equazioni differenziali ordinarie Flashcards
Definisci una contrazione
è una mappa T:X—>X, (X,d) sp metrico, se esiste un lambda appartenente a (0,1) tc d(T(x),T(y))<=lambda*d(x,y) pg 130 o lez 14-2 Aspri pg 11
Enuncia e dimostra il teorema di Banach-Caccioppoli
pg 12 lez 14-2 Aspri
Interpretazione grafica del teorema delle contrazioni ed esempio di applicazione che non soddisfa il teorema
pg 18 lez 14-2 Aspri
Definizione di equazione differenziale ordinaria di ordine k
pg 24- lez 14-2. Un’equazione ordinaria differenziale di ordine k è un’equazione del tipo F(t,y(t),y’(t),y’‘(t),….,y°(n)(t))=0, dove F:Omega sottoinsieme R^(k+2)—>R
Definizione di equazione differenziale in forma normale; equazione differenziale lineare
Forma normale y°(n)(t)=f(t,y(t),y’(t),…,y°(n-1)(t)), f:D sottoinsieme di R^(k+1)—>R
Lineare: F è un polinomio di grado 1, quindi avrò ak(t)y°(k)+a(k-1)(t)y°(k-1)+…+a0(t)y=b(t)
pg 25 lez 14-2 aspri
Definizione di equazione differenziale autonoma
Se f o F non dipendono esplicitamente da t
pg 26 lez 14-2 Aspri
Definizione di soluzione di un’equazione differenziale y’=f(t,y1,y2,..,yn)
y è soluzione dell’equazione differenziale se: y è derivabile in I, (t0,y(t0)) appartengono al dominio omega di f:omega sottoinsieme di RxR^n—>R per ogni t appartenente ad I, per ogni t in I y’(t)=f(t,y(t))
pg 28 lez 14-2 aspri
Definizione di pdC
pg 29 lez 14-2 aspri
Definizione di soluzione locale di un pdC
è una coppia ((a,b),y) tc y sia derivabile in (a,b), graf y sia contenuto in E dominio di f, t0 appartiene ad (a,b) e y soddisfa le equazioni del pdC su (a,b)
pg 30 lez 14-2 aspri
Esempio del pennello di Peano
pg 36 lez 14-2 Aspri
Teorema di Peano (NO DIM)
Data f:Omega sottoinsieme aperto di RxR^n—>R, f continua in omega. Se (t0,y0) appartiene ad omega, allora esisterà ALMENO una soluzione in un intorno di t0 pg 39 lez 14-2
Equivalenza tra teorema di Peano ed equazione di Volterra
pg 41 lez 14-2 Aspri
Come si collega l’equazione di Volterra con il teorema di Banach.Caccioppoli?
L’equazione di Volterra è un’equazione di punto fisso, infatti se T(y)=y0+… (T=eq di Volterra), allora y=T(y) pg 43 lez 14.2 Aspri
Definizione di Lipschitzianità locale per f a valori vettoriali
f a valori vettoriali si dice lipschitziana in un intorno di (t0,y(t0)) se esistono delta>0, r>0, L>0, tc (t0-delta,t0+delta)xB(r,y(t0))=IdxB sottoinsieme di omega tc ||f(t,y1)-f(t,y2)||<=L||y1-y2||, y1 e y2 vettori
pg 44 lez 14.2 Aspri
Condizioni in cui la Lipschitzianità è verificata
- Se f è C’
- Se f è C^(0) ed è derivabile rispetto ad y con derivata continua in un intorno del punto
lez 14.2 Aspri pg 45