Funktionen Flashcards
Was können die Schüler am Ende der Grundschulzeit?
Sie sind mit einfachen funktionalen Zusammenhängen vertraut, sofern sie in geläufige Situationstypen eingebettet sind:
* Preis-Menge-Situation
* Maßstabssituation
* einfache Umrechnungen von Größen (z.b. Tag/Stunden)
Die Kinder verfügen dabei über mehr oder weniger Kontext gebundenes Wissen und Strategien.
Sie verfügen über bereichsspezifische, tragfähige Strategien zur Proportionalität
Funktionales Denken
Funktionales Denken ist das mentale Umgehen mit Abhängigkeiten zwischen Größen.
Funktionaler Zusammenhang
Die Eigenschaft zweier Größen in (gegenseitiger) Abhängigkeit zu stehen.
Funktionsbegriff
Mathematisch: A und B seien Mengen. EIne Teilmenge f des kartesischen Produkts A x B heißt Funtkion, falls gilt: Für jedes a ∈ A gibt es genau ein b ∈ B mit (a, b) ∈ f.
Schülergerecht: A und B seien Mengen. Eine Zuordnung f, die jedem Element der Menge A genau ein Element der Menge B zurordnet, heißt Funktion.
Funtkionsbegriff im Mahtematikunterricht
- Bedeutung erstmals von Felix Klein betont
- Im Zentrum stand zunächst nicht unbedingt der Funktionsbegriff, sondern eine eher alltagsbezogene Fähigkeit, Abhängigkeiten zu erkennen, zu beschreiben (auch mit mathematischen Begriffen) und zu nutzen
- Somit: von Beginn an Fokussierung auf verschiedene Aspekte
Grundvorstellungen zum Funtkionesbegriff
- Zuordnungscharakter
- Änderungsverhalten (Kovariation, gezielte Manipulation)
- Sicht als Ganzes
Zurodnungscharakter
Eine Funtkion beschreibt einen Zusammenhang zwischen zwei Größen.
* Jedem Wert einer Größe A wird in eindeutiger Weise ein Wert einer größe B zugeordnet
-> in den Situationen, in denen A einen bestimmten Wert annimmt, nimmt B den entsprechenden zugeordneten Wert an
-> ist A bekannt, dann kann B zu einem gewissen Grad vorausgesagt werden
Beispiele:
* Jeder Höhe über dem Meeresspiegel wird der zu erwartende Luftdruck in dieser Höhe zugeordnet
* Jeder natürlichen Zahl wird die Anzahl ihrer Teiler zugeordnet
Änderungsverhalten
Eine Funtkion beschreibt, wie sich die Änderung einer Größe auf die andere auswirkt.
* Kovariation: Ändert sich die eine Größe, dann hat das ggf. auch Auswirkungen auf die andere
* Gezielte Manipulation: durch Änderung einer Größe kann gezielt Veränderung der anderen Größe erreicht werden
Beispiele:
* je häher ich komme, um so niedriger wird der zu erwartende Luftdruck
* verdoppelt man eine ungerade Zahl, so verdoppelt man auch die Anzahl der dazugehörigen Teiler
Sicht als Ganzes
Funtkionen sind Objekte, mit denen als Ganzes operiert werden kann.
* Funtkionen als Modelle zur Beschreibung realer Zusammenhänge
* Veränderung an einer Funktion (z.B. Strecke, verschiebung, Ableiten) entspricht anderem Blick auf die Situation (z.B. andere Maßeinheiten, veränderter Referenzpunkt, Blick auf die Änderungsrate)
* Globale EIngenschaften einer Funktion (Additivität, Proportionalitseigenschaften…)
* Typen funktionaler Zusammenhänge
Umwelterschließung durch Mathematik? Wie?
Mathematische Begriffe sind Werkzeuge zur Erschließung der “Welt”. Ziele mathematischer Grundbildung sind begriffliches Verstehen und funktionales Verwenden von Mathematik, nicht nur (rein) “technische” Fertigkeiten und Kenntnisse.
Beschreibe das Verhältnis realer Welt zu Mathematischer Beschreibung
Reale Welt:
Funktionaler Zusammenhang
<->
Mahtematische Beschreibung:
Funktion
Wie soll der Funtkionsbegriff helfen, die Umwelt zu strukturieren?
- Betrachten der Umwelt - Erkennen
- Beschreiben der Umwelt - Kommunizieren
- Erklären der Umwelt - Verstehen von Phänomenen
- rationales Handeln in der Umwelt - planvolles Handeln
- Erforschen der Umwelt - Untersuchung von Hypothesen
- Kreatives Handeln in der Umwelt - (Er)finden von Zusammenhängen
Wie werden mathematische Funktionen genutzt, um funtkionale Zusammenhänge aus dem Alltag oder innerhalb der Mathematik zu modellieren?
Ablauf: 1 Realsituation -> 2 Situationsmodell -> 3 Realmodell -> 4 Math. Modell -> 5 Math. Resultate -> 6 Reale Resultate -> 7 Situationsmodell -> 8 Realsituation
Dabei geschehen Schritte 1 2 und 3, sowie 7 und 8 im Rest der Welt, Schritt 5 geschieht innerhalb der Mathematik und Schritt 4 und 6 verbinden diese beiden Welten miteinander
Wieso können Funktionen den Zusammenhang ggf. nur annähernd beschreiben?
- Ungenauigkeit der erhobenen Daten: Der Modellierte Zusammenhang sagt die abhängige Größe nur ungenau voraus
- eingeschränkte Passung: der modellierte Zusammenhang sagt die abhängige Größe nur in bestimmten Bereichen gut voraus (z.B. Proportionalitäten als Modelle für Anzahl - Preis - Zusammenhänge und Mengenrabatt)
Welche Art von kausalen Zusammenhängen können Funktionen modellieren?
- Funktionen können sowohl direkt kausale Zusammenhänge modellieren (z.b. Fahrstrecke - Preis einer Bahnfahrt) als auch indirekte Zusammenhänge (z.B. Fahrdauer - Preis)
- Generell sind Funktionen Modelle der Realität jedoch nicht die Realität selbst
Was gilt für die Ableitung von f und alle reellen Zahlen x?
f(-x) = - f(x)
Vorliegen einer punktsymmetrischen Funktion –> ungerader Exponent –> Ableiten –> gerader Exponent –> danach ist die Funktion also achsensymmetrisch
concept definition
- Fachlicher Begriffsumfang
- Formale Begriffsdefinition
- -> allgemein akzeptierte Bedeutung des Konzepts
concept image
…that is, the set of all the mental pictures associated in the student´s mind with the concept name, together with all the properties characterizing them. (By mental picture we mean any kind of represantation - picture, symbolic form, diagram, graph, etc.)
-> individuelle mentale Repräsentation des Konzepts
Welche externalen Repräsentationen von Funktionen gibt es?
- Funktionsgraph (graphisch)
-> statisch: als Abbildung
-> dynamisch: Darstellung mit entsprechender Software - Funtkionsterm:
-> sofern es einen solchen gibt - Wertetabelle:
-> Darstellung nur teilweise möglich (endlich viele Werte)
-> Mentale Vorstellung kann umfassender sein - Epidsodisch
-> Beschreibung eines Kontextes, den die Funktion modellieren könnte
Prinzip des intermodalen Transfers: Ein Konzept - viele Repräsentationen
- grafische/ikonische Darstellungen
-> Strukturen und Inhalte können direkt visuell oder haptisch entnommen werden - verbale Darstellung
-> mathematische Eigenschaften und Strukturen werden anhand von Wörtern beschrieben - symbolische Darstellung
-> Strukturen können nur indirekt entnommen werden, indem Symbole und deren Anordnung entschlüsselt werden - episodisch/strukturelle Darstellung
-> mathematische Strukturen treten in konkreten realen Situationen auf und können diese strukturieren und beschreiben
Konzept - viele Repräsentationen am Beispiel Funktion
- grafische Darstellung
-> Funktionsgraphen - symbolische Darstellung
-> Funktionsterm
dazwischen: Wertetabellen - verbale Darstellungen
-> Eine Exponentialfunktion mit Basis 1,014
und Wert 7,72 an der Stelle 2020 - episodisch/situative Darstellungen
-> Die Weltbevölkerung wächst näherungsweise
um ca. 1,4% pro Jahr. Im Jahr 2020 war
umfasste sie ca. 7,72 Milliarden Menschen.
(exemplarische Situation)
Was sind die Kernaussagen des Konzeptmodells hinsichtlich Funktionen?
-> Fähigkeit zum intermodalen Transfer als wesentlicher Teil von Begriffsverständnis
-> Beziehungen zwischen verschiedenen Darstellungen erkennen als Lernprinzip
Wieso ist der Umgang mit Funtkionen ein eingeschränkter Spezialfall des EIS Prinzips?
- Bruner unterschiedet drei Ebenen von Repräsentationen:
- Enaktive: in einer Handlung, konkret, haptisch
- ikonisch: in Diagrammen, bildlich, visuell
- symbolisch: in einem mathematischen Symbolsystem
- Das EIS Prinzip besagt,
–> dass das Verständnis mathematischer Konzepte damit einhergeht, sie auf verschiedenen Ebenen darstellen zu können
–> und felxibel zwischen verschiedenen Darstellungsebenen für ein mathematisches Konzept wechseln zu können
Wie unterscheiden sich externale Repräsentationen?
- nicht nur in ihrer Darstellungsform, sondern auch in Bezug auf die Struktur der enthaltnenen Information, also auch in
- …anwendbaren Operationen (z.B. Steigungen bilden, Verschiebungen, Streckungen)
- …Möglichkeiten zum Ablesen/Beschreiben von Eigenschaften (z.B. Monotonie, Existenz von Asymptoten)
