T09 - Ecuaciones

Question 1

Igualdad algebraica

Answer 1

Dos dos expresiones algebraicas relacionadas con el signo igual (=).

Question 2

Identidad

Answer 2

Una identidad es una igualdad algebraica que se verifica para cualquier valor de las variables que aparecen.

Question 3

Ecuación

Answer 3

Una ecuación es una igualdad algebraica que se verifica solamente para ciertos valores de las variables, o incógnitas. Dichos valores son las soluciones de la ecuación.

El grado de una ecuación es el mayor grado de los monomios que contiene.

Question 4

Resolver una ecuación

Answer 4

Resolver una ecuación es encontrar el valor o los valores que ha de tomar la incógnita para que se cumpla la igualdad. Dichos valores se denominan soluciones de la ecuación.

Question 5

Número de soluciones de una ecuación

Answer 5

Una ecuación puede tener ninguna, una, varias o infinitas soluciones.

En las ecuaciones polinómicas, el número de soluciones está relacionado con el grado de los polinomios.

Question 6

Ecuaciones equivalentes

Answer 6

Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.

Question 7

Criterios de equivalencia

Answer 7

Para conseguir ecuaciones equivalentes a una dada podemos utilizar dos criterios:

1. Regla de la suma
2. Regla del producto.

Question 8

Regla de la suma

Answer 8

Si en una ecuación se suma o se resta el mismo número o la misma expresión algebraica en los dos miembros, se obtiene una ecuación equivalente.

Question 9

Regla del producto

Answer 9

Si en una ecuación se multiplican o se dividen los dos miembros por un mismo número, distinto de cero, se obtiene una ecuación equivalente.

Question 10

Ecuaciones de primer grado

Answer 10

Una ecuación es de primer grado o lineal si es equivalente a una ecuación en la que los dos miembros son polinomios de grado 1.

Question 11

Número de soluciones de una ecuación de primer grado

Answer 11

Una ecuación de primer grado puede tener una única solución, pero también pueden darse otras dos situaciones:

• Que se trate de una identidad, con infinitas soluciones. Al despejar x se llega a una expresión del tipo 0 = 0, cierta para cualquier valor de x.
• Que no tenga solución. Al despejar se llega a una expresión como 3 = 2, que no se puede cumplir para ningún valor de x.

Question 12

Pasos para resolver una ecuación de primer grado

Answer 12

Para resolver una ecuación de primer grado con una incógnita, se despeja la incógnita siguiendo estos pasos:

1. Se opera para suprimir los paréntesis.
2. Se opera para eliminar los denominadores (multiplicar la ecuación por el mcm de los denominadores).
3. Se simplifican los términos que se puedan.
4. Se aplica la regla de la suma (dejar un término con la incógnita en un miembro de la ecuación y un término independiente en el otro).
5. Se aplica la regla del producto (dividir los dos miembros entre el coeficiente de la incógnita).

Question 13

Problemas con ecuaciones de primer grado

Answer 13

1. Leer el enunciado del problema tantas veces como sea necesario hasta comprenderlo.
2. Identificar los datos y asignar las incógnitas. Podemos utilizar una tabla, un dibujo u otros recursos.
3. Plantear una ecuación. Primero escribiremos una frase que resuelva el problema y la iremos transformando hasta encontrar una ecuación que la represente.
4. Resolver dicha ecuación.
5. Relacionar la solución de la ecuación con la o las soluciones del problema.

Question 14

Ecuaciones de segundo grado

Answer 14

Una ecuación es de segundo grado con una incógnita cuando se puede reducir a una ecuación equivalente de la forma (ver imagen)

donde a es el coeficiente principal y c es el término independiente.

Question 15

Ecuación de segundo grado completa

Answer 15

Cuando los coeficientes a, b y c de la ecuación son distintos de cero.

Question 16

Ecuación de segundo grado incompleta

Answer 16

Cuando el coeficiente b (término lineal), el c (término independiente) o los dos con iguales a cero.

Question 17

Resolver ecuaciones de segundo grado incompletas cuando b es cero

Answer 17

Las ecuaciones del tipo ax² + c = 0 se resuelven despejando x directamente:

Si −c/a es negativo, la ecuación no tiene solución.

Si −c/a es positivo, la ecuación tiene dos soluciones opuestas.

Question 18

Resolver ecuaciones de segundo grado incompletas cuando c es cero (sin término independiente)

Answer 18

En las ecuaciones del tipo ax²+bx=0 procedemos así:

1. Sacamos factor común la incógnita de la ecuación.
2. Como un producto da cero si alguno de sus factores son cero, entonces, las soluciones serán:
   
   1. x₁=0
   2. La solución de la ecuación de primer grado ax+b=0 ⇒ x_{<span>2</span>}=-b/a

Question 19

Resolución de una ecuación de segundo grado

Answer 19

1. Debemos operar la ecuación hasta dejarla de la siguiente forma ax²+bx+c=0. Para ello, usaremos los mismos pasos que en las ecuaciones de primer grado.
2. Despejamos la incógnita usando la fórmula general:

Question 20

Discriminante de una ecuación de segundo grado

Answer 20

Se llama discriminante a la expresión b² − 4ac

Question 21

Número de soluciones de una ecuación de segundo grado

Answer 21

El número de soluciones de una ecuación depende del discriminante.

• Si b² − 4ac es mayor que cero, tendrá dos soluciones.
• Si b2 − 4ac es cero, tendrá una solución.
• Si b2 − 4ac es menor que cero, entonces, la ecuación no tiene solución en los números que conocemos actualmente.

Question 22

Miembro de una ecuación

Answer 22

Las expresiones algebraicas que aparecen a ambos lados del igual de una ecuación se llaman miembros.