Strömningslära CH 3 och 6

Question 1

3.1

Navier Stokes ekvationer,

Newtonsk fluid med konstantaämnesstorheter, på vektorform:

∇ · V = 0 ; DV/Dt = g − ρ⁻¹∇p + ν∇2V

Vad beskriver de båda resp. ekvationerna? Förklara kortfattat.

Answer 1

Den första ekvationen, ∇ · V = 0 (kontinuitetsekvationen), beskriver lokal massbalans vid inkom-

pressibel strömning (ρ = konst.); uttrycker att ett litet fluidelements volym är konstant om

fluidens densitet är konstant. Den andra ekvationen är Newtons andra lag (impulsbalans) till- ämpat på ett litet fluidelement, elementets acceleration aär lika med de krafter per massenhet som verkar på elementet; den första termen i H.L. är tyngdaccelerationen, den andra representerar tryckkrafter, den sista viskösa krafter.

Question 2

3.2 Hastighetsfördelning, fullt utvecklad laminär rörströmning: vz/umax = 1 − (r/R)2, där R är rörets innerradie. Skissera fördelningens utseende samt best¨am förhållandet mellan medelhastighet och maxhastighet, V /umax.

Answer 2

0

Volymflöde: V˙ = V πR2 = ∫ R vz2πr dr, där V är medelhastigheten. Sätt uˆ = vz/umax, η = r/R.

Insättning samt division med umaxπR2 ger V /umax = 2 ∫ 1(1 − η2)η dη = 2[η2/2 − η4/4]1 = 1/2.

Question 3

6.1

AntagattströmningsmotståndetF_Dför en liten sfärisk partikel somfallerfritt och långsamtienviskösfluid bara beror avpartikelns diameterd,partikelns hastighetVochfluidens dynamiska viskositet µ, F_D= f (d, V, µ). Genomförendimensionsanalysav dettasamband samtbestämurdennahurF_Dberorav V , d och µ.

Answer 3

Dimensionssamband: F = f (d, V, µ), där F är strömningsmotstånd (n = 4). Dimensioner i

MLT-systemet: {F } = MLT⁻², {d} = L, {V } = LT⁻¹, {µ} = ML⁻¹T⁻¹. Eftersom antalet ingående primära dimensioner är tre är reduktionen r ≤ 3. Om det går att hitta tre variabler som tillsammans inte kan bilda en dimensionslös kombination, en s.k. Π-grupp är r = 3. Gruppen (d, V, µ) innehåller alla ingående primära dimensioner (MLT) och kan inte kombineras till en Π-grupp eftersom t.ex. endast µ innehåller dimensionen för massa (M). Således gäller r = 3, n − r = 1, endast en Π-grupp, dimensionslös kraft, Π₁ = F d^aV ^bµ^c. Eftersom Π₁ är dimensions- lös gäller (MLT⁻²)(L)^a(LT⁻¹)^b(ML⁻¹T⁻¹)^c= M⁰L⁰T⁰, med lösningen a = b = c = −1, d.v.s. Π₁ = F/(d V µ). En enda Π-grupp innebär att den måste vara konstant, d.v.s. F = C d V µ,

där C är en konstant. Strömningsmotståndet varierar linjärt med resp. hastigheten, diametern och

viskositeten. (Resultatet har visat sig giltigt d˚a Re < 1 , exakt lösning ger C = 3π, se s. 80 samt
s. 589 i C¸ engel, Cimbala & Turner.)

Question 4

6.2 Formulera Reynolds likformighetslag, inkl. förutsättningar. Förklara kortfattat via ett exempel hur denna lag kan användas vid skalförsök (modell, prototyp).

Answer 4

Vid inkompressibel stationär strömning utan inverkan av fria vätskeytor blir strömningen likfor- mig vid likformig geometri om Reynolds tal är lika (vid modell- och fullskala).

Lagen kan anva¨ndas vid modellförsök, t.ex. i en vindtunnel. Geometrisk likformighet innebär skalenlig modell och motsvarande anströmningsförhållanden. Om då Reynolds tal, Re = ρV L/µ,

där L är en karakteristisk längd (typisk kroppsdimension) för kroppen och V är anströmnings-

hastigheten, är samma i båda fallen (och övriga förutsättningar är uppfyllda) kan allt som mäts i modellförsöket, t.ex. kroppens strömningsmotstånd, överföras till motsvarande i fullskala. Lik- formig strömning innebär att alla dimensionslösa storheter är de samma i modell- och fullskala.

Question 5

6.3 Visa att Reynolds tal grovt sett representerar (är ett grovt mått på) förhållandet mellan tröghetskrafter (massa × acceleration) och viskösa krafter verkande i ett strömningsfält; karakteristisk hastighet V , karakteristisk längd L.

Answer 5

1. Betrakta en omströmmad kropp, anströmningshastighet V , typisk kroppsdimension L. Tröghets- kraft, T = massa (m) × acceleration (dV/dt). Fluidmassan som p ̊averkas av kroppen a ̈r av stor- leksordning m ∼ ρL3; fluidmassans acceleration, dV/dt ≈ ∆V/∆t, da ̈r ∆V ∼ V och ∆t ∼ L/V ,
   d. v.s. T ∼ ρL2 V 2 . Låt F st å för viskösa krafter (friktionskrafter), typisk skjuvspänning (τ ) × area (A), F ≈ τA; enkel skjuvstro ̈mning: τ = μdu/dy. Med du/dy ≈ ∆V/∆y ∼ V/L fås F ∼ μ(V /L)A; A ∼ L2 innebär F ∼ μV L. Förhållandet T /F är således (grovt sett) av storleks- ordning ρL2V 2/(μV L) = ρV L/μ, vilket är Reynolds tal.