Ganze Zahlen Flashcards
Zahlbereichserweiterung von natürlichen zu ganzen Zahlen
Diese Erweiterung bringt neue Begriffe:
* negative und positive Zahlen
* Vorzeichen und Betrag einer Zahl
* Zahl und Gegenzahl
* Erweiterung der Regeln für die Grundrechenarten
Minuszeichen - verschiedene Bedeutungen
- Rechenzeichen: Operationszeichen für eine Subtraktion: 3-5
- Vorzeichen: Kennzeichen negativer Zahlen: -3
- Invertierungszeichen: Operationszeichen für eine Inversion -(-2)
Kardinal/Ordinal - Zahlaspekte
- Kardinalzahlaspekt (Mächtigkeit von Mengen)
- Für negative Zahlen kaum weiter tragfähig
-Ausnahme z.B. Soll/Haben-Vorstellungen bei Anzahlen; nur modellhafte Übertragung auf ganze
Zahlen, z.B.
„Ich habe –2 (‚minus 2‘) Äpfel“ – „Mir fehlen zwei Äpfel (für einen ganzen Kuchen)“ - Ordinalzahlaspekt
1) Ordnungszahlaspekt (Angabe einer Position)
Erweiterung von Rangfolgen und Abfolgen vor der ersten
Position (Referenzposition): z.B. ich bin im 3.Untergeschoss/3 Plätze hinter dir
2) Zählzahlaspekt (Abzählen eines Ablaufs)
-Für negative Zahlen kaum weiter tragfähig.
-Ausnahme ggf. Countdown o.ä.
weiterer Zahlaspekt: Zahlen als Veränderung
Zahlen beschreiben (dynamische) Veränderungen
* Additive Veränderungen
-Ganze Zahlen beschreiben Umfang und Richtung einer Veränderung.
-Z.B. Es sind seit gestern 7 Bälle dazugelegt/weggenommen geworden.
* Multiplikative Veränderungen (Operatoraspekt)
-Negative Zahlen: Sinnvolle Bedeutung schwierig (eher im Kontext von Algorithmen)
Relationszahlaspekt (Vergleichsaspekt)
Zahlen beschreiben (statische) Vergleiche und Verhältnisse
* Additive Vergleiche (Relationszahlaspekt)
- Ganze Zahlen beschreiben Größe und Richtung des Abstands zweier (natürlicher/ganzer) Zahlen
(Hier spielt die Reihenfolge der Zahlen eine Rolle).
- Z.B. Simon hat im Vergleich zu Stefan -7 Punkte.
* Multiplikative Vergleiche (Operatoraspekt)
- Negative Zahlen: Verwendung eher unüblich.
Maßzahlaspekt und Skalenwertaspekt
- Maßzahlaspekt
Zahlen kommen zusammen mit einer Einheit als Maßzahlen in Größenangaben vor. (nicht wärmer als -5° C lagern)
-Unterschiedliche inhaltliche Interpretation des Vorzeichens (Orientierung, Richtung, Polung,…) - Skalenwertaspekt
Beschreibung von Stellen auf einer Skala
Vermischung von Ordnungszahl- und Maßzahlaspekt
Zusammenfassung bis hier hin
Im Gegensatz zu natürlichen Zahlen (und Bruchzahlen) treten negative Zahlen häufig
lediglich implizit direkt in den durch die Zahlaspekte beschriebenen Bedeutungen auf.
- D.h. die mathematische Struktur der Situation kann zwar durch negative Zahlen modelliert werden,…
- …häufig geschieht dies jedoch nicht,…
- …sondern sie wird durch den Betrag und einer inhaltlichen Angabe der Richtung angegeben
(7 mehr/weniger als…; 3 m über/unter…)
-Ausnahme: Reiner Aspekt “Skalenwert)
Lösungszahlaspekt
Zahlen können innermathematisch als Lösungen von bestimmten Problemen
charakterisiert werden.
* Ganze Zahlen: „Differenzenaspekt“ (Begriff eher ungebräuchlich)
Ganze Zahlen können über Differenzen interpretiert werden: −3 ist das Ergebnis von 4 − 7 = ___
* Gleichungsaspekt
Ganze Zahlen treten als Lösungen von einfachen Additionsgleichungen auf: −3 ist die Lösung der
Gleichung 7 + x = 4 (eindeutig bestimmt)
Rechenzahlaspekt
Mit Zahlen kann gerechnet werden.
-Algebraischer Rechenzahlaspekt
Algebraische Gesetzmäßigkeiten zwischen Operationen, die zum flexiblen Rechnen genutzt werden
können → analog für ℤ (z.B. Kommutativgesetz)
-Algorithmischer Rechenzahlaspekt
In ℤ hauptsächlich Verwendung der Algorithmen von ℕ mit (nachträglicher) Anpassung der
Vorzeichen
Zahlenvorstellungen zu ganzen Zahlen
- Lernende haben bereits einige - ggf. auch schon recht abstrakte - Vorstellungen zu negativen Zahlen; diese systematisiert, ggf. korrigiert und ausgeweitet werden.
- Es werden im Wesentlichen zwei Arten von Modellen berichtet:
-Am Zahlenstrahl orientierte Vorstellungen
-An lebensweltlichen Kontexten mit „mixing objects of opposite nature“ - Anmerkungen zu Zahlen„strahl“vorstellungen
-Es treten (auch bei Lehramtsstudierenden!) Zahlenstrahlvorstellungen auf, die aus zwei getrennten
Zahlenstrahlen (positiv/negativ) bestehen.
Diese führen zu Problemen z.B. beim
Vergleich von Zahlen
Ziele bei der Einführung von Zahlenbereichen
a) Grundvorstellungen aufbauen
Dazu gehört auch: Grundvorstellungsumbrüche bearbeiten
b) Grundlegende Begriffe und Operationen einführen
c) Flexibilität der Zahldarstellung
Symbolische Darstellungsformen, bedeutungstragende Darstellungsformen
Orientierung und erste algebraische Zusammenhänge
d) Größenvorstellungen aufbauen
e) Informelle Strategien zum Problemlösen und Rechnen systematisieren
➟ Keine zeitliche Sequenz, sinnvolle Abfolge und Gewichtung je nach Zahlbereich
➟ Eingebunden in den gesamten Konzepterwerb
- Anknüpfen an (ggf. informelles) Vorwissen
- Vorbereiten späterer Inhalte anhand zugänglicher Spezialfälle
Grundvorstellungsumbrüche
Nicht weiter tragfähige Vorstellungen sind beispielsweise:
* Es gibt eine kleinste (ganze) Zahl.
* Die Größe einer Zahl lässt sich rein an den Ziffern ablesen.
* Addition vergrößert immer, Subtraktion verkleinert immer.
* Eine Subtraktion ist nur im Fall „größere Zahl minus kleinere Zahl“ erlaubt.
* ggf. Division verkleinert immer, Multiplikation vergrößert immer.
Wie sollten Grundvorstellungsumbrüche thematisiert werden?
–> offensive Thematisierung: Conceptual Change
Erinnerung: Bedingungen für Conceptual Change
* Unzufriedenheit mit der bisherigen Vorstellung.
* Einsichtigkeit der neuen Vorstellung.
* Plausibilität der neuen Vorstellung.
* Fruchtbarkeit der neuen Vorstellung.
