Natürliche Zahlen Flashcards
1
Q
Zahlenraum
A
- Teilmengen der natürlichen Zahlen, die im Mathematikunterricht der Grundschule i.d.R. als Ganzes
eingeführt werden (z.B. Zwanzigerraum, Hunderterraum,…) - Ggf. sind damit Erweiterungen der Zahldarstellung verbunden
(Erweiterung des Stellenwertsystems)
2
Q
Zahlbereich
A
- Algebraische Struktur, die durch eine konzeptuelle Erweiterung des Zahlsystems entsteht
(z.B. ganze Zahlen, rationale Zahlen,…) - Meist verbunden mit grundlegender Erweiterung und/oder Einschränkung der verfügbaren Zahlaspekte
- Meist Veränderung grundlegender Eigenschaften der Zahlenmenge (Beschränktheit, Dichtheit, Vollständigkeit)
3
Q
Arithmetik
A
Thema: Rechnen mit Zahlen
Verfahren & Strategien, die auf das Rechnen mit konkreten Zahlen angewendet werden können
4
Q
Algebra
A
Thema: Beziehungen zwischen Zahlen und Operationen
Strukturelle Beziehungen, die verallgemeinert werden können und über einzelne konkrete Zahlen hinausgehen
5
Q
“algebraisches Denken”
A
algebraisches Denken als das Analysieren und Nutzen von Zusammenhängen
6
Q
arithmetisches Wissen erlaubt uns….
A
- …mit Zahlen, die uns im Alltag begegnen, sinnvoll umzugehen.
- …unsere Umwelt mit Zahlen zu beschreiben, auch wenn diese nicht direkt
angegeben sind. - …relevante Größen in unserer Umwelt sowie Beziehungen zwischen ihnen zu
erkennen, zu beschreiben und ggf. zu nutzen.
7
Q
Peano Axiome
A
Die Menge N der natürlichen Zahlen wird durch die folgenden Axiome
charakterisiert:
i. Die Menge N ist nicht leer; es gibt ein ausgezeichnetes Element 0 ∈ N.
ii. Zu jedem Element n ∈ N gibt es ein wohlbestimmtes Element n∗ ∈ N mit n∗ ≠ n; das Element n∗ wird der (unmittelbare) Nachfolger von n genannt, n wird der (unmittelbare) Vorgänger von
n∗ genannt.
iii. Es gibt kein Element n ∈ N, für dessen Nachfolger n∗ die Beziehung n∗ = 0 gilt, d. h. das Element 0 besitzt keinen Vorgänger und ist somit das erste Element.
iv. Besteht für zwei natürliche Zahlen n1, n2 die Gleichheit n1∗ = n2∗, so folgt daraus n1 = n2
v. Prinzip der vollständigen Induktion: Ist T eine Teilmenge von N mit der Eigenschaft, dass 0 ∈ T gilt (Induktionsanfang) und dass mit t ∈ T (Induktionsvoraussetzung) auch t∗ ∈ T (Induktionsschritt) ist, so muss T = N gelten.
8
Q
Zahlaspekte
A
- Zahlaspekte bezeichnen die unterschiedlichen Bedeutungen,
in denen Zahlen auftreten können. –> wesentlichen Grundvorstellungen
9
Q
Wiederholung: Grundvorstellungen
A
- „assoziative mentale Verknüpfungen zwischen mathematischen Konzepten und prototypischen
Anwendungssituationen“ - „Eine Grundvorstellung zu einem math. Begriff ist eine inhaltliche Deutung des Begriffs, die diesem
Sinn gibt.“ (Greefrath/Oldenburg)
-Sind ein wesentlicher Teil individuellen Begriffsverständnisses
10
Q
Woher kommen die Zahlaspekte?
A
- Sachanalytische Betrachtungen
- Historische Systematisierungsprozesse
11
Q
Welche Zahlaspekte gibt es?
A
- Kardinalzahlaspekt
- Ordinalzahlaspekt
- Veränderungsaspekt
- Relationszahlaspekt
- Maßzahlaspekt
- Rechenzahlaspekt
- Kodierungszahlaspekt
12
Q
Kardinalzahlaspekt
A
(Natürliche) Zahlen beschreiben Anzahlen bzw. die Größe von Mengen
2 Äpfel, 3 Birnen.
13
Q
Ordinalzahlaspekt
A
- Zahlen beschreiben Positionen in Rangfolgen oder Abfolgen (Ordnungszahlaspekt, Zählzahlaspekt)
-OZ: Der wie vielte Besucher sind sie?
-ZZ: Ich bin am Haus (Nr. 1,2,3,4) Nr.5 angekommen - Skalenwertaspekt: Skalenwerte mit Einheiten (Zeitpunkte, Kilometersteine)
14
Q
Zahlen als Veränderungen (Veränderungsaspekt)
A
Zahlen beschreiben dynamische Veränderungen
* additive Veränderungen: Veränderungen „nach oben“ und „nach unten“ aus dem Kontext heraus (Ich esse 3 Semmeln auf)
* Multiplikative Veränderungen (Operatoraspekt): Aufsteigende Veränderungen durch Multiplikation, absteigende durch Division (Mein Gewinn hat sich verfünfacht)
15
Q
Zahlen als Vergleiche (Vergleichsaspekt)
A
Zahlen beschreiben Vergleiche und Verhältnisse
* additive Vergleiche (Relationszahlaspekt): Richtung des Vergleichs implizit (Hans hat 4 Münzen weniger als Petra)
* Multiplikative Vergleiche (Operatoraspekt): einfache Vergleiche (Hans hat 5 mal so viele Münzen wie Petra)
16
Q
Maßzahlaspekt
A
Gemeinsam mit einer Maßeinheit beschreiben Zahlen Ausprägungen von Größen
* Maßzahl als Anzahl der zum „Messen“ benötigten Maßeinheiten.
* ggf. Verfeinerung der Einheit oder gemischte Größenangaben (5m 23cm).
17
Q
Rechenzahlaspekt
A
Mit Zahlen kann gerechnet werden.
-Algebraischer Rechenzahlaspekt
Es gibt algebraische Gesetzmäßigkeiten zwischen Operationen, die zum flexiblen Rechnen genutzt
werden können.
-Algorithmischer Rechenzahlaspekt
Mit Zahlen kann (z.B. ziffernweise) nach festgelegten Handlungsanweisungen (Algorithmen)
gerechnet werden.
18
Q
Kodierungszahlaspekt
A
- Ziffernfolgen werden zur Kennzeichnung/Unterscheidung in
verschiedensten Kontexten verwendet. - Verrechnen und Ordnen dieser Zahlen ist nicht sinnvoll.
- z.B. schriftliche Addition, Telefonnummern
19
Q
Rolle von Zahlaspekten für den Wissenserwerb zu Zahlbereichen
A
- Initiale Vorstellung zu einem neuen Zahlbereich
-Anknüpfen an informelles Vorwissen - i.d.R. Fokus auf eine oder wenige Vorstellungen (z.B. Skalenwertaspekt in ℤ, Anteilsaspekt in ℚ)
-Vernetzung verschiedener Darstellungsformen (Arbeitsmittel, symbolische Darstellungen) - Vernetzung von Vorstellungen zu verschiedenen Zahlaspekten
-Anknüpfen an Vorwissen und initiale Vorstellung
-Beziehungen zwischen verschiedenen Zahlaspekten erkennen und nutzen
-Vernetzung von Darstellungen, die bestimmte Zahlaspekte in den Vordergrund stellen - Flexible Nutzung von Vorstellungen zu verschiedenen Zahlaspekten
-V.a. in Aufgaben, die eine eigenständige Wahl von Strategien erfordern.
-Bestimmte Zahlaspekte sind mehr oder weniger gut geeignet, bestimmte Probleme zu lösen,
Ideen zu begründen,…
-Höhere Flexibilität erlaubt es, schnell verschiedene Wege zu erproben.
20
Q
Was lässt sich Grundsätzliches zu Vorkenntnissen zu den Zahlenbereichen sagen?
A
- Vorkenntnisse sind die zentrale Lernvoraussetzung.
-Wachsende Bedeutung von Vorwissen,
sinkende Bedeutung von Intelligenz über die Schulzeit hinweg.
-Vorkenntnisse sind der beste Prädiktor für Lernerfolg.
Matthäus-Effekt: Wer hat, dem wird gegeben. - Warum ist das so?
-Lernen erfolgt (so gut wie) immer kumulativ.
-(Re-)Konstruktion individuellen Wissens erfolgt unter der Nutzung individuellen Wissens.
-Gemeinsames Verständnis der im Lernprozess genutzten Begriffe. - Vorwissen ist keine systematische Theorie.
-Individuelles Vorwissen kann in sich widersprüchlich sein.
-Es ist bedingt durch und angepasst an die Erfahrungen, die die Lernenden vorher gemacht haben;
Präkonzepte statt Fehlvorstellungen.
21
Q
Rechenstrategien - Grundbegriffe
A
- Rechenverfahren
- regelbasiert
- häufig zu einem gewissen Grade normiert
- allgemein anwendbar
- Rechenstrategien
- basierend auf inhaltlichen Vorstellungen oder operativen Zusammenhängen
- meist wenig normiert, flexibel kombinierbar
- adaptiv nutzbar
22
Q
Begriffsklärung zu Rechenverfahren/Strategien
A
- Halbschriftliches Rechnen
-Erlernte oder selbst gefundene Strategien
-Flexible und adaptive Nutzung verschiedener Strategien, individuelle Notation (Symbole, Skizzen,…) - Kopfrechnen
-Rechnen nach erlernten oder selbstgewählten Strategien
-Keine Notation des Vorgehens (aber Reflexion möglich) - Rechenverfahren/Algorithmen
-Festgelegtes Verfahren
-Nutzung bei passenden Problemstellungen
-Notation nach einem vorgegebenen Schema - Rechnen mit technischen Hilfsmitteln
-z.B. Taschenrechne
23
Q
Nutzung dekadischer Analogien
A
- Dekadische Analogien
-…sind operative Beziehungen zwischen Zahlen und Operationen.
-…lassen sich oft relativ leicht an Arbeitsmitteln begründen.
-…sind häufig die Basis von Rechenstrategien.
24
Q
Beispiele für dekadische Strategien
A
- 453 + 4 = 457, weil 3 + 4 = 7 -> weil mit den 4 Hundertern und den 3 Zehnern wird garnichts gemacht
- 500 + 200 = 700 weil 5 + 2 = 7 -> weil 5 Hunderter und 2 Hunderter zusammen 7 Hunderter sind
- 4 ・ 300 = 1200 weil 4 ・ 3 = 12 weil 4 Mal 3 Hunderter zusammen 12 Hunderter sind
- 600 : 2 = 300 weil 6 : 2 = 3 -> weil die Hälfte von 6 Hundertern eben
3 Hunderter sind.
keine Analogie bei:
600 : 20 = 30 nicht durch 6 : 2 = 3 –> Begründung erfordert tiefere EInsichten in das Dezimalsystem
25
Prototypische Strategien zum halbschriftlichen Rechnen
* Schrittweise: Eine der beiden
Zahlen wird (z.B. gemäß ihrer Dezimaldarstellung) zerlegt. Die Verrechnung erfolgt nacheinander
Beispiel: 254 + 367 , in die Rechnungen: 254 + 300 = 554; 554 + 60 = 614; 614 + 7 = 621
* Stellenweise: Beide Zahlen werden
gemäß ihrer Dezimaldarstellung zerlegt.
Die Stellenwerte werden getrennt verrechnet und dann zusammengefasst.
Beispiel: 254 + 367 durch die Rechnungen: 200 + 300 = 500; 50 + 60 = 110; 4 + 7 = 11; 500 + 110 + 11 = 621
* Hilfsaufgabe: Es wird eine einfachere Aufgabe gesucht, die ein anderes Ergebnis hat. Die Abweichung wird
nachträglich korrigiert.437 – 129 durch die Rechnungen 437 – 130 = 307; 307 + 1 = 308
* Vergleichsaufgabe: Eine einfachere
Aufgabe wird gesucht, die dasselbe
Ergebnis hat. 437 – 129 durch 438 – 130 = 308
* Ergänzen/Umkehraufgabe: Anstelle die Aufgabe zu lösen wird die fehlende Zahl in der Umkehraufgabe bestimmt.
701 – 698 durch
698 + 2 + 1 = 701
2 + 1 = 3
26
Kritik an schriftlichen Verfahren
* Das Lösen der Rechenaufgaben erfolgt fast ohne Zahlverständnis
* Das Wissen über Zahlen,Zahlstrukturen, Zahlbeziehungen und die Zahlvorstellung
werden eher verlernt als gefördert.
* Die Anschlussfähigkeit der Verfahren zur Entwicklung von praktisch nutzbaren
Rechenstrategien (z.B. Kopfrechnen, Abschätzen) wird eher kritisch gesehen
27
Vorteile halbschriftlichen Rechnens
* Chance für größere Individualisierung durch Rechnen auf eigenen Wegen.
* Förderung von Flexibilität und Adaptivität beim Rechnen
* Beitrag zum nachhaltigen Kompetenzerwerb
* Förderung prozessbezogener Kompetenzen
* wesentliche Basis für das Verständnis schriftlicher Rechenverfahren
28
Gründe für halbschriftliches Rechnen
* sicheres Rechnen
* schnelleres, sicheres Kopfrechnen
* Lerngelegenheiten für mathematische Prozesskompetenzen
* Lerngelegenheiten für zentrale Aspekte von Zahlverständnis
29
schriftliche Normalverfahren
* Universell einsetzbare Algorithmen
Algorithmus: Folge von eindeutigen und schrittweise in einer bestimmten Reihenfolge ausführbaren
Anweisungen, die ein bestimmtes Problem in allen vorgesehenen Fällen löst.
* Normierung
- Festgelegte Abfolge der Rechenschritte
- Festgelegte Notationsform
- Festgelegte Sprechweise
„Normalverfahren“ leitet sich von einer Normierung dieser Aspekte ab.
* Verschiedene Verfahren des schriftlichen Rechnens
30
Algorithmen: Beispiel schriftliche Subtraktion
* Mehrere mathematisch grundsätzlich verschiedene Verfahren.
* Subtraktionsmethode
-Subtraktion (7 minus 5 ist 2)
-Ergänzen (5 und 2 ist 7)
* Übertragstechnik
-Entbündeln des Minuenden
- „Erweitern“ von Minuend und Subtrahend
-Auffüllen (nur mit Rechenrichtung Ergänzen)
* Die konkrete Notationsform kann weitgehend unabhängig davon schrittweise entwickelt werde
31
schriftliche Subtraktion üben
615
-237
7005
-378
Ergebnisse: 378, 6627
32
Grundprinzipien von Stellenwertsystemen
Bündelungsprinzip:
Kleinere Einheiten werden zu größeren Einheiten zusammengefasst, indem
immer die gleiche Anzahl (Basis) von kleineren Einheiten zusammengefasst wird.
Stellenwertprinzip:
Die Stelle einer Ziffer im Zahlwort gibt an, um welche Bündelungseinheit es sich
handelt, der Wert einer Ziffer gibt an, wie häufig die Bündelungseinheit vorkommt.
Die Ziffern für die Bündelungseinheiten b^0, b^1, b^2,… (b: Basis) werden von rechts nach links angeordnet.
33
(123) klein 4
4 ist die Basiszahl
3 hat Stellenwert 4^0
2 hat Stellenwert 4^1
1 hat Stellenwert 4^2
34
Vorteile von Stellenwertsysteme
Mit einer begrenzten Anzahl von Ziffern können große Zahlen übersichtlicher
dargestellt werden.
z.B. MMMMMDCCCLXXVII = 5877
* Jedes Zahlzeichen liefert zwei Informationen.
Stellenwert (Position) und Ziffernwert (Ziffer)
* Die Bündelungseinheiten sind nach einer einfachen Systematik aufgebaut.
* Möglichkeit effizienter Rechenverfahren
* Einfaches Ordnen mehrstelliger Zahlen
* Erweiterbarkeit
(Dezimalbrüche, Potenzschreibweise sehr großer und sehr kleiner Zahlen)
35
Nachteile von Stellenwertsystemen
* Es ist eine eigene Ziffer 0 nötig für Bündelungseinheiten, die in der beschriebenen Zahl nicht vorkommen:
(104) klein 10 = 1 * 100 + 0 * 10 + 4 * 1
* Das System ist sehr abstrakt, da dieselbe Ziffer (ohne spezielle Kennzeichnung) für
verschiedene Werte stehen kann.
* Es werden nicht alle Informationen notiert (Stufenbezeichnung folgt aus der Position).
* Auch Stellenwertsysteme können unübersichtlich sein:
14537869 = 14 537 869 (Dreiergliederung hilft)
36
Zentrale Frage; welche Arbeitsmittel ermöglichen einsichtsvolles Arbeiten zu den Grundprinzipien des Stellenwertsystems?
* Arbeitsmittel sind...
- ...im weiteren Sinne
Alle Materialien, die im Unterricht eingesetzt werden.
(auch Zirkel, Geodreieck, Würfel, Lernspiele, Kastanien,...)
- ...im engeren Sinne
Alle Materialien, die zentrale Hilfsmittel für die Lernenden sind bei...
o...der Entwicklung und Festigung von Begriffs-/Zahlverständnis
o...der Entwicklung von Rechenfertigkeiten
* Es werden unterschieden:
-Veranschaulichungsmittel
Werkzeuge der Lehrkraft (Wissen kann vermittelt werden)
-Anschauungsmittel
Werkzeuge der Lerner (Anschauung als Grundlage für Erkenntnisprozesse)
37
Wozu werden Arbeitsmittel verwendet?
* Mittel zur Zahldarstellung
- Intermodaler Transfer
-Aufbau flexibler Vorstellungen zum jeweiligen Konzept (Größenvorstellungen, Bedeutung der
Addition/Subtraktion)
* Mittel zum Rechnen
-Aufbau von Vorstellungen zu Operationen (Kürzen, Erweitern, Vergleichen, Rechnen mit
Bruchzahlen)
-Aufbau anschlussfähiger Strategien auf der Basis konkreter Handlungen
-Begründung von Rechenstrategien
* Argumentations- und Beweismittel
-Ableiten von Rechenalgorithmen und -regeln aus Regelmäßigkeiten
-Präsentation und Begründung von Lösungswegen und -strategien
38
Ablöseprozess vom Material/Arbeitsittel
* Eine vollständige, endgültige Ablösung vom Material
ist nicht immer und unbedingt sinnvoll.
* Den Ablösungsprozess kann nur jedes
Kind selbst vollziehen. Dies kann
unterschiedlich lange dauern.
* Der Ablöseprozess kann
stufenweise unterstützt werden.
39
Stufenweise Ablösung vom Material
* Das Kind handelt am geeigneten Material
* Das Kind beschreibt die Materialhandlung mit Sicht auf das Material
* Das Kind beschreibt die Materialhandlung ohne Sicht auf das Material
* Das Kind arbeitet auf symbolischer Ebene, übt und automatisiert
40
Modelle (Material/Arbeitsmittel) - Beurteilungskriterien
* Inhaltsspezifische Kriterien
- Transparenz der relevanten inhaltlichen Struktur am Modell: Ist am Modell sichtbar „um was es geht“?
-Baut das Modell auf vorhandenen Vorstellungen der Lernenden auf?
- Lassen sich am Modell neue Einsichten gewinnen und systematisieren?
Lassen sich mit dem Modell auf eigenen Wegen Probleme lösen,...
o...ohne einen Algorithmus schon vorher zu kennen?
o...und diese Lösungswege reflektieren?
- Unterstützt das Modell den Aufbau mentaler Vorstellungsbilder?
- Ist eine schrittweise Ablösung vom Modell möglich?
Allgemeine Kriterien
-Aufwand für die Lernenden, sich in das Modell „hineinzudenken“.
-Anschlussfähigkeit an Modelle für andere Konzepte
41
Arbeitsmittel für Stellenwertsysteme
* Zehnersystemblöcke, sog. Dienes-Blöcke
* Mehrsystemblöcke, z.B. Sechsersystemblöcke
* Zahlenkartensatz
* Kombination aus Kartensatz und Blöcken
* Rechengeld
* Stellenwerttafeln
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Grundvorstellungen zu Addition und Subtraktion - Ein oder zwei Mengen?
* Zwei Teilmengen einer Gesamtmenge (Teil-Teil-Ganzes)
-Summen- bzw. Differenzbildung modelliert Vereinigung oder Veränderung
-Bsp.: Henrik hat 2 rote und 4 blaue T-Shirts...
-Bsp.: Henrik hat 6 T-Shirts, 2 davon sind rot...
* Zwei grundsätzlich verschiedene Mengen sind von Interesse
-Addition bzw. Subtraktion modelliert einen Ausgleich oder einen Vergleich
-Bsp.: Wie viele Murmeln hat Henrik mehr als Petra?
-Bsp.: Wie viele Murmeln muss Henrik noch bekommen, damit er genauso viele hat wie Petra?
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zeitliche Grundstruktur der Situation
* Dynamische Situation
-Es wird eine Veränderung einer Menge/von Teilmengen beschrieben.
- dazukommen, geben, einsteigen, gewinnen, verlieren, weggeben, aufessen,...
-Es erfolgt eine Handlung, deren Ergebnis modelliert wird (Ausgleich oder Veränderung).
* Statische Situation
- Z.B. Beschreibung der Relation zwischen bzw. von Mengen/Teilmengen
oZ.B. 2 rote und 3 blaue...
oOder: Hans hat 2 Äpfel, Petra hat 3 mehr...
oOder: Maria hat 2 Hosen und 3 Pullis mehr als Hosen...
-Es erfolgt keine Handlung (Vereinigen oder Vergleichen)
44
Grundvorstellungen zur Multiplikation
Zeitlich-sukzessiv: Mehrfache Wiederholung einer Handlung
(à Wiederholte Addition)
Z.B. fünf mal hintereinander 20 Muffins backen.
* Räumlich-simultan: Betrachtung mehrerer gleichmächtiger Mengen (gleichzeitig)
Z.B. auf jedem Tisch stehen 6 Teller, es sind 3 Tische
* Multiplikativer Vergleich
Z.B. Ich habe vier mal so viele Bonbons wie meine Schwester. Sie hat drei Bonbons.
* Kombinatorischer Aspekt: Anzahl an Kombinationen aus zwei Mengen
Z.B. Ich habe vier T-Shirts und drei Hosen. Auf wie viele verschiedene Arten kann ich mich anziehen?
* Multiplikation als Flächeninhalt von Rechtecken
Weitere, eher innermathematische Vorstellung:
* Wiederholte (iterierte) Addition
5 ・ 12 heißt 12 + 12 + 12 + … mit fünf Summanden
45
Grunvorstellungen Division
* Aufteilen
-Z.B. 12 Kinder teilen sich in Dreiergruppen auf
->Eine gegebene Menge wird in Teilmengen mit einer vorgegebenen Anzahl von Elementen aufgeteilt.
Das Ergebnis der Division gibt die Anzahl der Teilmengen wieder
* Verteilen = Fair teilen
- Z.B. 12 Kugeln werden gerecht an 4 Personen verteilt
- >Eine gegebene Menge wird an eine vorgegebene Anzahl von Personen,
Tellern, Plätzen, Tüten, … verteilt.
Das Ergebnis der Division gibt die Mächtigkeit der Teilmengen wieder.
(Wie viel Stück bekommt jeder?)
* Umkehroperation zur Multiplikation
-Division als keine eigenständige Rechenoperation
-20 : 5 ist die Zahl, die mit 5 multipliziert 20 ergibt.
-Das Wissen um den Zusammenhang zwischen Multiplikation und Division ist unumgänglich
* Weitere, eher innermathematische Vorstellung: Wiederholte Subtraktion
-20 : 5 heißt, wie oft kann ich die 5 von 20 abziehen, bis man bei der Null landet?
-enger Zusammenhang mit dem Aufteilen (vgl. Rückwärtsstrategie)
-Anknüpfen an informelle Lösungsstrategien der Kinder ist möglich
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Ziele bei der Einführung von Zahlbereichen
a) Grundvorstellungen aufbauen
Dazu gehört auch: Grundvorstellungsumbrüche bearbeiten
b) Grundlegende Begriffe und Operationen einführen
c) Flexibilität der Zahldarstellung
Symbolische Darstellungsformen, bedeutungstragende Darstellungsformen
Orientierung und erste algebraische Zusammenhänge
d) Größenvorstellungen aufbauen
e) Informelle Strategien zum Problemlösen und Rechnen systematisieren
➟ Keine zeitliche Sequenz, sinnvolle Abfolge und Gewichtung je nach Zahlbereich
➟ Eingebunden in den gesamten Konzepterwerb
- Anknüpfen an (ggf. informelles) Vorwissen
- Vorbereiten späterer Inhalte anhand zugänglicher Spezialfälle
