Successioni di funzioni Flashcards
Definizioni di convergenza puntuale e problematiche annesse, con esempio
Una funzione fn(x) converge puntualmente a f(x) se lim per
n–>+infinito di fn(x)=f(x). Oppure per ogni epsilon maggiore di 0 e per ogni x appartenente al dominio esiste un M(epsilon,x) tc per ogni n>M |fn(x)-f(x)|<epsilon.
La convergenza puntiforme non conserva limitatezza, continuità, valore dell’integrale definito, integrabilità. fn(x)=n^2x per x appartenente [0,1/n], 1/x per x appartenente a (1/n, 1]…
pg 110-111-112
Definizione di convergenza uniforme e della condizione di Cauchy Uniforme
C.U: Una successione di funzione fn:S—>R, converge uniformemente a f in S, se lim (n—>+inifinito) sup|fn(x)-f(x)=0 o equivalentemente per ogni epsilon maggiore di 0, per ogni x appartenente a S esiste un N(epsilon) tc d(fn(x),f(x))<epsilon per ogni n maggiore di N.
Simile è la definizione di condizione di Cauchy uniforme, infatti si richiede che per ogni epsilon maggiore di 0, per ogni x appartenente a S esiste un N(epsilon) tc d(fn(x), fm(x))<epsilon per ogni n,m>N. In R con la metrica euclidea CaU <==> CU
pg 112
Che differenza c’è tra la definizione di CU e CP? E graficamente?
In CP N dipende sia da epsilon sia da x0, mentre per CP N dipende solo da epsilon. Graficamente ho che per CP da un certo N in poi la successione fn(x0) è compresa tra f(x)+epsilon e f(x)-epsilon; per quanto riguarda la CU su tutto l’intervallo considerato da un certo N in poi la successione fn(x) deve essere compresa tra f(x)+epsilon e f(x)-epsilon.
Spiegata più approfonditamente a pg 114-tris
Teorema sulla limitatezza di successioni di funzioni uniformemente continue
Successioni di funzioni limitate se convergono uniformemente conservano la limitatezza nella funzione limite. In R avrò che fn(x) è limitata quindi < o = di una costante Mk, e avrò che esisterà n0 tc |fn0(x)-f(x)|<=epsilon con epsilon che pongo ad esempio uguale a 1, quindi avrò che |f(x)|<=|fn0(x)-f(x)|+|fn(x)|<=1+Mn0, da cui la tesi
pg 78 maderna
Definisci lo spazio funzionale B(E,F) e enuncia le sue proprietà (metrica e norma). Dimostra che è completo
E sottoinsieme o uguale di R^n, F sottoinsieme o uguale di R^m. B(E,F) è lo spazio delle funzione da E a F limitate. B=bounded. Definisco la metrica d_inifinito(f,g)=sup (x appartenente a E) ||f(x)-g(x)||2 - norma euclidea. La norma di f ||f||_infinito=sup (x appartenente a E) ||f(x)||2. B(E,F) è uno spazio normato e completo. Per la completezza vedi il maderna pg 80 circa
Enuncia e dimostra il teorema del doppio limite
pg 115
Enuncia e dimostra il teorema sulla continuità delle successioni che convergono uniformemente
Successioni che convergono uniformemente conservano la continuità nella funzione limite. Per mostralo basta applicare il teorema del doppio limite per ogni punto a in cui si ha convergenza uniforme e mostrare che il limite per x che tende ad a di fn(x) è fn(a), che per n che tende ad infinito, tende ad a e che lo stesso limite tende anche ad ln che per n che tende ad infinito tende ad l. Ma l non è nient’altro che il limite per x che tende ad a di f(x), da cui f(a)=lim(x–>a) f(x), da cui la tesi
pg 116
Enuncia il teorema di integrazione di successioni di funzioni uniformemente convergenti e dimostralo
Successioni di funzioni R-integrabili e continue che sono cu su [a,b] conservano la R-integrabilità in quell’intervallo per la funzione limite. Inoltre, l’integrale definito di fn(x) tende all’integrale definito di f(x) per n che tende ad infinito.
Una successione R-integrabile continua conserva la continuità nella funzione limite, la quale implica la R-integrabilità.
Per dimostrare la convergenza all’integrale definito di f(x) per n che tende ad infinito, basta sottrarre in modulo l’integrale delle fn a quello delle f(x), rielaborando la disequazione con diuguaglianze ci si riconduce all’ della definizione dell’integrale della definizione di CU, che è minore o uguale di epsilon, integrando si ottiene che la scrittura iniziale sia minore o uguale di epsilon(b-a), da cui la tesi. pg 79 maderna
Enuncia il teorema di derivazione di successioni di funzioni CU
Sia fn(x) cu su (a,b) e fn’(x) convergente uniformemente a g(x) e sia fn(x) derivabile in (a,b) convergente a l appartenente ad R (per n che tende ad infinito), allora f’(x)=g(x)
Definisci C(K,R) e elencane le proprietà. Perchè è completo?
pg 84 maderna o lez 14 pg 10 aspri
