Terme, Variablen und Gleichungen Flashcards
Termbegriff
- Definitionsmöglichkeiten
- inhaltliche Definition: eine mathematisch sinvolle Rechenvorschrift, die Variablen enthält, nennt man Term
- formalistische Definition: Zahlen und Variablen sind Terme. Summen, Differenzen, Produkte und Quotienten von Termen sind wieder Terme
Termwert
Den Wert, den der Term bei Belegung der Variablen mit bestimmten Variablenwerten annimmt
Grundmenge
Die Menge der Variablenbelegungen, für die Termwerte berechnet werden können bzw. sollen
Definitionsmenge
Braucht man diesen Begriff bei Termen? Noch nicht, macht bei Funktionen mehr Sinn
Äquivalenz von Termen
zwei Terme heißen äquivalent, wenn sie für jede Belegung der Variablen aus der Grundmenge denselben Termwert liefern
(7x ist äquivalent zu 5x + 2x)
Was ist eine Äquivalenzumformung?
Eine Äquivalenzumformung von Termen ist eine Umformung,
die Terme immer in äquivalente Terme überführt.
Dazu gehören:
* Zusammenfassen gleichartiger Terme in Summen und Produkten
* Ausklammern und Ausmultiplizieren
* Binomische Formeln
* Potenzgesetze
* Additionstheorem für Sinus und Kosinus
Beschreibe die Bedeutung von Termen
- Terme als Rechenvorschrift (Termumformungen: wertgleiche Rechenvorschriften)
- Terme als Baupläne:
- Terme charakterisieren bestimmte mathematische e Objekte.
z.B. „x ist eine gerade Zahl“: „Es gibt eine ganze Zahl k, so dass x = 2k.“
Oder: „x ist von der Form x = 2k, wobei k eine ganze Zahl ist.“ - Terme beschreiben Strukturierungen von Situationen
- Termumformungen können neue Einsichten liefern z.B.: Sind x, y gerade, dann sind sie von der Form x = 2k und y = 2l (!), wobei k und l ganze Zahlen sind.
Es gilt: x + y = 2k + 2l = 2 (k + l) und k + l ist eine ganze Zahl.
Also ist x + y auch eine gerade Zahl.
Gleichungsbegriff
- Ausdrücke des Typs T1 = T2, wobei T1 und T2 Terme sind, nennt man Gleichungen.
-Analog für Gleichungssysteme. - Zu einer Gleichung wird i.d.R. eine Grundmenge angegeben.
- Eine Variablenbelegung aus der Grundmenge, für die beide Terme einer Gleichung denselben Wert annehmen, heißt Lösung der Gleichung.
- Die Menge aller Lösungen einer Gleichung heißt Lösungsmenge der Gleichung.
- Zwei Gleichungen heißen äquivalent, wenn sie dieselbe Lösungsmenge haben
Bedeutungen von Gleichungen- allgemeingültige Gleichungen
- Axiome (z.B. von Zahlbereichen), z.B. Assoziativgesetze, Kommutativgesetze, Distributivgesetz
- Weitere Beziehungen zwischen Rechenoperationen
z.B. u+ v = w ⇔ u = w – v für alle (z.B. rationalen) Zahlen u, v, w - Gesetzmäßigkeiten aus Modellen von Anwendungswissenschaften
- allgemeingültige Zusammenhänge
- z.B. 3x + 7xy − x + 3xy = 2x + 10xy
- Termumformungen, z.B. 5x – 3x = 2x
-Beispiel „Formeln“:
(= + 1)2 = =2 + 2=1 + 12
Bedeutungen von Gleichungen - Charakterisierende Gleichungen
- Gleichungen charakterisieren Zahlen
-U= 2 pi r, wobei U der Umfang eines Kreises mit Radius r ist
-Funtkionen führen zu Gleichungen –> Nullstellen, Schnittpunkte von Funtkionsgraphen - Gleichungen beschreiben Eigenschaften
-z.B. Symmetrie f(-x) = -f(x)
-z.B. von Zahlen (z.B. einer ganzen Zahl p)
p = 2k für eine ganze Zahl k.
Äquivalenzumformungen von Gleichungen
Definition:
Eine Operation zur Umformung von Gleichungen heißt Äquivalenzumformung,
wenn sie die Lösungsmenge jeder Gleichung, auf die sie angewendet werden kann, unverändert lässt.
Beispiele:
* Addition und Subtraktion von gleichen Termen auf beiden Seiten einer Gleichung.
* Multiplikationen mit und Divisionen durch dieselben Zahlen ungleich Null auf beiden Seiten
einer Gleichung.
* Multiplikation mit einer Variablen (z.B. x) ist genau dann eine Äquivalenzumformung, wenn der Fall x=0 durch die Grundmenge ausgeschlossen ist.
* Quadrieren beider Seiten ist keine Äquivalenzumformung
Äquivalenzumformungen - Hintergrund
- Neben Äquivalenzumformungen werden Unterschieden:
- Umformungsregeln, bei denen ggf. neue Lösungen hinzukommen, aber keine verloren gehen:
-Multiplikation beider Seiten mit Variablen
Multiplikation beider Seiten mit 0
-Anwendung nicht-injektiver Funktionen - Umformungsregeln, bei denen ggf. Lösungen verloren gehen, aber keine neuen hinzukommen
-Division (Vorsicht mit dem Begriff kürzen) der Variablen auf beiden Seiten
-Anwendung von “Fast-Umkehrfunktionen” (Wurzelziehen, Arcussinus)
In beiden Fällen ist es i.d.R. wichtig zu wissen, welche Lösungen hinzukommen bzw. verloren gehen.
Variablenbegriff
- Nutzung als symbolischer Ersatz für variierende oder unbekannte Objekte
-Bedeutung muss aus dem Referenzkontext klar sein
-Welche Art von Objekten wird in welchem Sinn ersetzt?
Grundvorstellungen zu Variablen
- Variablen als Unbekannte
- Variablen als Veränderliche
- Variable als Unbestimmte
Variable als Unbekannte
- bezogen auf Aussagen, Gleichungen
- typische Problemstellung: Charakterisierung eines Objekts durch Eigenschaften
- Variablen als Platzhaler für eine Zahl, deren Wert noch nicht bekannt ist, aber prinzipiell bestimmt werden kann
- Welche Lösungen hat die Gleichung….?Hat sie überhaupt Lösungen….?
Variable als Veränderliche
- bezogen auf Funktionen, Terme, Aussagen, Gleichungen
- Problemstellung: Veränderung einer Aussage/eines Werts in Abhängigkeit vom bezeichneten Objekt
- Variable ist eine Zahl/Größe, die veränderlich ist (sie kann verschiedene Werte aus einem festgelegten Bereich annehmen)
- Wie verändert sich…, wenn mann….
- z.B. Erhöhung von x um 1 bei y= 5x + 7
Variable als Unbestimmte
- bezogen auf Aussagen und Gleichungen
- typische Problemstellung: Aussage bezieht sich (simultan) auf alle Objekte.
- Variable ist eine allgemeine Zahl, deren Wert nicht bekannt/gegeben ist (und ggf. vorerst nicht von Interesse ist)
- Gilt für alle Zahlen a und b, dass a + b = b + a
- Sind die beiden Terme/Gleichungen äquivalent?
Variablen - Aspekte nach Verwendung bzw. typischen Handlungen
- Gegenstandsaspekt
-Variable als Gegenstand, mit dem man umgeht (vgl. Black Box), mit der etwas beschrieben wird
-insb. Variablen als Platzhalter für eine feste, konkrete (ggf. noch unbekannte) Zahl - Einsetzungsaspekt:
-Variablen als Platzhalter/Leerstelle, in die man etwas einsetzt
-insb. verschiedene mögliche Werte aus einer Grundmenge - Kalkülaspekt
-Variable als Größe, mit der man rechnet wie mit Zahlen
-Symbole, mit denen nach bestimmten Regeln operiert wird
Beziehe die Aspekte auf die einzelnen Grundvorstellungen von Variablen
- Variable als unbestimmte Zahl:
-EA: Für die Unbestimmte können Zahlen eingesetzt werden
-KA: Ein Ausdruck mit unbestimmten Zahlen kann umgestellt werden
-GA: EIn Sachverhalt wird mithilfe von unbestimmten Zahlen beschrieben (Flächeninhalt in der Geometrie) - Variable als unbekannte Zahl:
-EA: Für die unbekannte Zahl werden Zahlen eingesetzt, bis - etwa bei einer Gleichung- eine wahre Aussage entsteht
-KA: Ein Ausdruck mit einer Unbekannten kann regelgeleitet umgeformt werden, um die Unbekannte zu bestimmen
-GA: Ein Sachverhalt wird mithilfe einer Unbekannten beschrieben (Gleichung) - Variable als Veränderliche
-EA: Werte können eingesetzt werden, etwa um systematisch Änderungen in den Blick zu nehmen
-KA: Zu einem x-Wert kann der zugehörige y-Wert ermittelt werden und umgekehrt
-GA: Situationen, in denen zwei Größen in Beziehung stehen, können beschrieben werden (Funktionen)
Variablen- typische Probleme
- Variable als Objekt I
- Das Symbol wird als Platzhalter für ein Objekt oder das Objekt selbst behandelt.
-Beispiel: Es gibt 8 mal so viele Chinesen wie Engländer: C = 8 · E - Variable als Objekt II
- z.B. 3a + 2b „ist so etwas wie“ „3 Äpfel und 2 Birnen“.
- Oberflächliche, „meist didaktisch gut gemeinte“ Interpretation ohne Bedeutungsgehalt.
- Tragweite begrenzt und Gefahr von Fehlvorstellungen.
- Inkonsistente Verwendung beim Einsetzen
- z.B. Gilt 3 · x = x + 1 für natürliche Zahlen x? Ja: 3 · 2 = 5 + 1.
- Interpretation unter der falschen/einer eingeschränkten Grundvorstellung.
- Ist 2 · x = x^2 Ja, weil 2 · 2 = 2^2 (x = 2) – Vorstellung „Unbekannte“ statt „Unbestimmte“
- V als Zeichen für Volumen rein unter der Vorstellung „Unbestimmte“.
- Fehlende inhaltliche Vorstellungen
Dann meist Manipulation von Symbolen nach Regeln, ohne Zugriff auf eine Interpretation.
-Einsetzen von Zahlen zur Prüfung von Aussagen.
-Verbindung zu den inhaltlichen Zusammenhängen (z.B. Distributivität und Ausklammern)
