equazioni differenziali ordinarie Flashcards
Definisci una contrazione
è una mappa T:X—>X, (X,d) sp metrico, se esiste un lambda appartenente a (0,1) tc d(T(x),T(y))<=lambda*d(x,y) pg 130 o lez 14-2 Aspri pg 11
Enuncia e dimostra il teorema di Banach-Caccioppoli
pg 12 lez 14-2 Aspri
Interpretazione grafica del teorema delle contrazioni ed esempio di applicazione che non soddisfa il teorema
pg 18 lez 14-2 Aspri
Definizione di equazione differenziale ordinaria di ordine k
pg 24- lez 14-2. Un’equazione ordinaria differenziale di ordine k è un’equazione del tipo F(t,y(t),y’(t),y’‘(t),….,y°(n)(t))=0, dove F:Omega sottoinsieme R^(k+2)—>R
Definizione di equazione differenziale in forma normale; equazione differenziale lineare
Forma normale y°(n)(t)=f(t,y(t),y’(t),…,y°(n-1)(t)), f:D sottoinsieme di R^(k+1)—>R
Lineare: F è un polinomio di grado 1, quindi avrò ak(t)y°(k)+a(k-1)(t)y°(k-1)+…+a0(t)y=b(t)
pg 25 lez 14-2 aspri
Definizione di equazione differenziale autonoma
Se f o F non dipendono esplicitamente da t
pg 26 lez 14-2 Aspri
Definizione di soluzione di un’equazione differenziale y’=f(t,y1,y2,..,yn)
y è soluzione dell’equazione differenziale se: y è derivabile in I, (t0,y(t0)) appartengono al dominio omega di f:omega sottoinsieme di RxR^n—>R per ogni t appartenente ad I, per ogni t in I y’(t)=f(t,y(t))
pg 28 lez 14-2 aspri
Definizione di pdC
pg 29 lez 14-2 aspri
Definizione di soluzione locale di un pdC
è una coppia ((a,b),y) tc y sia derivabile in (a,b), graf y sia contenuto in E dominio di f, t0 appartiene ad (a,b) e y soddisfa le equazioni del pdC su (a,b)
pg 30 lez 14-2 aspri
Esempio del pennello di Peano
pg 36 lez 14-2 Aspri
Teorema di Peano (NO DIM)
Data f:Omega sottoinsieme aperto di RxR^n—>R, f continua in omega. Se (t0,y0) appartiene ad omega, allora esisterà ALMENO una soluzione in un intorno di t0 pg 39 lez 14-2
Equivalenza tra teorema di Peano ed equazione di Volterra
pg 41 lez 14-2 Aspri
Come si collega l’equazione di Volterra con il teorema di Banach.Caccioppoli?
L’equazione di Volterra è un’equazione di punto fisso, infatti se T(y)=y0+… (T=eq di Volterra), allora y=T(y) pg 43 lez 14.2 Aspri
Definizione di Lipschitzianità locale per f a valori vettoriali
f a valori vettoriali si dice lipschitziana in un intorno di (t0,y(t0)) se esistono delta>0, r>0, L>0, tc (t0-delta,t0+delta)xB(r,y(t0))=IdxB sottoinsieme di omega tc ||f(t,y1)-f(t,y2)||<=L||y1-y2||, y1 e y2 vettori
pg 44 lez 14.2 Aspri
Condizioni in cui la Lipschitzianità è verificata
- Se f è C’
- Se f è C^(0) ed è derivabile rispetto ad y con derivata continua in un intorno del punto
lez 14.2 Aspri pg 45
Teorema di Picard-Lindelof o teorema di esistenza e unicità locale (NO DIM)
Se f è continua e lipschitziana in y e uniformemente in x in un punto, allora esiste un’unica soluzione del pdC in un intorno di quel punto
Criterio di incollamento di soluzioni dell’equazione differenziale con dimostrazione
Si richiede che la funzione soluzione dell’edo sia continua e derivabile: le due funzioni sono continue e derivabili per definizione in ogni punto, eccetto quello di incollamento che è oggetto di dimostrazione. Ma a noi basta dimostrare la derivabilità, perchè in a pto di incollamento y1(a-)=y(a)=y2(a+), essendo (a,y(a)) appartenente al dominio di f per ipotesi. Allora avrò che y1’(t) per x che tende ad a- sarà uguale (per def di soluzione) al limite per f(t,y(t)) che tende ad a-, e lo stesso con y2 soluzione che tende ad a+.
22 maggio peloso
Esistenza e unicità globale della soluzione del pdC, con dimostrazione
In parte sul maderna pg 120, in parte Calanchi pg 148
Definisci un’equazione differenziale a variabili separabili e spiegane il metodo risolutivo
y’(x)=h(x)*g(y). La soluzione esiste unica se h(x) è continua e g(y) è derivabile con derivata continua, inoltre se g(y) è diversa da 0 in un intorno della condizione iniziale imposta da pdC, allora posso dividere entrambi i membri per g(y) ed integrare per dx (o ds se si vuole essere precisi con le variabili, cambiando però le x con le s) tra x0 e x, effettuando un cambio di variabile a sinistra y’ds=du (y(s)=u) e gli estremi diventano y e y0, perchè y(x0)=y0
Definisci l’equazione differenziale di primo ordine lineare e dimostrane il metodo risolutivo
y’(x)+p(x)y(x)=q(x), y(x)=exp(-integrale tra x0 e x di p(s)ds)(y0+integrale tra x e x0 di p(r)exp(integrale tra x0 e x di p(t)dt)sr). Si può dimostrare derivando ambo i membri per x
Definisci il prolungamento di una soluzione di un pdC
Se y1 è soluzione su I e y2 su J del pdC, e I sottoinisieme di J, si dice prolungamento di y1 y2 se y2 in J = y1 pg 142 Calanchi
Definisci una soluzione massimale ad un pdC
y1 è soluzione massimale di un pdc se non ammette prolungamenti
Relazione tra soluzione massimale e esistenza e unicità locale
Se un pdC ammette soluzione unica per ogni punto di un intervallo, su quell’intervallo la soluzione è massimale
Dimostra l’esistenza e unicità dell’equazione lineare di primo ordine
p,q continue f(x,y)=-p(x)y+q(x) |f(x,y1)-f(x,y2)|=|p(x)(y2-y1)|=|p(x)||y1-y2|<=max|p(x)||y1-y2|==>lipschitzianità di f
Definizione di equazione di Bernoulli
y’+a(x)y+b(x)y^n=0, con n diverso da 0 o 1, altrimenti abbiamo equazioni di 1 ordine lineari pg 131
Esistenza e unicità dell’equazione di Bernoulli
Perchè se f(x,y)=y’ è continua e derivabile con continuità rispetto a y in un intorno di (x0,y0), allora avrò esistenza e unicità della soluzione pg 123- 131 Maderna
Metodo di risoluzione per le e.diff di Bernoulli
Si divide tutto per y^n e si pone z(x)=y^(1-n) ==> z’(x)=y^(-n)(1-n)y’(x). Si sostituisce e ci si riconduce ad un’equazione differenziale di primo ordine. BISOGNA STARE ATTENTI CHE Y SIA DIVERSO DA 0 SULL’INTERVALLO SCELTO pg 131 Maderna
Definizione di equazioni differenziali di ordine k e dell’operatore L(y)
y°(k)=-sommatoria da j=0 a k-1 di aky°k + b(x). L(y)=y°(k)+sommatoria…, dove L è un operatore lineare L(ay1+by2)=aL(y1)+bL(y2)
note 1 giugno Peloso
Definizione di equazione differenziale lineare omogenea di ordine superiore al primo
Se il b(x) della definizione di equazione differenziale di ordine k è 0
Definizione di equazione differenziale omogenea di ordine 1 e risoluzione
y’=g(y/x), t=y/x, y=xt, y’=t+xt’ opero la sostituzione e mi riconduco ad un’equazione differenziale a variabili separabili
Dimostrazione dell’esistenza e unicità delle equazioni lineari di ordine k
Per farlo bisogna trovare che L(y)=f(x,y vettore) sia lipschitziana in y vettore e uniformemente rispetto ad x appartenente a J sottoinsieme di R^k, f continua: JxR^k. Per farlo f(x,y)=b(x)+sommatoria da j=0 a k-1 di ajy°(j) |f(x,z)-f(x,y)|=sommatoria da j=0 a k-1 di aj(y°(j)-z°(j))<= (per Cauchy Schwarz per le sommatorie) radice(sommatoria da j=0 a k-1 di aj^2)*radice(sommatoria da j=0 a k-1 (z°j-y°j)^2). Ponendo L costante di Lipschtz max(radice(sommatoria aj^2)) si ha la definizione di Lipschitzianità e quindi l’esistenza e unicità pg 144 Maderna
Discuti la dimensione dello spazio delle soluzioni di un equazione differenziale di ordine k
pg 146 Maderna. Se i coefficienti dell’eq diff L(y)=b(x) sono funzioni continue su J sottoinsieme di R, allora S insieme delle soluzioni su J dell’equazione omogenea L(y)=0 è spazio vettoriale sul campo reale R di dimensione k. Se {w1,…wk} sono base di S, tutte le soluzioni su J si scrivono come la combinazione lineare delle funzioni della base.
Dim: S è sp vett perchè L(y) è lineare, infatti combinazioni lineari di con coeff reali dell’equazione omogenea è essa stessa soluzione.
Fissando x0 in J si considerino k pdC nei quali nel primo y(x0)=1 e il resto delle cond iniziali in x0 sono nulle, nel secondo y’(x0)=1 e il resto nulle, fino al k pdC in cui y°(k-1)=1 e il resto nulle. Ma allora per verificare la lineare indipendenza di w1, …,wk soluzioni uniche rispettivamente del 1,….,kesimo pdC, si ha 0=sommatoria da j=1 a k di cjwj, ma tenendo conto delle condizioni iniziali sostituendo x=x0 si ha che la sommatoria vale anche c1 (perchè w1 deve soddisfare le condizioni iniziali)), si deriva l’equazione 0=sommatoria … da entrambi il lati si riapplica lo stesso ragionamento e si trova che 0=sommatoria delle derivate di wj= c2, e così fino alla (k-1)esima derivata==> la base di S è almeno di dimensione k. Per dimostrare che è esattamente ksi consideri y(x)=y#(x0)w1(x)+y’#(x0)w2(x)+…+y°(k-1)#(x0)wk(x). Essendo le varie y# costanti, y è combinazione lineare delle wj e quindi anch’essa soluzione, ma sostituendo x=x0 si trova y(x0)=y#(x0) e derivando y e sostituendo x=x0 fino ad aver derivato k-1 volte, otterrò che y# soddisfa tutte le condizioni iniziali, ma quindi sia y* sia y# sono soluzioni del pdC che associa y(x0)=y#(x0), y’(x0)=y’#(x0)… e L(y)=0. Per l’unicità delle soluzione allora y*=y# per ogni x in J, da cui la tesi
pg 147 maderna
Dimostra il principio di sovrapposizione
pg 147 teo 7.7 maderna
Definisci la matrice wronskiana
è una matrice quadarata nxn, definite funzioni f1, …fn, lil wronskiano ha nella prima riga f1,..,fn, nella seconda f1’,…fn’, nell’nesima riga f1°(n-1),…, fn°(n-1)
Teorema sulla lineare dipendenza delle funzioni f nel wronskiano
Le funzioni f1,…,fn sono linearmente dipendenti se detWf(x)=0. Per dimostrarlo basta scrivere una combinazione lineare delle fj, con qualche cj non nullo, porla uguale a 0 derivarla da ambo i lati n-1 volte. essendo i cj e le fj diverse da 0, il sistema ammette soluzione non banale. Si può vedere grazie al metodo di Cramer per la risoluzione di sistemi lineari quadrati
Come si trovano le soluzioni di un’equazione omogenea a coefficienti costanti?
pg 179 Calanchi
Dimostra che le radici del polinomio caratteristico aiutano a trovare le soluzioni delle omogenee di ordine k
pg 178 Calanchi
Enuncia il teorema di fuga dai compatti
pg 2 5 giugno peloso
