Größen und Größenbereiche Flashcards
Was ist eine Größe?
Größen beschreiben quantifizierbare Eigenschaften von Objekten unserer Anschauung
Was ist ein Größenbereich?
Ein Größenbereich fasst alle Objekte zusammen, die die entsprechende Eigenschaft in einer beliebigen Ausprägung tragen: Flächeninhalt, Längen, Anzahlen, Geldwerte
Aus was besteht ein Größenbereich?
- Einer Menge R von Repräsentanten des Größenbereichs (alle Objekte, bei denen ich eine Eigenschaft betrachten kann z.B. eine Länge)
- Einer Äquivalenzrelation ~, die Repräsentanten mit gleicher Ausprägung der Eigenschaften beschreibt (z.B. bei Strecken: gleich lang)
- die Menge aller Äquivalenzklassen R/~ ist die Menge aller Größen (Warum? Um in Teilmengen zu zerlegen) –> eine Äquivalenzklasse umfasst einen Teil der Menge, die dieselbe Äquivalenzrelation erfüllen
- einer strengen Ordnungsrelation „<“ auf R/~
- eine kommutative und assoziative Verknüpfung auf „+“ auf R/~ (also +: R/~ x R/~ → R/~)
Was kann man ausgehend von einem Größenbereich definieren?
- Ausgehend davon kann man i.d.R. eine Skalarmultiplikation ℕ x R/~ → R/~ definieren und dann unter bestimmten Bedingungen auf ℚ+ und ggf. ℝ+ erweitern
-> Man muss eine Skalarmultiplikation auf der Menge definieren können (z.B. 5 mal diese Länge)
Wie werden Größen gewonnen?
Durch Abstraktion von realen Objekten zu Äquivalenzklassen
Was gehört zu einem Größenbereich dazu?
- Menge der Repräsentanten: Welchen Objekten wird diese Eigenschaft zugeschrieben?
- Äquivalenzrelation: Welche Repräsentanten haben diesselbe Eigenschaft?
- Ordnungsrealtion: Wie vergleicht man Repräsentanten?
Was versteht man unter Messen?
Darunter versteht man das vollständige, überschneidungsfreie und lückenlose Auslegen eines Repräsentanten mit einer Maßeinheit
(dabei sind die gewählten Maßeinheiten willkürlich, z.B.:
* Daumenbreite, Klafter, Elle, Fuß, Schritt
* Regensburger Elle)
Beschreibe den Verlauf von Repräsentant zu Maßangabe
- Baum: irgendein Objekt
- Alle Repräsentanten, die genau so lang sind bilden eine Äquivalenzklasse (die Größe)
- Höhe des Baums (Abstand zwischen A und B): Repräsentant des Größenbereichs “Längen”
- Ein Meter als Maßeinheit
- Maßangabe (Maßzahl & Maßeinheit): z.b. 6 Meter
A = 6m
Benenne die einzelnen Bezeichnungen
A: Größensymbol
6: Maßzahl
m: Maßeinheit
6m: Maßangabe
Was ist ein Größensymbol?
Symbole bzw. Formelzeichen zur Beschreibung von Größen
Was ist eine Maßzahl?
Anzahl, wie viele Maßeinheiten zum Auslegen des zu messenden Objekts benötigt werden
Was ist eine Maßeinheit?
Angabe, welche Größe der beim Messen (=zum Auslegen) verwendete Repräsentant hat
Wann sind zwei Größen kommensurabel?
Zwei Repräsentanten a und b einer Größe heißen kommensurabel, wenn sie ganzzahlige Vielfache einer dritten Größe c sind
Anders ausgedrückt: Das Verhältnis der Maßzahlen beim Messen mit der Einheit c ist eine rationale
Zahl
Nenne ein Beispiel für eine nicht-kommensurable Länge
Seitenlänge und Diagonale in einem Quadrat sind nicht kommensurabel, da für ein Quadrat mit
der Seitenlänge a und der Diagonale d gilt: d = Wurzel aus 2 ∙ a das Verhältnis d/a ist also keine rationale Zahl
Was ist eine Messgröße?
Messgrößen sind solche, bei denen die Repräsentanten (wenigstens prinzipiell) mit den Maßeinheiten “ausgelegt” werden können
Was sind abgeleitete Größen?
Abgeleitete Größen sind solche, die als Kenngrößen (z.B. Proportionalitätsfaktoren) von bestimmten Klassen funktionaler Zusammenhänge zwischen anderen Größen definiert werden
* In vielen Fällen ist der Zusammenhang „verstrichene Zeit - zurückgelegte Strecke“ bei Bewegungsvorgängen (näherungsweise) proportional.
* Der zugehörige Proportionalitätsfaktor definiert die abgeleitete Größe, Geschwindigkeit.
Was wird von den Bildungsstandards hinsichtlich der Leitidee Größen und Messen umfasst?
Messen, Einheiten auswählen/umwählen, Flächeininhalte, Sachsituationen, Abschätzen von Größen, Winkelgrößen
Welche Art von Größe liegt hier vor?
1. Zeitpunkte
2. Geldwerte
3. Preis pro Stück
4. Volumen
- Messgrößen muss man addieren können, macht bei Zeitpunkten keinen Sinn –> keine Größe, auch keine Messgröße
- Sonderfall, ist keine typische Größe, die man misst –> es gibt verschiedene Umrechnungen, nicht konstant (vgl: Längen und Flächeninhalte ändern sich nicht); es gibt keine beliebig kleine Unterteilung der Geldwerte
- Sonderfall, weil es sich aus der Größe des Geldwertes ableitet
- Messgröße, kann durch Auslegen bestimmt werden –> z.b. mit 1 Kubikzentimeter Würfel
Wie bearbeiten Schüler Größenbereiche?
Größen sind abstrakt.
Schüler sollen neben Messen, Umrechnen und Formeln anwenden auch einen Einblick in die Bedeutung von Maßzahlen/einheiten bekommen, tragfähige Vorstellungen zu typischen Repräsentanten und die Fähigkeit, Größenangaben schätzen zu können haben.
* EInblick in Äquivalenzklassenprinzip von Größen erfahren
* Prinzip des Messens für einzelne Größenbereiche erfassen
* Größenvorstellungen zu Maßeinheiten (Piaget: Wasser umfüllen)
Wie lautet die didaktische Stufenfolge zur Behandlung von Größen?
- Erfahrungen und Sach- und Spielsituationen machen
- Direkter Vergleich von Repräsentanten
- indirekter Vergleich
-> indirekter Vergleich mit Vergleichsobejkten
-> indirekter Vergleich mit selbstgewählten Maßeinheiten - Indirektes Vergleichen mit standardisierten Maßeinheiten
- Verfeinern/Vergröbern von Maßeinheiten
- Aufbau von Größenvorstellungen
- Rechnen mit Größen (Rechnen in Kontexten, Erarbeitungen von Beziehungen zur Bestimmung von Größen -> Flächeninhalts/Volumenformel)
direkter Vergleich mit Repräsentanten
- Relation zwischen zwei Objekten, evtl. mit Hilfsmittel, u.a. Sortieren, Ordnen, (Anti-)Symmetrie,
Transitivität - Strategien des Größenvergleichs „ohne Messen“
- z.B. hinreichend ähnliche Rechtecke (oder andere Figuren) als Repräsentanten, die man nicht sofort durch Augenmaß vergleichen kann –> Vergleich durch Übereinanderlegen: da wo mehr übersteht, ist auch die Fläche größer
- Unterschied: keine dritte Figur/kein Vergleichsobjekt nötig
indirekter Vergleich mit Vergleichsobjekten
- Nutzung eines weiteren Objekts als Vermittler
- z.B. Vergleich von Volumina durch Eintauchen in ein Wasserbad
- bei Flächen: Hilfsmittel: N-Ecke
- man nimmt paarweise (heißt in beiden zu vergleichenden Figuren, kommen die N-Ecke vor) unterschiedliche N-Ecke
- man schaut bei welcher Figur man früher mit auslegen fertig ist -> Fläche kleiner
- Funktioniert auch mit echten Objekten: 3 Cola-Flaschen, 5 Capri-Sonnen etc. Hauptsache es sind mehrere Vergleichsobjekte
indirekter Vergleich mit selbstgewählten Maßeinheiten
- Auslegen mit nur einer einzigen Maßeinheit (Auslegen mit Geodreiecken, Klopapier, Dreiecken etc.) -> man kommt mit den selbstgewählten Maßeinheiten nicht immer zum Ziel, weil sie nicht jedem zur Verfügung stehen und teils nicht allgemein genug sind
indirektes Vergleichen mit standardisierten Maßeinheiten
- standardisierte Maßeinheiten: Quadratzentimeter/meter etc. –> eigentlich dasselbe wie Stufe des Messens mit selbstgewählten Vergleichsobejekten, aber hier mit allgemeinerem Objekt
- Nutzung von Messgeräten
Verfeinern/Vergröbern von Maßeinheiten
- Motivierung und Einführung feinerer/gröberer Maßeinheiten
- Ggf. alternative Maßeinheiten (Hektar, Ar; nicht-metrische Einheiten)
- Umrechnung von Größenangaben
Aufbau von Größenvorstellungen
- Ankerpunktwissen
- Typische Repräsentanten für Größenangaben/Maßeinheiten
Rechnen mit Größen
- Addieren, Subtrahieren, Verfielfachen etc.
- Diskussion der Multiplikation von Größen
Wie prüft man, ob Terme äquivalent sind?
- Oberen Term durch Äquivalenzumformungen (Ausmultiplizieren, Verinfachen) umformen
- wenn beide Terme identisch sind, dann sind die Terme äquivalent
Unterrichtsplanung bei Rechteck: Seiten bestückt mit n-Punkten
–> wie kommt man auf die Punkte
Unterrichtsplanung:
1. konkrete Anzahl für n –> erstmal Zählen
2. Höhere Zahlen für n, allmähliche Verallgemeinerung
Alternativ:
1. falsche Formel an die Tafel schreiben –> Diskussion, warum sie falsch ist
2. Auf den richtigen Wert des Terms schließen lassen –> Äquivalenz verschiedener Terme nachweisen
(Schüler sollen kognitiv aktiviert werden, schlecht wäre es, sich nur eine Lösung anzuschauen)
