T11 - Funciones

Question 1

Ejes cartesianos o de coordenadas

Answer 1

Los ejes cartesianos o ejes de coordenadas son dos rectas perpendiculares graduadas, una horizontal y otra vertical, que dividen al plano en cuatro regiones o cuadrantes.

• El eje horizontal se llama eje de abscisas o eje X.
• El eje vertical se llama eje de ordenadas o eje Y.
• El punto donde se cortan los dos, O, se llama origen de coordenadas.

Question 2

Coordenadas cartesianas

Answer 2

Las coordenadas cartesianas de un punto P del plano son un par ordenado de números que indican su posición respecto de los ejes. Se expresan como P(x, y).

• La coordenada x se denomina abscisa del punto y representa la posición sobre el eje X.
• La coordenada y se denomina ordenada del punto y representa la posición sobre el eje Y.

Las coordenadas del origen O son (0, 0).

Las coordenadas también pueden ser números decimales. En este caso, se utiliza el punto y coma como separador, para evitar confusiones:

P(2,5; 3)

Question 3

Correspondencia

Answer 3

Una correspondencia es cualquier relación que se quiera establecer entre los elementos de dos conjuntos. El conjunto de partida se llama conjunto inicial y el de llegada conjunto final.

Question 4

Función

Answer 4

Una función es una correspondencia entre dos conjuntos tal que a cada elemento del conjunto inicial le corresponde un único valor del conjunto final.

Los elementos del conjunto inicial forman la variable independiente. Se representa con una letra: x, t, ….

Los elementos del conjunto final forman la variable dependiente o imagen. Se representa con la letra y o como f(x), f(t)…

Question 5

Formas de representar la relación entre dos magnitudes

Answer 5

• Fórmulas.
• Tablas.
• Gráficas.

Question 6

¿Cuándo podemos unir los puntos de una gráfica?

Answer 6

Solo se pueden unir los puntos representados si la función puede tomar los valores intermedios.

Question 7

Dominio de una función

Answer 7

El dominio de una función f es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente. Se suele escribir como D(f).

Question 8

Recorrido de una función

Answer 8

El recorrido de una función f es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente. Se suele escribir como R(f).

Question 9

Gráfica de una función

Answer 9

La gráfica de una función, es la representación en los ejes de coordenadas de los puntos de la forma (x, y), donde y = f(x).

Question 10

Función continua

Answer 10

Una función es continua en su dominio cuando no presenta cortes ni saltos y se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel.

Question 11

Función discontinua

Answer 11

La función es discontinua cuando presenta saltos y no se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel.

Los puntos en los que una función presenta saltos se llaman discontinuidades.

Question 12

Puntos de corte con los ejes

Answer 12

• Los puntos de corte con el eje X tienen la coordenada y igual a cero: (x, 0)
• Los puntos de corte con el eje Y tienen la coordenada x igual a cero: (0, y)

Question 13

Función creciente en un intervalo

Answer 13

Una función es creciente en un intervalo si al aumentar el valor de la variable independiente aumenta el valor de la variable dependiente.

Question 14

Una función es decreciente en un intervalo

Answer 14

Una función es decreciente en un intervalo si al aumentar el valor de la variable independiente disminuye el valor de la variable dependiente.

Question 15

Función constante en un intervalo

Answer 15

Una función es constante en un intervalo si al aumentar la variable independiente el valor de la variable dependiente toma siempre el mismo valor.

Question 16

Máximo

Answer 16

Una función continua presenta un máximo en un punto si a la izquierda de ese punto la función crece y a la derecha decrece.

Question 17

Mínimo

Answer 17

Una función continua presenta un mínimo en un punto si a la izquierda de ese punto la función decrece y a la derecha crece.

Question 18

Máximo absoluto

Answer 18

Si una función tiene más de un máximo, llamamos máximo absoluto a aquel que tiene mayor ordenada y máximos relativos al resto.

Question 19

Mínimo absoluto

Answer 19

Si una función tiene más de un mínimo, llamamos mínimo absoluto a aquel que tiene menor ordenada y mínimos relativos al resto.

Question 20

Función lineal

Answer 20

Una función lineal es una función polinómica de la forma y = mx + n, donde m y n son números cualesquiera.

• m es la pendiente de la recta e indica su inclinación.
• n es la ordenada en el origen e indica el punto de corte con el eje Y. Dicho punto será (0, n)

Question 21

Gráfica de una función lineal

Answer 21

La gráfica de una función lineal es una línea recta.

Question 22

Pendiente de una recta

Answer 22

La pendiente mide la inclinación de la recta. Dependiendo del signo de m, se pueden dar tres situaciones.

• Si m>0 la función es creciente.
• Si m<0 la función es decreciente.
• Si m=0, la función es constante en todo su dominio por lo que sería de grado 0 en lugar de lineal.

Question 23

Pendiente de la recta que pasa por P y Q

Answer 23

Dados dos puntos P(x₁,y₁) y Q(x₂, y₂), se define la pendiente de la recta que pasa por P y Q como:

Question 24

Función de proporcionalidad directa

Answer 24

Si la ordenada en el origen es nula, n = 0, la función es y = mx.

• Las funciones y = mx se llaman funciones de proporcionalidad directa.
• La pendiente m se llama constante o razón de proporcionalidad.
• Su gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas.

Question 25

Ecuación explífica de la recta

Answer 25

Una recta de la forma y = mx + n, donde m es la pendiente y n es la ordenada en el origen está expresada en forma explícita.

Question 26

Rectas paralelas y secantes

Answer 26

Dos rectas son paralelas si tienen la misma inclinación, es decir, la misma pendiente. No tienen ningún punto en común.

Dos rectas son coincidentes si tienen la misma pendiente y la misma ordenada en el origen. Todos sus puntos son comunes.

Dos rectas son secantes, si tienen distinta pendiente. Tienen un único punto en común.

Question 27

Función de proporcionalidad inversa

Answer 27

Las funciones que relacionan dos magnitudes inversamente proporcionales se llaman funciones de proporcionalidad inversa.

y=k/x, donde k es la constante de proporcionalidad inversa y x no puede ser cero 0.

Question 28

Gráficas de las funciones de proporcionalidad inversa

Answer 28

Las gráficas de las funciones de proporcionalidad inversa (y=k/x) se denominan hipérbolas. Todas las hipérbolas tienen unas características comunes:

• Para valores de x positivos y cada vez mayores, la gráfica se va acercando al eje X, sin llegar a cortarlo. Lo mismo ocurre para valores de x negativos y cada vez menores.
• Si x toma valores cercanos a 0, la función se acerca al eje Y sin llegar a cortarlo.
• No tiene puntos de corte con el eje Y ni con el eje X.
• La función es creciente o decreciente dependiendo del signo de la constante de proporcionalidad inversa.
  
  • Si k > 0, la función es decreciente.
  • Si k < 0, la función es creciente.