Funktionen Flashcards
Was können die Schüler am Ende der Grundschulzeit?
Sie sind mit einfachen funktionalen Zusammenhängen vertraut, sofern sie in geläufige Situationstypen eingebettet sind:
* Preis-Menge-Situation
* Maßstabssituation
* einfache Umrechnungen von Größen (z.b. Tag/Stunden)
Die Kinder verfügen dabei über mehr oder weniger Kontext gebundenes Wissen und Strategien.
Sie verfügen über bereichsspezifische, tragfähige Strategien zur Proportionalität
Funktionales Denken
Funktionales Denken ist das mentale Umgehen mit Abhängigkeiten zwischen Größen.
Funktionaler Zusammenhang
Die Eigenschaft zweier Größen in (gegenseitiger) Abhängigkeit zu stehen.
Funktionsbegriff
Mathematisch: A und B seien Mengen. EIne Teilmenge f des kartesischen Produkts A x B heißt Funtkion, falls gilt: Für jedes a ∈ A gibt es genau ein b ∈ B mit (a, b) ∈ f.
Schülergerecht: A und B seien Mengen. Eine Zuordnung f, die jedem Element der Menge A genau ein Element der Menge B zurordnet, heißt Funktion.
Funtkionsbegriff im Mahtematikunterricht
- Bedeutung erstmals von Felix Klein betont
- Im Zentrum stand zunächst nicht unbedingt der Funktionsbegriff, sondern eine eher alltagsbezogene Fähigkeit, Abhängigkeiten zu erkennen, zu beschreiben (auch mit mathematischen Begriffen) und zu nutzen
- Somit: von Beginn an Fokussierung auf verschiedene Aspekte
Grundvorstellungen zum Funtkionesbegriff
- Zuordnungscharakter
- Änderungsverhalten (Kovariation, gezielte Manipulation)
- Sicht als Ganzes
Zurodnungscharakter
Eine Funtkion beschreibt einen Zusammenhang zwischen zwei Größen.
* Jedem Wert einer Größe A wird in eindeutiger Weise ein Wert einer größe B zugeordnet
-> in den Situationen, in denen A einen bestimmten Wert annimmt, nimmt B den entsprechenden zugeordneten Wert an
-> ist A bekannt, dann kann B zu einem gewissen Grad vorausgesagt werden
Beispiele:
* Jeder Höhe über dem Meeresspiegel wird der zu erwartende Luftdruck in dieser Höhe zugeordnet
* Jeder natürlichen Zahl wird die Anzahl ihrer Teiler zugeordnet
Änderungsverhalten
Eine Funtkion beschreibt, wie sich die Änderung einer Größe auf die andere auswirkt.
* Kovariation: Ändert sich die eine Größe, dann hat das ggf. auch Auswirkungen auf die andere
* Gezielte Manipulation: durch Änderung einer Größe kann gezielt Veränderung der anderen Größe erreicht werden
Beispiele:
* je häher ich komme, um so niedriger wird der zu erwartende Luftdruck
* verdoppelt man eine ungerade Zahl, so verdoppelt man auch die Anzahl der dazugehörigen Teiler
Sicht als Ganzes
Funtkionen sind Objekte, mit denen als Ganzes operiert werden kann.
* Funtkionen als Modelle zur Beschreibung realer Zusammenhänge
* Veränderung an einer Funktion (z.B. Strecke, verschiebung, Ableiten) entspricht anderem Blick auf die Situation (z.B. andere Maßeinheiten, veränderter Referenzpunkt, Blick auf die Änderungsrate)
* Globale EIngenschaften einer Funktion (Additivität, Proportionalitseigenschaften…)
* Typen funktionaler Zusammenhänge
Umwelterschließung durch Mathematik? Wie?
Mathematische Begriffe sind Werkzeuge zur Erschließung der “Welt”. Ziele mathematischer Grundbildung sind begriffliches Verstehen und funktionales Verwenden von Mathematik, nicht nur (rein) “technische” Fertigkeiten und Kenntnisse.
Beschreibe das Verhältnis realer Welt zu Mathematischer Beschreibung
Reale Welt:
Funktionaler Zusammenhang
<->
Mahtematische Beschreibung:
Funktion
Wie soll der Funtkionsbegriff helfen, die Umwelt zu strukturieren?
- Betrachten der Umwelt - Erkennen
- Beschreiben der Umwelt - Kommunizieren
- Erklären der Umwelt - Verstehen von Phänomenen
- rationales Handeln in der Umwelt - planvolles Handeln
- Erforschen der Umwelt - Untersuchung von Hypothesen
- Kreatives Handeln in der Umwelt - (Er)finden von Zusammenhängen
Wie werden mathematische Funktionen genutzt, um funtkionale Zusammenhänge aus dem Alltag oder innerhalb der Mathematik zu modellieren?
Ablauf: 1 Realsituation -> 2 Situationsmodell -> 3 Realmodell -> 4 Math. Modell -> 5 Math. Resultate -> 6 Reale Resultate -> 7 Situationsmodell -> 8 Realsituation
Dabei geschehen Schritte 1 2 und 3, sowie 7 und 8 im Rest der Welt, Schritt 5 geschieht innerhalb der Mathematik und Schritt 4 und 6 verbinden diese beiden Welten miteinander
Wieso können Funktionen den Zusammenhang ggf. nur annähernd beschreiben?
- Ungenauigkeit der erhobenen Daten: Der Modellierte Zusammenhang sagt die abhängige Größe nur ungenau voraus
- eingeschränkte Passung: der modellierte Zusammenhang sagt die abhängige Größe nur in bestimmten Bereichen gut voraus (z.B. Proportionalitäten als Modelle für Anzahl - Preis - Zusammenhänge und Mengenrabatt)
Welche Art von kausalen Zusammenhängen können Funktionen modellieren?
- Funktionen können sowohl direkt kausale Zusammenhänge modellieren (z.b. Fahrstrecke - Preis einer Bahnfahrt) als auch indirekte Zusammenhänge (z.B. Fahrdauer - Preis)
- Generell sind Funktionen Modelle der Realität jedoch nicht die Realität selbst
Was gilt für die Ableitung von f und alle reellen Zahlen x?
f(-x) = - f(x)
Vorliegen einer punktsymmetrischen Funktion –> ungerader Exponent –> Ableiten –> gerader Exponent –> danach ist die Funktion also achsensymmetrisch
concept definition
- Fachlicher Begriffsumfang
- Formale Begriffsdefinition
- -> allgemein akzeptierte Bedeutung des Konzepts
concept image
…that is, the set of all the mental pictures associated in the student´s mind with the concept name, together with all the properties characterizing them. (By mental picture we mean any kind of represantation - picture, symbolic form, diagram, graph, etc.)
-> individuelle mentale Repräsentation des Konzepts
Welche externalen Repräsentationen von Funktionen gibt es?
- Funktionsgraph (graphisch)
-> statisch: als Abbildung
-> dynamisch: Darstellung mit entsprechender Software - Funtkionsterm:
-> sofern es einen solchen gibt - Wertetabelle:
-> Darstellung nur teilweise möglich (endlich viele Werte)
-> Mentale Vorstellung kann umfassender sein - Epidsodisch
-> Beschreibung eines Kontextes, den die Funktion modellieren könnte
Prinzip des intermodalen Transfers: Ein Konzept - viele Repräsentationen
- grafische/ikonische Darstellungen
-> Strukturen und Inhalte können direkt visuell oder haptisch entnommen werden - verbale Darstellung
-> mathematische Eigenschaften und Strukturen werden anhand von Wörtern beschrieben - symbolische Darstellung
-> Strukturen können nur indirekt entnommen werden, indem Symbole und deren Anordnung entschlüsselt werden - episodisch/strukturelle Darstellung
-> mathematische Strukturen treten in konkreten realen Situationen auf und können diese strukturieren und beschreiben
Konzept - viele Repräsentationen am Beispiel Funktion
- grafische Darstellung
-> Funktionsgraphen - symbolische Darstellung
-> Funktionsterm
dazwischen: Wertetabellen - verbale Darstellungen
-> Eine Exponentialfunktion mit Basis 1,014
und Wert 7,72 an der Stelle 2020 - episodisch/situative Darstellungen
-> Die Weltbevölkerung wächst näherungsweise
um ca. 1,4% pro Jahr. Im Jahr 2020 war
umfasste sie ca. 7,72 Milliarden Menschen.
(exemplarische Situation)
Was sind die Kernaussagen des Konzeptmodells hinsichtlich Funktionen?
-> Fähigkeit zum intermodalen Transfer als wesentlicher Teil von Begriffsverständnis
-> Beziehungen zwischen verschiedenen Darstellungen erkennen als Lernprinzip
Wieso ist der Umgang mit Funtkionen ein eingeschränkter Spezialfall des EIS Prinzips?
- Bruner unterschiedet drei Ebenen von Repräsentationen:
- Enaktive: in einer Handlung, konkret, haptisch
- ikonisch: in Diagrammen, bildlich, visuell
- symbolisch: in einem mathematischen Symbolsystem
- Das EIS Prinzip besagt,
–> dass das Verständnis mathematischer Konzepte damit einhergeht, sie auf verschiedenen Ebenen darstellen zu können
–> und felxibel zwischen verschiedenen Darstellungsebenen für ein mathematisches Konzept wechseln zu können
Wie unterscheiden sich externale Repräsentationen?
- nicht nur in ihrer Darstellungsform, sondern auch in Bezug auf die Struktur der enthaltnenen Information, also auch in
- …anwendbaren Operationen (z.B. Steigungen bilden, Verschiebungen, Streckungen)
- …Möglichkeiten zum Ablesen/Beschreiben von Eigenschaften (z.B. Monotonie, Existenz von Asymptoten)
Was sind hinsichtlich der Repräsentationsformen relevante Fragen für Lehrkräfte?
Was bedeutet eine EIgenschaft/Operation in unterschiedlichen Repräsentationen?
Ist der Zusammenhang zwischen diesen Bedeutungen leicht einsehbar oder muss er explizit thematisiert werden?
Fähigkeit Repräsentationswechsel
- verschiedene Darstellungen einer Funktion ineinander überführen z.B. Tabelle -> Graph -> Term
- Bedeutung von Eigenschaftsbegriffen, Relationsbegriffen und Operationen in verschiedenen Repräsentationen aufeinander beziehen
*
Prototypische Vorstellungen
- Um Konzepte in Anforderungssituationen wieder zu erkennen, nutzen wir prototypische Vorstellungen zu diesen Konzepten
- Wir denken an “typische” Funktionen, wie z.B. lineare Funtkionen, monotone Funktionen
- -> zu tragfähigem begrifflichen Wissen gehören ausreichend ausgeschärfte und flexible prototypische Vorstellungen:
…nicht jede Funktion ist stetig/linear/auf einem Intervall definiert
…nicht jede monoton steigende Funktion ist linear
…nicht jede Funktion hat einen grafisch darstellbaren Funktionsgraph
…nicht jeden Funktion kann durch einen Funktionsterm beschrieben werden
….nicht jede Funktion ist differenzierbar
Welche Problembereiche gibt es hinsichtlich Funktionen?
- Graph als Bild Fehler
- Slope-Height Confusion (allgemeiner: Interval-Point-Confusion)
- Fehlende Beziehung zwischen Repräsentanten
- eingeschränkte prototypische Vorstellungen
- Rolle von zeitunabhängigen Funktionen
- Funktionale Zusammenhänge und Kausalität
- Correspondence Misconception
- diskrete und kontinuierliche Graphen/Funktionen
- Probleme mit dem Variablenkonzept
- Probleme mit formalen Aspekten
Graph als Bild Fehler
Man stellt sich den Graphen zum Beispiel als Berg/Rennstrecke vor
Slope- Height- Confusion (allgemeiner: Interval-point-Confusion)
Fehler: Wenn ein Graph über dem anderen ist, denken die Schüler, dass hier der Zuwachs größer ist (hier müsste man aber Steigung betrachten)
allgemeiner: Fokussierung auf den Zuordnungsaspekt, anstelle des Kovariationsaspekts (Änderungsverhalten)
fehlende Beziehungen zwischen Repräsentationen
Schüler können beispielsweise Graphen nicht nach Funktionstermen aufstellen
eingeschränkte prototypische Vorstellungen
- eingeschränktes concept image
- nur teilweise konsistent mit typischen realen funktionalen Zusammenhängen, die den Zusammenhang nicht-zeitlicher Größen beschreiben
- Auch bei bekannter Definition des Funktionsbegriffs (concept definition)
Rolle von zeit(un)abhängiger Funktionen
- häufig bessere Leistungen bei funktionalen Zusammenhängen, die zeitliche Abläufe beschreiben, als bei funktionalen Zusammenhängen, die den Zusammenhang nicht-zeitlicher größen beschreiben
- mögliche Erklärungen:
- bei zeitunabhängigen Funktionen muss nur eine Variable in ihrer zeitlichen Entwicklung gesehen werden
- eingeschränkte prototypische Vorstellungen aufgrund einseitiger Thematisierung zeitabhängiger Zusammenhänge
Funktionale Zusammenhänge und Kausalität
- Zusammenhänge werden nur akzeptiert, wenn eine vermittelnde kausale Verbindung (z.B. ein vermittelnder Mechanismus) bekannt ist (z.B: Gewicht eines Haustiers und notwendige Nahrungsmenge)
- Korrelative Abhängigkeiten werden nicht akzeptiert (z.B. das Gewicht eines Haustiers und zu erwartender Lebensdauer)
Correspondence Misconception
- nur bijektive Zuordnungen (1- zu 1 Zuordnungen) werden als Graphen akzeptiert
- also:
- Erarbeitung von nicht bijektiven Zuordnungen
- Unterscheidung von one-to-many und many-to-one correspondences
- z.B. konstante Funktionen werden nicht als Funktionen akzeptiert, weil ein y- Wert mehreren x-Werten zugeordnet wird
diskrete und kontinuierliche Graphen/Funktionen
- z.B. Anzahl der Fahrzeige in einem Fuhrpark - Jährliche Kosten
- Dokumentierte Probleme:
- Lernende stellen diskrete Funtkionen durch kontinuierliche Graphen dar (es gibt keine halben Autos etc.)
- Lernende haben Probleme mit kontinuierlichen Funktionen als Modelle für diskrete Zusammenhänge
- i.d.R. fokussieren sich die Lernende auf diskrete Werte, auch wenn ein kontinuierlicher Graph vorhanden ist
- kontinuierliche Funktionen können als Modelle diskreter Zusammenhänge dienen (und anders herum)
Probleme mit Variablenkonzept
Siehe Vorlesung “Didaktik in den Bereichen Algebra, Zahlen und Operationen”
Probleme mit formalen Aspekten
- Verständnis kartesischer Koordinatensysteme (Graphen)
- spezifischer: Interpretation der Skalierung der Achsen, Nullpunkt
- Abhängigkeit der Darstellung (nicht der Funktion selbst) von der Skalierung der Achsen
- Wie verändert sich der Graph, wenn ich die Einheit verdopple/halbiere, die Skala verschiebe….?
Zusammenfassung - Problembereiche
1. flexibler Repräsentationswechsel
- Probleme beim flexiblen Repräsentationswechsel
Verständnis von Eigenschaften und Operationen
Nutzung zum Problemlösen
Zusammenfassung - Problembereiche
2. einseitiges formalisiertes Begriffsverständnis
Einseitig formalisiertes Begriffsverständnis
-> Starke Fokussierung auf den Zuordnungsaspekt
-> Zu starke, oberflächliche Orientierung an formalen Notationen
-> Gute technische Fertigkeiten (Schemata anwenden) und Probleme bei komplexeren Problemen
-> Vermischung von Begriffen: Kurven, Funktionsgraphen, Funktionsterm, Funktionsgleichung, Funktion, Funktionswert,…
Zusammenfassung - Problembereiche
3. eingeschränkter Begriffsumfang
Eingeschränkter Begriffsumfang
-> Eingeengte Variablenvorstellungen/Grundvorstellungen zu Funktionen
-> Einengung von Funktion auf „durch Terme beschreibbar“
-> Einengung auf „exakte“ Beschreibung der Umwelt
-> Einengung auf einen kleinen Bereich funktionaler Zusammenhänge
Was muss man also bei der Thematisierung unterschiedlicher Repräsentationen beachten?
- Anregen von Repräsentationswechseln
- Begriffe und Operationen in unterschiedlichen Repräsentationen
- Nutzung verschiedener Repräsentationen beim Problemlösen (adaptive choice of representations)
Wie kann man eine einseitige formalisierte Vorstellung vorbeugen
- verständnisorientierte Fundierung des Funktionsbegriffs
- Übungen zur Sicherung von technischen Fertigkeiten und Thematisierung der Bedeutung in unterschiedlichen Repräsentationen (z.B. Graph/Sachsituation)
- Fachvokabular sparsam einführen
- Nutzung “standardisierten” Vokabulars gemeinsam mit alternativen Beschreibungen (y-Wert=Funktionswert=abhängige Variable)
- Potential des Funktionsbegriffs herausarbeiten
- verfrühte Formalisierung ohne zugrundeliegende Fragestellung vermeiden
Problembereiche der Implikationen: Erweiterung des Begriffsumfangs von Anfang an
- andere Funktionstypen zur Kontrastierung immer wieder einflechten
- Variation von Anforderungen
- Nicht alle Aufgaben im Mathematikunterricht müssen sich auf das gerade behandelte Konzept beziehen
Problembereiche Implikationen: kumulativer Aufbau des Funktionsbegriffs
- konkrete funktionale Zusammenhänge in der Grundschule, Geometrie…
- Terme als Werkzeuge zur Beschreibung von Zusammenhängen durch Rechenoperationen
- Funktionsbegriff zur Modellierung beliebiger Zusammenhänge, Graphen
- detailliertes Betrachten einzelner Funktionstypen
- Werkzeuge zur Analyse spezifischer Funtkionstypen
- Werkzeuge zur Analyse großer Klassen von Funtkionen
