Calcolo differenziale per funzioni in più variabili

Question 1

Definisci la norma 1, la norma euclidea, la norma p e la norma ad infinito

Answer 1

pg 62

Question 2

Quando due norme si dicono equivalenti? Discuti il caso di R^n

Answer 2

Quando inducono la stessa topologia, in R^n tutte le norme sono equivalenti pg 63

Question 2

Definisci il limite di una funzione f:R^n–>R e di una funzione f:R^n–>R^m

Answer 2

1. il limite per x appartenente ad R^n che tende a p (appartenente a R^n) esiste se per ogni epsilon>0 esiste un delta che dipende da epsilon tc se la norma euclidea (o qualsiasi altra norma, perché?) di x-p è minore di delta, il modulo di f(x)-l è minore di epsilon
2. Simile a quello sopra, ma non è il modulo, ma la norma di f(x)-l a dover essere minore di epsilon
   pg 64

Question 3

Definisci la convergenza per coordinate e paragonala alla definizione di limite in più variabili

Answer 3

Convergenza per coordinate e nozione di limite sono concetti identici in quanto in R^n le norme sono equivalenti. Nella convergenza per coordinate si richiede che ogni coordinata di f(x) tenda alla rispettiva coordinata di l (quindi che la loro differenza in modulo sia minore di epsilon) pg 64

Question 4

è sufficiente controllare il limite per x che tende a p solo sulle rette passanti per p? Esempio

Answer 4

No, perchè potrei avere una funzione =0 in tutti i punti tranne che ad esempio su y=x^2 - pg 65

Question 5

Cosa si intende per limiti all’infinito?

Answer 5

si intende che la norma di x tenda ad infinito pg 65

Question 6

Qual è la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

Answer 6

pg 68 - Il prodotto scalare tra i vettori x e y è minore o uguale al prodotto delle norme euclidee di x e y

Question 7

Definizione di spazio vettoriale

Answer 7

pg 67, Uno spazio vettoriale è costituito da un insieme V di vettori e da un insieme S di scalari, è dotato di due operazioni. V è gruppo abeliano per una delle due operazioni (valgono commutatività, associatività, esiste l’elemento neutro e esiste l’opposto), per l’altra valgono altre proprietà (vedi foglio)

Question 8

Definizione di applicazione lineare

Answer 8

è un’applicazione per cui valgono A(x+y)=A(x)+A(y) e A(lx)=lA(x), con l scalare pg 69

Question 9

Definizione di continuità in più variabili. Come si può riesprimere questo concetto usando il concetto di limite per coordinate?

Answer 9

Non cambia la definizione rispetto lla continuità di funzioni in una variabile, quindi (f:R^m–>R^n) per ogni epsilon maggiore di 0 esiste un delta dipendente da epsilon tc se ||x-p||<delta ==> ||f(x)-f(p)||<epsilon.
Per quanto riguarda le coordinate, f è continua se ogni fj è continua j=1,…,n. Rivisto in chiave più grafica, le proiezioni di f sugli assi devono essere continue (anzi Lipschitz-continue)
pg 70

Question 10

Definizione di derivate direzionali

Answer 10

Per f:Omega aperto, sottoinsieme o uguale di R^n—>R, Dv(f)=limite per t–>0 di [f(a+tv)-f(a)]/t, con a punto in omega e v versore
pg 71

Question 11

Definizione di derivate parziali

Answer 11

Ponendo ej=(0,0,..,1,…,0) vettore fondamentale della base canonica di omega,
Per f:Omega aperto, sottoinsieme o uguale di R^n—>R,
df(a)/dxj= lim per t–>0 di [f(a1,..,aj+t,…,an)-f(a)]/t è la derivata parziale di f rispetto a xj. Con x=(x1,…,xj,….,xn) e a punto in omega
pg 72

Question 12

Definizione di gradiente

Answer 12

Grad(f)=(df/dx1,…,df/dxn)

Question 13

Per f:Omega aperto sottoinsieme di R^n—>R^m, l’esistenza delle derivate direzionali implica la continuità?? Esempio

Answer 13

NO!! vedi pg 73

Question 14

Definizione di differenziabilità per f:omega aperto sottoinisieme di R^n—>R^m. Cosa cambia rispetto alle funzioni in una variabile? Se m=1, come cambia la definizione?

Answer 14

f è differenziabile in a appartenente a omega, se esiste L applicazione lineare tc f(a+h)-f(a)=Lh+o(||h||), h vettore, il cui modulo tende a 0. Se m=1, L=lambda, lambda vettore appartenente a R^n (Perchè L:R^n—>R) e avrò f(a+h)-f(a)=<lambda,h>+o(||h||). pg 74

Question 15

Condizioni necessarie per la differenziabilità, con dimostrazione.

Answer 15

1. f è derivabile in a (lungo ogni direzione) e vale Dvf(a)=Lv=<lambda,v>
2. lambda=grad(f(a)) se f:omega aperto in R^n–>R, se f:omega aperto in R^n —>R^m, m diverso da 1 L=J[f(a)]
3. f è continua in a
   dim:
4. uso la definizione di differenziabilità e sostituisco f(a+tv) nella definizione di derivabilità direzionale, uso la linearità di L per fare uscire t e trovo Lv (=<lambda,v>)
5. Se df/dxj= Lv, pongo v=ej e ho che <lambda,ej>=lambdaj, quindi lambda=(lambda1,…,lambdan)=(df/dx1,…,df/dxn)=grad(f)
6. Applico la norma alla definizione di differenziabilità, uso la disuguaglianza di Cauchy-Schwartz, faccio tendere h a 0 e trovo che la norma di f(a+h)-f(a) tende a 0
   pg 75

Question 16

Definisci il concetto di Gateaux differenziabilità e di Frechet differenziabilità.

Answer 16

La Gateaux differenziabilità è un’implicazione della Frechet differenziabilità. La Frechet differenziabilità è la normale definizione di differenziabilità, quindi deve esistere L applicazione lineare tc f(a+h)-f(a)=Lh+o(||h||). Per quanto riguarda la Gateaux differenziabilità, si ha in un punto a di una funzione che soddisfa le 3 condizioni necessarie della Frechet differenziabilità, cioè derivabilità (con relativa formula) e continuità in a e che lambda sia il gradiente della funzione. Chiaramente la gateaux differenziabilità NON implica la Frechet differenziabilità.
pg 76

Question 17

Dimostra che utilizzando il gradiente si può ottenere la direzione di massima pendenza in un punto di una funzione. Come si identifica invece la direzione di minima pendenza di una funzione in a?

Answer 17

v=grad[f(a)]/||grad[f(a)]|| è il versore che indica la massima pendenza di f in un punto. Per dimostrarlo basta usare la formula della derivabilità della Gateaux differenziabilità. Quindi la derivata direzionale è prodotto scalare di v per il gradiente di f in a. Si ottiene come risultato la norma del gradiente. Adesso basta dimostrare che per un generico versore w, la pendenza lungo quella direzione è sempre minore o uguale di quella inidividuata da w. Quindi uso di nuovo la formula sopra applicando il modulo da ambo i lati, con w e il gradiente; applico la disuguaglianza di CS, ricordando che la norma di w è 1 e ho la tesi.
La minima pendenza è invece individuata dagli insiemi di livello, cioè f^-1(c)={(x,y) appartenenti al dominio omega tc f(x,y)=c}
pg 76 77

Question 18

Qual è la formula per trovare la retta tangente in un punto di una funzione f? Definisci l’iperpiano tangente alla funzione in un punto.

Answer 18

Per una funzione in una variabile, la retta tangente ad (a,f(a)) è y=f(a)+f’(a)(x-a).
L’iperpiano tangente ad (a=(a1,…,an),f(a)) è definito da z=f(a)+<grad[f(a)],(x-a)], con x=(x1,….xn)
pg 79

Question 19

Enunciato e dimostrazione del TDT, dimostrazione della versione rilassata

Answer 19

pg 87-88

Question 20

Conseguenza del TDT sulle funzioni polinomiali e la composizione di funzioni polinomiale con altre funzioni C’. Esempio

Answer 20

pg 89
Essendo le funzioni polinomiali di classe C’, sono differenziabili, inoltre lo sarà anche la loro composizione con altre funzioni di classe C’. Esempio: sia P(x) un polinomio, allora sin(P(x)) sarà differenziabile anch’essa.

Question 21

Definizione di Jacobiana

Answer 21

Matrice dove i gradienti di f1,…fn sono messi uno sopra l’altro
pg 91

Question 22

Teorema di composizione di funzioni differenziabili, con dimostrazione

Answer 22

Composizione di funzioni differenziabili è differenziabile. La jacobiana della composizione è il prodotto matriciale della jacobiana delle due funzioni di partenza phi=g(f(x)).
Uso la definizione di differenziabilità su tutte e tre le funzioni e chiamo l’incremento di f, h vettore; quello di g, k vettore e pongo k=f(a+h)-f(a). Esplicito phi(a+h)-phi(a)=g(f(a+h))-g(f(a))=g(k+f(a))-g(f(a)). A questo punto applico la definizione di diff e trovo g(k+f(a))-g(f(a))=Jg(f(a))k+o(||k||)=Jg(f(a))[f(a+h)-f(a)]+||k||o(1)=Jg(f(a))Jf(a)+Jg(f(a))o(||h||)+(Jf(a)+o(||h||)o(1). A questo punto noto che phi(a+h)-phi(a)=Jphi(a)+o(||h||) e ho finito
pg 92

Question 23

Definisci la chain rule

Answer 23

dphij/dxk=sommatoria da s=1 a m di dgj/dys*dfs/dxk phi=g(f(x)) x=(x1,…,xn) e m dimensione della base dello spazio di arrivo di f (R^m)
pg 93

Question 24

Definisci un omeomorfismo

Answer 24

Due spazi si dicono omeomorfi se esiste un’applicazione f continua e biunivoca tc f^-1 sia anch’essa continua e biunivoca. f:A sottoinsieme aperto di X spazio normato—->B sottoinsieme aperto di Y spazio normato pg 93

Question 25

Definizione di insiemi diffeomorfi. Discuti due spazi diffeomorfi in R^n e R^m. Condizione necessaria e sufficiente per indentificare f diffeomorfismo. Esempio e controesempio di diffeomorfismo.

Answer 25

Sono due spazi omeomorfi, tc sia f sia f^-1 sono differenziabili. A sottoinsieme di R^n, B sottoinsieme di R^m; se A e B sono omeomorfi, m=n. f è diffeomorfismo se è biunivoca, C’ e detJf(a) diverso da 0 per ogni a appartenente ad A dominio. Le coordinate polari sono un esempio di diffeomorfismo, f:(0,2pi)x(0,+infinito)—>R. f(theta,rho)=(rcostheta,rhosintheta). f è iniettiva, facendo i necessari conti il determinante della jacobiana è rho, sempre diverso da 0, f è C’==>f è diffeomorfismo. Non lo sarebbe se f fosse così definita: f:(0,4pi)x(0,+infinito). f non sarebbe iniettiva e quindi non sarebbe diffeomorfismo.

Question 26

Enunciato e dimostrazione del teorema dell’incremento finito

Answer 26

Se prendo un segmento [a,b] in Omega di una funzione f:Omega–>R^m, con m=1!!!!. f differenziabile in omega, f(b)-f(a)=<grad(f(a+t(b-a))),b-a>, t appartenente a (0,1). Uso il teorema di composizione delle funzioni differenziabili su g=f(phi(t)), dove phi(t)=a+t(b-a), da cui la tesi. pg 96

Question 27

Enunciato (NO DIM) del teorema di caratterizzazione di funzioni costanti

Answer 27

Omega sottoinsieme di R^n connesso per poligonali e aperto; Sia f:omega—>R^m, f è costante su omega se e solo se la matrice jacobiana è nulla pg 97

Question 28

Teorema che collega lipschitzianità e jacobiana, con dim

Answer 28

f:omega—>R^m differenziabile su omega aperto e convesso. Se Jf è limitata, allora f è lipschitziana pg 97

Question 29

Definisci le derivate di ordine superiore

Answer 29

La derivata di una funzione in due variabili mi restituisce una funzione in due variabili, allora la posso di nuovo derivare una o più volte ottenendo derivate di ordine superiore. pg 99

Question 30

Enunciato (NO DIM) del teorema di Schwarz

Answer 30

Data f:omega in R^n—>R se d^2f/dxjdxk esiste continua in un intorno di un punto allora sarà uguale a d^2f/dxkdxj in quel punto. Inoltre se f è C^2, allora l’Hessiana sarà simmetrica
pg 101-102

Question 31

Definisci la matrice hessiana

Answer 31

La matrice hessiana è la matrice delle derivate seconde di f, dove nella prima riga ci sono le derivate rispetto x1 la prima volta, nell’nesima riga le derivate rispetto xn la prima volta e nella prima colonna ci sono le derivate rispetto x1 la prima volta e nell’nesima colonna le derivate rispetto xn la seconda volta
pg 102

Question 32

Dimostra la formula di Taylor per funzioni in più variabili, sia con resto di Lagrange sia con resto di Peano

Answer 32

pg 106-107

Question 33

Dimostra il teorema di Fermat per funzioni in più variabili

Answer 33

Abbia f un estremante in x0, sia f differenziabile in x0, allora il gradiente di f valutato in x0 è 0. Per dimostrarlo, ammetto che in x0 f abbia un minimo e definisco g(t)=f(x0+tej)>f(x0)=g(0). Ma allora in g(0), g ha un minimo, quindi posso applicare il teorema di Fermat per funzioni in una variabile. Dunque, g’(0)=f’(x0)=0. Questo vale solo per t tc xo+tej resta nell’intorno derivabile di g
pg 66 Maderna

Question 34

Definizione di punto stazionari di una funzione in più variabili f

Answer 34

Un punto in cui il gradiente è 0
pg 2 7 giugno peloso

Question 34

Definizione di punto di massimo e minimo assoluto e relativo (forte e debole)

Answer 34

pg 2 7 giugno Peloso

Question 34

Definizione di punto di sella

Answer 34

UN punto di sella è un punto x0, in cui f è differenziabile e in cui ho un punto stazionario, ma non un estremante
Calanchi pg 198

Question 34

Come individuare m e M della matrice hessiana?

Answer 34

Per la definzione di autovettore Hv-lambdav=0 deve avere soluzione non nulla. Raccogliendo v(non nullo per definizione), H-lambdaI=0 non deve essere invertibile, quindi il suo determinante deve essere uguale a 0, quindi trovo le lambda che soddisfino questa condizione.
Calanchi verso la fine

Question 34

Condizione sufficiente per avere estremanti (Hessiana)

Answer 34

m autovalore minimo dell’hessiana, M autovalore massimo dell’hessiana o il minimo e massimo di F(x)=<x,H(a)*x>/||x||
1. m>0 a pto di minimo forte
2. M<0 a pto di massimo forte
3. m<0<M a pto di sella
4. m o M =0 non si può dire nulla
pg 202 Calanchi

Question 35

Definizione di autovettore e autovalore

Answer 35

pg 202 calanchi