Serie di funzioni Flashcards
Definizione di convergenza puntuale per una serie di funzioni
Una serie di funzioni Sn(x) converge puntualmente a S(x) su E se per n che tende ad infinito sn converge a s, per ogni x in E. pg 122
Definizione di convergenza uniforme per una serie di funzioni
Una serie di funzioni converge uniformemente su E se il sup|Sn(x)-S(x)| tende a 0 per le x appartenenti ad E per n che tende ad infinito
pg 122
Quando Sn(x) limitata converge ad S(x) limitata?
Quando Sn(x) è uniformemente convergente sul dominio
pg 122
Quando Sn(x) continua converge ad S(x) continua?
Quando Sn(x) è uniformemente convergente sul dominio
pg 122
Teorema di integrazione di una serie di funzioni uniformemente convergente su E ad S(x)
Se una serie di funzioni Sn(x) è integrabile e uniformemente convergente ad S(x) su E, allora S(x) è integrabile su E. Inoltre la serie degli integrali della funzione fn(x) è uguale all’integrale della somma limite. pg 122
Teorema di derivazione delle serie di funzioni
Dato Sn(x0) convergente per n–>infinito per un qualche x0 appartenente ad (a,b), la serie delle derivate uniformemente convergente ad una funzione g per n–>infinito e fk derivabile in (a,b), a e b diversi da infinito==>la serie converge puntualmente su (a,b), uniformemente su ogni limitato di (a,b) e La derivata della serie è la serie delle derivate. Si può rilassare la limitatezza dell’intervallo richiedendo la cp della serie di funzioni su tutto l’intervallo e la cu della serie delle derivate su ogni sottointervallo limitato. pg 123 o lez 10 aspri
Definisci e (dimostra, ma aspri non l’ha fatto) la condizione di Cauchy uniforme su E
Per ogni epsilon maggiore di 0 esiste N, esistono m,n>N (es m>n) tc il modulo della sommatoria da n ad m degli fn sia minore di epsilon per ogni x in E pg 123 o lez 10 pg 16 aspri
Condizione necessaria per la convergenza uniforme della serie. La convergenza uniforme delle fk garantisce la convergenza puntuale della serie delle fk? esempio
La serie delle fk converge uniformemente, allora la serie delle fk converge uniformemente a 0. NOO!! Vedi fk=1/k pg 123
Definisci il criterio di convergenza non uniforme
Data la serie delle fk cp su (a,b), se la serie non converge uniformemente in b, la convergenza della serie in (a,b) non è uniforme (da teorema del doppio limite) Aspri lez 10 pg 19
Esiste una classe di serie per le quali la CU a 0 di fk implica CU della serie delle fk?
SI! Le serie di Leibniz. Se fk converge uniformemente a 0, e fk=(-1)^k*gk, allora gk sarà uniformemente convergente e per il teorema di leibniz |S-Sk|<=g_(k+1), gk decrescente e maggiore di 0, con limite a 0 per k–>infinito. E quindi sup|S-Sk|<=sup|g_(k+1)| da cui la tesi (g CU è a sinistra definizione di uniforme convergenza)
Definizione di convergenza totale
Una serie di funzione Sfk converge totalmente se S sup|fk|<infinito Aspri lez 10 pg22
Criterio di convergenza totale con dimostrazione
Se una serie converge totalmente allora convergerà anche uniformemente. Inoltre, la convergenza totale implica quella assoluta. Uso il criterio di Cauchy uniforme, che in R è equivalente a quello uniforme|S(da n ad m)fk|<=S(da m a n)|fk|<=S(da m a n) sup|fk|<epsilon, quest’ultima disequazione perchè so che il sup della sommatoria è minore di infinito per criterio di convergenza totale e posso scegliere m e n abbastanza grandi per soddisfare l’ipotesi. Lez 10 aspri/pg 124
Criterio di Weierstrass (dimostrazione richiesta ma non fornita)
Se la funzione |gk(x)|<=fk e Sfk converge, allora convergerà anche Sgk. NB gk(x) è una successione di funzioni, mentre fk è successione numerica Lez 10 aspri pg 29/pg 124
Definizione di serie di potenze
Una serie di potenze è una serie di funzioni le cui fk sono polinomi. Ak successione numerica detta coefficienti della serie, x0 detto centro e appartenente ad R, serie di potenze sono le Sa_k(x-x0)^k, per avere convergenza almeno in x=x0 si pone 0^0=1
Proposizione e dimostrazione della convergenza ASSOLUTA della serie di potenze per x<X dove la serie in X converge. Come si può rilassare il teorema? Alla base di questo teorema caratterizza l’insieme di convergenza della serie di potenze
In modulo, si moltiplica e si divide akx^k per X^k, si trova che akX^k converge e che anche la serie in x^k/X^k converge in quanto x<X. Il teorema può essere rilassato anche ponendo akX^k limitato. Dunque, se trovo un x0 in cui la serie converge, allora la serie convergerà assolutamente almeno in (-x0,x0], se trovo un x1 in cui la serie non converge allora sicuramente non convergerà in (-infinito, -|x1|) e (|x1|, +infinito)
pg 8-11 lez 11
