyte). Vad avses med adiabatiska förhållanden eller att en process är eller kan betraktas som adiabatisk?

Answer 16

Värme är det (energi-)utbyte mellan system och dess omgivning som sker p.g.a. temperaturdifferens.

En adiabatisk process är en process utan värmeutbyte (Tsys = Tsurr) eller en process där värmeutbytet kan försummas. (s. 62/66/67)

Question 17

3.3

Definiera begreppet arbete (termodynamiskt). Förklara varför arbete inte kan vara en tillståndsstorhet.

Answer 17

Ev. massutbyte oräknat är arbete det energiutbyte (under en process) som inte är värme (värme är det energiutbyte som sker p.g.a. olikhet i temperatur).

Arbete är ett energiutbyte som sker p.g.a. kraftverkan längs en sträcka. Arbetet beror av processvägen och kan därför inte vara en mätbar egenskap för ett system i jämvikt. (s. 68/69)

Question 18

3.4

Formulera i ord och symboler principen om energins oförstörbarhet gällande en kontrollvolym. Energiutbyte kan ske på tre olika sätt, vilka?

Answer 18

Netto energiutbyte in i en kontrollvolym (öppet system) via värmeutbyte, arbetsutbyte och masstransport är lika med energiändringen inom kontrollvolymen,

E_in − E_out = Q_in − Q_out + W_in − W_out + E_mass,in − E_mass,out = ∆E_CV.

(s. 78–80)

Question 19

4. 1 Definiera eller förklara kortfattat
   (a) enhetligt ämne

Answer 19

= homogent ämne med enhetlig kemisk sammansättning även om fasomvandling sker. (s. 102)

Question 20

4. 1 Definiera eller förklara kortfattat
   (b) kondensation

Answer 20

= fasomvandling ånga (gas) till vätska. (s. 104)

Question 21

4. 1 Definiera eller förklara kortfattat
   (c) komprimerad vätska

Answer 21

= vätska som inte är på gränsen till förångning. (s. 104)

Question 22

4. 1 Definiera eller förklara kortfattat
   (d) mättad vätska/ånga

Answer 22

Mättad vätska: vätska som är på gränsen till förångning.

Mättad ånga: ånga som är på gränsen till kondensation. (s. 104)

Question 23

4. 1 Definiera eller förklara kortfattat
   (e) överhettad ånga

Answer 23

= ånga som inte är på gränsen till kondensation. (s. 105)

Question 24

4. 1 Definiera eller förklara kortfattat
   (f) ångtryckskurva

Answer 24

= kurva som anger sambandet mellan förångningstemperatur och tryck, slutar i kritiska punkten. (s. 106)

Question 25

4. 1 Definiera eller förklara kortfattat
   (g) kritisk punkt

Answer 25

= det jämviktstillstånd (gränspunkt i tillståndsdiagram) där mättad vätska = mättad ånga;

det går inte att särskilja vätska och ånga (gas) i den kritiska punkten. (s. 108)

Question 26

4. 1 Definiera eller förklara kortfattat
   (h) trippelpunkt

Answer 26

= det jämviktstillstånd (punkt i fasdiagram) där fast fas, vätska och gas existerar samtidigt. (s. 111, Fig. 4-23)

Question 27

4. 1 Definiera eller förklara kortfattat
   (i) sublimation

Answer 27

= fasomvandling mellan fast fas och ånga (gas), eller omvänt. (s. 112)

Question 28

4. 1 Definiera eller förklara kortfattat
   (j) entalpi

Answer 28

Entalpi per massenhet:

h = u + P v [J/kg],

u inre energi per massenhet,

P tryck

v volymitet. (s. 114)

Question 29

4. 1 Definiera eller förklara kortfattat
   (k) specifik ångmängd (ångkvalitet)

Answer 29

x = massa mättad ånga i förhållande till total massa i en mättnadsblandning,

x = m_vapor/m_total = mg/m. (s. 117)

Question 30

4. 1 Definiera eller förklara kortfattat
   (l) ideal gas

Answer 30

= gas som uppfyller ideala gaslagen, P v = RT, där

R är gaskonstanten [J kg−1K−1];

P är absolut tryck;

T är absolut temperatur;

v är volymitet (volym per massenhet). (s. 125)

Question 31

4.2 Markera gasfas, vätskefas samt det fuktiga området i ett schematiskt P-v–diagram (enhetligt ämne).

Markera

undre gränskurvan,

övre gränskurvan,

kritiska punkten

samt rita in två isotermer (där T2 > T1) som börjar i vätskefas, passerar genom det fuktiga området, och slutar i gasfas.

Answer 31

Se Fig. 4-18(b), s. 110

Question 32

4.3 Skissera ett schematiskt P-T–diagram (fasdiagram) för vatten och markera områden för

olika faser

kritiska punkten

trippelpunkten

I vilket avseende i diagrammet skiljer sig vatten från i princip alla andra ämnen?

Answer 32

Se Fig. 4-22.

Vattens smältpunkt minskar med ökande tryck, tvärtemot nästan alla andra ämnen. (s. 113)

Question 33

4.4

Definiera förångningsentalpi h_fg för ett enhetligt ämne.

Hur inverkar trycket på hfg?

Answer 33

h_fg = h_g−h_f

där h_g är entalpin för mättad ånga och h_f d:o för mättad vätska (vid ett visst tryck);

h_fg minskar med ökande tryck för att bli noll vid det kritiska trycket. (s. 115)

Question 34

4.5

Härled ett uttryck på (medel-)volymiteten för ett system bestående av ett enhetligt ämne i det fuktiga området. Specifik ångmängd är x och vid aktuell temperatur är volymiteten för mättad vätska v_f och volymiteten för mättad ånga v_g.

Answer 34

Betrakta en viss volym V av ämnet,

V = V_f + V_g, där V_f är volymen mättad vätska och V_g volymen mättad ånga.

Volymen har totala massan m och dess volymitet är då

v = V/m; V = mv = m_fv_f + m_gv_g, där m_f = m − m_g.

Med x = m_g/m fås v = (1 − x)v_f + xv_g = v_f + x(v_g − v_f). (s. 117)

Question 35

5.1 Förklara vad som avses med volymändringsarbete. Ange ett generellt uttryck på hur detta arbete kan beräknas (slutet system).

Answer 35

Volymändringsarbete = det arbete som innebär förflyttning av ett systems begränsningsyta i sam- band med kraftverkan i förflyttningens riktning (normalkrafter); W_b = ∫ P_b dV, där P_b är trycket verkande mot systemgränsen där volymändring dV sker. (s. 142/3)

Question 36

5.2 Härled ett uttryck på det mekaniska arbete måste tillföras för att komprimera en gas i en cylinder m.h.a. en friktionsfri (lättrörlig) kolv.

Om processen är kvasistatisk, hur kan då detta arbete åskådliggöras i ett tillståandsdiagram?

Answer 36

Arbetets belopp är enligt mekaniken produkten mellan kraftkomposanten i förflyttningens riktning och förflyttningen. Vid en liten förflyttning ds av kolven är detta arbete F ds. Eftersom kolven är friktionsfri är kraften F lika med trycket som verkar mot kolvens inneryta multiplicerat med denna ytas area, F = P_bA. Arbetet blir δW_b = P_bA ds = P_b dV, där dV är volymsfo ̈rändringen (W_b =volymändringsarbete).

Vid kvasistatisk process är trycket hela tiden homogent i behållaren, P_b = P . Efter integration fås W_b = ∫ P dV , vilket representeras av ytan under processkurvan i P-V–diagram. (s. 142/3)

Question 37

5.3 Bestäm volymändringsarbetet vid en kvasistatisk isoterm process för en ideal gas. Givna data är temperaturen, gasens begynnelse- och slutvolym, liksom gasens massa och gaskonstant.

Answer 37

Kvasistatiskt volymändringsarbete: W_b = P dV. För en ideal gas gäller PV = mRT, d.v.s. mRT ln V₂/V₁. (s. 145) vid isoterm process P = C/V där C = mRT = konst. Insättning ger Wb = C ∫ dV/V = mRT ln V₂/V₁. (s. 145)

Question 38

5.4 Ange de generellt accepterade teckenreglerna för arbete resp. värme. Illustrera med figur.

Answer 38

Arbete räknas positivt om systemet utför arbetet (inverkan på systemets omgivning kan tänkas helt omvandlat till lyftning av en vikt). Arbetet är negativt om det är omgivningen som utför det positiva arbetet. Värme räknas positivt om värme “tillförs” systemet, d.v.s. om systemets temperatur (lokalt) är lägre än omgivningens. (s. 69, 148)

Question 39

5.5 (a) Ange termodynamikens första huvudsats gällande ett slutet system. Ingående storheter skall klarläggas. Hur formuleras denna om systemet genomgår en kretsprocess?

Answer 39

För alla processer med ett slutet system gäller att summan av nettoutbytet in av värme och arbete är lika med systemets totala energiändring. I symboler: Q_net,in + W_net,in = Q_net,in − W_net,out = ∆E_sys, eller med teckenkonvention: Q−W = ∆E. För en kretsprocess är ∆E = 0, d.v.s. Q = W. (s. 148)

Question 40

5.5 (b) Under vilka omständigheter för slutna system gäller Q − W_other = ∆H? Visa att relationen följer under dessa omständigheter.

Answer 40

Sambandet gäller vid kvasistatiska isobara processer med enkla kompressibla system. Alla slutna system: Q−W = ∆E; enkla kompressibla system: ∆E = ∆U; arbetsuppdelning, W = W_b+W_other; kvasistatisk isobar process: W_b = ∫ PdV = P∆V; H = U + PV, d.v.s. ∆H = ∆U +P∆V vid konstant tryck (isobar process). Insättning ger Q − W_other = ∆U + P ∆V = ∆H . (s. 149/50)

Question 41

5. 6 Definiera eller förklara kortfattat
   (a) polytrop process

Answer 41

= en process där sambandet mellan tryck P och volym V kan beskrivas m.h.a. PVⁿ = C, där C och n är konstanter; n = polytropexponent. (s. 146)

Question 42

5. 6 Definiera eller förklara kortfattat
   (b) specifik värmekapacitet cv

Answer 42

c_v = (∂u/∂T)_v, partiella derivatan av den inre energin per massenhet m.a.p. temperaturen vid konstant volym. Alt. i ord: cv är summan av det värme och arbete som måste tillföras 1 kg av ett ämne för att öka dess temperatur 1 K vid en isokor process. (s. 152/3)

Question 43

5. 6 Definiera eller förklara kortfattat
   (c) specifik värmekapacitet c_p

Answer 43

c_p = (∂h/∂T)_P, partiella derivatan av entalpin per massenhet m.a.p. temperaturen vid konstant tryck. Alt. i ord: c_p är summan av det värme och arbete (volymändringsarbete oräknat) som måste tillföras 1 kg av ett ämne för att öka dess temperatur 1 K vid en isobar process. (s. 152/3)

Question 44

5. 6 Definiera eller förklara kortfattat
   (d) perfekt gas

Answer 44

Perfekt gas = ideal gas med konstanta c_p och c_v. Ideal gas = gas som uppfyller Pv = RT. (fö)

Question 45

5.7 Visa att c_p − c_v = R för en ideal gas; utgångspunkt: matematisk definition av c_v .

Answer 45

c_v = (∂u/∂T)_v, där u(T,v). För en ideal gas beror inre energin u endast av temperaturen, u = u(T) ⇒ c_v = du/dT eller du = c_vdT. Entalpi: h = u+Pv=u+RT = h(T), ty Pv=RT för en ideal gas. c_p = (∂h/∂T)P = dh/dT (inget beroende av P) ⇒ dh = c_p dT = du+RdT = (c_v+R)dT, d.v.s. c_p − c_v = R. (s. 154–156)

Question 46

6.1 Formulera i ord och symboler principen om massans oförstörbarhet gällande en kontrollvolym.

Answer 46

Nettotransporten av massa in i en kontrollvolym (öppet system) är lika med ändringen av kontroll- volymens massa, m_in − m_out = ∆m_CV. (s. 182)

Question 47

6.2 Härled energiekvationen vid stationär strömning genom en kontrollvolym med flera homogena in- och utlopp. Om in- och utmatningsarbete (eng. flow work) vid in- resp. utlopp tolkas som energi (under transport) skall detta tydligt motiveras.

Answer 47

Energibalans: E_in − E_out = ∆E_CV, eller med teckenkonvention Q − W + E_mass,in − E_mass,out = ∆E_CV, da ̈r Q = Q_in −Q_out, W = W_out −W_in = W_b +W_other.

Eftersom kontrollytor vid stationära förhållanden måste vara fixerade är det enda volymändringsarbetet W_b i detta fall den energitransport som sker vid in- och utmatning av massa vid in- och utlopp. Betrakta ett inlopp (in- matning). Under en viss (kort) tid ∆t trycker omgivningen här in massan m_i sträckan L m.h.a. trycket P. Trycket verkar i samma riktning som fo ̈rflyttningen, vilket inneba ̈r arbetet P AL = P V = P v m_i = (P v)_inm_i. Denna energitransport tillförs kontrollvolymen.

På motsvarande sätt för utmatning vid utlopp; bortförd energi: (Pv)_outm_e. Eftersom energi är en massberoende storhet bär masselementen m_i och m_e också med sig energi (m_i e_in resp. mee_out ). Efter insättning fås (flera in-och utlopp): Q−W_other+∑m_i(e+Pv)_in−∑m_e(e+Pv)_out =∆E_CV =0, ty energ info är CV (vid stationära förhållanden) är konstant i tiden. Med e = u + ke + pe, h = u + P v (entalpi) och θ = h+pe+ke fås Q−W_other = ∑m_eθ_e −∑m_iθ_i (index e vid utlopp; i vid inlopp). Division med ∆t → 0 ger Q ̇ − W ̇ _other = ∑ m ̇ _eθ_e − ∑ m ̇ _iθ_i. (s. 187–189, 193, fö)

Question 48

6.3 Vilken intensiv tillståndsstorhet kan oftast betraktas som konstant vid stationära (tidsoberoende) förhållanden genom en adiabatisk strypanordning? Beskriv varför.

Answer 48

Entalpi h kan oftast betraktas som konstant vid adiabatisk strypning (ex. strypventiler, kapillärrör, m.m.). Betrakta en kontrollvolym (CV) runt en strypanordning med ett inlopp (i) och ett utlopp (e). Energiekvationen vid stationär strömning: q − w_other = h_e − h_i + ∆ke + ∆pe. Vid strypning sker expansion (tryckminskning) utan (tekniskt) arbetsutbyte, w_other = 0; adiabatisk process, q = 0. Oftast kan också ändringar i potentiell och kinetisk energi (mellan in- och utlopp) försummas, ∆pe = ∆ke = 0. Energiekvationen ger h_e = h_i eller h = konst. (s. 201)

Question 49

7.1

Vad menas med ett värmemagasin? Ange minst två exempel.

Answer 49

Ett värmemagasin är ett system med vilket värme kan utbytas med dess omgivning utan att systemets temperatur ändras; värmemagasin har mycket hög värmekapacitet. Exempel: atmosfären, sjöar och vattendrag, system under fasomvandling, värmepannor. (s. 235)

Question 50

7.2

Definiera

(a) termisk verkningsgrad ηth

Answer 50

Termisk verkningsgrad = nettoarbete ut dividerat med totalt tillfört värme, η_th = W_net,out/Q_in; kretsprocess, slutet system = värmemotor. (s. 238)

Question 51

7.2

Definiera

(b) köldfaktor COP_R

Answer 51

Köldfaktor = upptaget värme dividerat med processens nettoarbete in,

COP_R = Q_in/W_net,in;

kretsprocess, slutet system = kylmaskin. (s. 243)

Question 52

7.2

Definiera

(c) värmefaktor COP_HP

Answer 52

Värmefaktor = bortfört värme dividerat med processens nettoarbete in, COP_HP = Q_out/W_net,in;

kretsprocess, slutet system = v¨armepump. (s. 243)

Question 53

7.3

Ange Kelvin-Plancks resp. Clausius formulering av termodynamikens andra huvudsats. Illustrera. Visa att de bägge formuleringarna är ekvivalenta.

Answer 53

Kelvin-Planck: Det är omöjligt att konstruera en värmemotor vilken uträttar arbete och enbart tillförs värme, se Fig. 7-18.

Clausius: Det är omöjligt att konstruera en kretsprocessmaskin vars enda verkan är att uppta värme vid en låg temperatur och avge detsamma (lika mycket) vid en högre temperatur, se Fig. 7-26.

(1) A (Kelvin-Planck) möjlig ⇒ B (Clausius) möjlig. Låt den tänkta maskinen A driva en vanlig kylmaskin R. Kombinationen (kretsprocessmaskinen) A + R har nu som enda verkan att uppta värme vid en låg temperatur och avge detsamma (lika mycket) vid en högre, en maskin B.
(2) B möjlig ⇒ A möjlig. Låt en vanlig värmemotor HE arbeta mellan samma två värmemagasin som den tänkta maskinen B. Anpassa HE så att den avger lika mycket värme som B upptar (via värmemagasinet TL). Kombinationen B + HE+ värmemagasinet TL är nu likvärdig med en maskin A, vilken upptar värme vid en temperatur och helt omvandlar detta värme till arbete. (s. 241/247/248)

Question 54

7.4

Definiera eller förklara kortfattat vad som menas med reversibel resp. internt reversibel process. Ange minst fyra grundläggande faktorer (irreversibiliteter) som var och en och när en sådan uppträder gör en process irreversibel.

Answer 54

Vid revertering av en reversibel process återställs både system och omgivning, både system och omgivning genomlöper då exakt samma jämviktstillstånd.

Vid revertering av en internt reversibel process återställs systemet men inte omgivningen, systemet (men inte omgivningen) genomlöper då exakt samma jämviktstillstånd.

Vid en reversibel process uppträder inga irreversibiliteter i vare sig systemet eller i omgivningen, vid internt reversibel process endast i omgivningen.

Exempel på grundläggande irreversibiliteter:

(1) friktion,
(2) blandning av gaser (diffusion),
(3) expansion utan arbetsutbyte,
(4) värmeutbyte vid ändlig temperaturdifferens,
(5) kemiska reaktioner,
(6) elektriskt motstånd, . . . (s. 248–251)

Question 55

7.5

Formulera och bevisa Carnots principer angående termisk verkningsgrad för reversibla och irreversibla värmemotorer. Illustrera.

Answer 55

(1) Termisk verkningsgrad för en irreversibel värmemotor är alltid lägre än för motsvarande reversibla värmemotor.

Bevis: De bägge maskinerna arbetar mellan samma värmemagasin och anpassas så att de (båda var för sig) mottar lika mycket värme Q_H från det varma magasinet vid T_H, se Fig. 7-39.

Revertera nu den reversibla motorn (så att den blir en kylmaskin). Dess bägge värmeutbyten liksom dess arbetsutbyte byter riktning utan att beloppen ändras. Nettovärmeutbytet med det varma magasinet är nu noll. Antag nu att den irreversibla motorn har högre termisk verkningsgrad än den reversibla,

ηth,irrev > ηth,rev,

d¨ar ηth = Wnet,out/QH =

1 − QL/QH (Wnet,out =

QH − QL; kretsprocess).

Den irreversibla motorn avger då mindre spillvärme till det kalla magasinet (vid T_L) än den reverterade motorn upptar,

QL,rev − QL,irrev > 0.

Den ger ju också ut mer arbete än den reverterade mottar. De bägge maskinerna tillsammans med det varma magasinet vid T_H är nu en omöjlig maskin enligt Kelvin-Plancks formulering.

Verkningsgraden kan därför inte vara högre för den irreversibla motorn.

Verkningsgraderna kan ju heller inte vara lika eftersom den irreversibla motorn då skulle vara reversibel.

Alltså gäller η_th,irrev < η_th,rev.

(2) Alla reversibla värmemotorer vid vilka värmeutbytet med omgivningen sker vid två konstanta temperaturer har samma termiska verkningsgrad.

Bevis: Antag att två reversibla värmemotorer är kopplade mellan samma värmemagasin. Enligt beviset f¨or Carnots första princip kan varken den ena eller den andra motorns termiska verkningsgrad vara högre än den andra. De måste därför vara lika. (s. 253/4)

Question 56

7. 6
   (a) En uppfinnare påstår sig ha tillverkat en värmemotor som vid optimala driftsförhållanden har en termisk verkningsgrad av η_th = 40%, då arbetsmediets högsta och lägsta temperatur är 177◦C resp. 27◦C. Kan detta vara möjligt? Motivera.

Answer 56

Den högsta termiska verkningsgrad en värmemotor kan ha är η_th,max = 1 − T_L/T_H, där T_L och T_H är processens lägsta och högsta temperatur

(Carnotmotor, reversibel kretsprocess; värmeutbyte med värmemagasin T_L och T_H, vid försumbara temperaturdifferenser).

Detta fall:

T_L = 27◦C = (27 + 273) K = 300 K,

TH = 177◦C = (177 + 273) K = 450 K,

ηth,max = 1 − 300/450 =

1 − 2/3 =

1/3 = 33% < 40%,

d.v.s. omöjligt. (s. 257)

Question 57

8.1

Med utgångspunkt i Clausius olikhet för internt reversibla kretsprocesser med slutna system, definiera entropi (entropiändring) samt visa att entropi är en tillståndsstorhet.

Answer 57

Clausius olikhet:

(Cirkelintegrral)(δQ/T) ≤ 0 (kretsprocess, slutet system).

Likhetstecknet gäller internt reversibel kretsprocess.

Definition av entropiändring, godtyckligt liten del av en process: dS = (δQ/T)_{int rev}, d.v.s. ändlig process (1 → 2):

∆S = S2 − S1 = ∫ (δQ/T)_{int rev},

där T är temperaturen på systemgränsen där värmeutbytet δQ sker.

Entropi är en tillståndsstorhet eftersom den inte ändras om processen genomlöper en kretsprocess, (Cirkelintegral) dS = 0. (s. 277/8)

Question 58

8.2

Bestäm entropiändringen för ett slutet system som genomgått en internt reversibel isoterm process.

Answer 58

Enligt definition (slutet system):

∆S = S2 − S1 =

∫ (δQ/T)_{int rev} =

T₀⁻¹∫ (δQ)_{int rev} =

Q/T0 = (Qin − Qout)/T0,

där T0 är systemets konstanta temperatur. (s. 279)

Question 59

8.3

Med utgångspunkt i Clausius olikhet, (Cirkelintegral) (δQ/T) ≤ 0, härled ett generellt samband för principen om entropins tillväxt.

Formulera denna princip i ord.

Answer 59

Betrakta en godtycklig tillståndsförändring

(process) 1 → 2.

Bilda nu en tänkt kretsprocess med en internt reversibel process

2 → 1 (tillbaks till utgångstillståndet).

Clausius olikhet ⇒ (Cirkelintegral) (δQ/T) =

∫²₁ (δQ/T) + ∫ 1 2 (δQ/T)int rev ≤ 0.

Enligt definition av entropiskillnad är andra termen lika med S1 − S2, d.v.s.

S2 − S1 = ∆S ≥ ∫ 2 1 (δQ/T).

Denna olikhet gäller alla slutna system. Speciellt för isolerade system (δQ = 0) kan inte entropin minska, ∆S_isol. ≥ 0, där likhetstecknet endast gäller internt reversibla processer.

Eftersom system + tillräckligt stor omgivning med inverkan av systemet/processen kan betraktas som ett slutet, isolerat system, samt då inga processer är helt reversibla, gäller generellt att summan av systemets och omgivningens entropiändring, processens totala entropigenerering, alltid är större än noll,

∆Stot = ∆Ssys + ∆Ssurr = Sgen,tot > 0. (s. 280–282)

Question 60

8.4

Beskriv delprocesser i Carnotprocessen samt rita upp denna i ett T-s-diagram för ett enhetligt ämne samt i ett P-v-diagram för en ideal gas (slutet system).

Härled processens termiska verkningsgrad

(utgångspunkt: definition av entropiskillnad).

Answer 60

1 → 2: värmetillförsel Q_H vid konstant temperatur T_H,

2 → 3: adiabatisk expansion,

3 → 4: värmebortförsel Q_L vid konstant temperatur T_L < T_H,

4 → 1: adiabatisk kompression.

Processen är reversibel vilket t.ex. innebär att angivna värmeutbyten sker vid försumbar temperaturdifferens. Dessutom är givetvis alla delprocesser internt reversibla vilket enligt definition av entropiändring,

∆S = ∫ (δQ/T)_{int rev}, innebär att de adiabatiska delprocesserna 2 → 3 och 4 → 1 sker vid konstant entropi (isentroper).

I ett T-s-diagram blir Carnotprocessen en rektangel (2 isotermer, 2 isentroper), se Fig. 8-19.

I ett P-v-diagram för en ideal gas lutar isentroper mer nedåt jämfört med isotermer, se Fig. 7-35/6.

Termisk verkningsgrad: η_th = W_net,out/Q_H;

kretsprocess: W_net,out = Q_net,in = Q_H − Q_L,
d. v.s. η_th = (Q_H − Q_L)/Q_H =

1 − QL/QH.

Enligt definition av entropiskillnad (värmeutbyte vid konstant temperatur, reversibla delprocesser):

S2 − S1 = QH/TH samt S4−S3 = −QL/TL.

Eftersom

S2−S1 = S3−S4

fås QL/QH = TL/TH,

d. v.s. η_th,Carnot = 1−TL/TH.
(s. 251/252/278/288/289)

Question 61

8.5

Härled de s.k. T ds-relationerna (två stycken). Utgå från energiekvationen i differentierad form för ett enkelt kompressibelt system.

Answer 61

Enkelt kompressibelt system,

energibalans: δQ − δW = dU,

per massenhet δq − δw = du.

Betrakta en internt reversibel process med enbart kvasistatiskt volymändringsarbete. Enligt definition av entropiskillnad:

δq = δqint rev = T ds.

Enligt definition av kvasistatiskt volymändringsarbete:

δw = δwb = P dv, d.v.s.

T ds = du + P dv (T ds-relation 1).

Via definition av entalpi,

h = u + P v, fås

dh = du + P dv + v dP, d.v.s.

T ds = dh − v dP (T ds-relation 2).

(s. 293/4)

Question 62

8.6

Ange ett entropisamband (m.h.a. symboler) gällande alla processer och alla system.

Klargör termerna och ange speciellt ett generellt villkor för en av termerna.

Answer 62

Alla system, alla processer:

Sin −Sout +Sgen = ∆Ssys.

Sin och Sout är transport av entropi in resp. ut ur systemet p.g.a. mass- och värmeutbyte;

Sgen är genererad entropi innanför systemgränsen (kontrollytan);

∆Ssys är systemets totala entropiändring.

Sgen är alltid större än eller lika med noll,

Sgen ≥ 0. (s. 316/318/319)