Subespaços Fundamentais de uma Matriz- Fundamentos Flashcards
Quais são os 4 subespaços fundamentais de uma matriz A m x n?
- Espaço coluna de A: C(A) = {x = Ay|y ∈ Rm}. Corresponde ao subespaço vetorial do Rm gerado pela combinação linear das colunas de A, A1, . . . , Am. O espaço coluna de A também é conhecido como espaço imagem de A.
- Espaço linha de A: C(A^T) = {y = A^Tx|x ∈ Rn}. Corresponde ao subespaço do Rn gerado pela combinação linear das linhas a1, a2, . . . , am de A.
- Espaço nulo de A: N(A) = {x ∈ Rn : Ax = 0}. Corresponde ao subespaço
do Rn formado pelas soluções do sistema linear homogêneo Ax = 0. O espaço nulo de A também é chamado de núcleo ou kernel de A. - Espaço nulo de A^T(ou espaço nulo à esquerda de A): N(A^T) = {y ∈ Rm :A^T y= 0}. Corresponde ao subespaço do Rm formado pelas soluções do sistema
linear homogêneo A^T y = 0.
Se uma matriz A tem dimensão m×n, quais são as dimensões dos quatro subespaços fundamentais?
Para uma matriz A m x n com posto r, valem as seguintes propriedades para as dimensões dos 4 espaços fundamentais de A:
1 - dim(C(A)) = r
2 - dim(C(A^T)) = r
3 - dim(N(A)) = n - r
4 - dim(N(A^T)) = m - r
O espaço linha de uma matriz é o mesmo que o espaço coluna de sua transposta. Verdadeiro ou falso? Justifique.
Verdadeiro.
Justificativa: O espaço linha de uma matriz A corresponde ao espaço coluna de A ^ ⊤, porque as linhas de A tornam-se as colunas de A^T.
.
Qual dos subespaços fundamentais está relacionado com as soluções do sistema Ax=b?
a) Espaço nulo
b) Espaço linha
c) Espaço coluna
d) Espaço nulo da transposta
c) Espaço coluna
Justificativa: O espaço coluna contém todas as combinações lineares das colunas de A, ou seja, todos os vetores b que podem ser obtidos como resultado de Ax.
O que é o espaço coluna de uma matriz?
É o subespaço gerado por combinações lineares das colunas da matriz.
O que é o espaço linha de uma matriz?
É o subespaço gerado por combinações lineares das linhas da matriz.
O que é o espaço nulo de uma matriz?
É o conjunto de vetores ortogonais a todas as colunas da matriz.
O que é o espaço nulo da transposta de uma matriz?
É o conjunto de vetores ortogonais a todas as linhas da matriz.
Como encontrar o espaço coluna de uma matriz?
Identificando o maior conjunto possível de colunas linearmente independentes.
Como encontrar o espaço nulo de uma matriz?
Resolvemos a equação homogênea Ax = 0.
Como encontrar o espaço linha de uma matriz?
Identificando o maior conjunto possível de linhas linearmente independentes.
Como encontrar o espaço nulo da transposta de uma matriz?
Resolvemos a equação A^T x = 0.
Qual é a relação entre o espaço coluna e o espaço linha de uma matriz?
Ambos têm a mesma dimensão em matrizes quadradas, definida pelo posto da matriz.
Qual é a relação entre o espaço linha e o espaço nulo de uma matriz?
O número total de dimensões do espaço nulo e do espaço linha deve somar o número de colunas da matriz.
Qual é a relação entre o espaço coluna e o espaço nulo da transposta de uma matriz?
O número total de dimensões do espaço nulo da transposta e do espaço coluna deve somar o número de linhas da matriz.
Como os quatro subespaços fundamentais estão relacionados ao posto de uma matriz?
O posto determina a dimensão do espaço coluna e do espaço linha.
O que significa dizer que um vetor pertence ao espaço nulo?
Significa que ele é mapeado para o vetor zero pela matriz.
Como determinar a dimensão do espaço nulo de uma matriz?
É dada pelo número de colunas da matriz menos o posto.
O que é a equação fundamental Ax = 0 e como ela se relaciona ao espaço nulo?
Representa o conjunto de vetores pertencentes ao espaço nulo.
Como os quatro subespaços fundamentais se aplicam à resolução de sistemas lineares?
Determinam se um sistema tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução.
O que o posto (rank) de A representa?
A dimensão do espaço coluna (dim(C(A))) ou do espaço linha dim(C(A^T ))).
Por que o espaço coluna é importante em sistemas lineares Ax=b?
O sistema tem solução se e somente se b∈ C(A).
O que a dimensão do espaço nulo indica sobre as soluções de Ax=b?
Se dim(N(A)) > 0, há infinitas soluções (sistema subdeterminado).
Se dim(N(A))=2 para A∈ R 5×5, qual é o posto de A?
posto(A)=n−dim(N(A))=3.
Como N(A^T)) se relaciona com sistemas inconsistentes Ax = b?
b está em C(A) se e somente se é ortogonal a N(A^T).
Para qualquer matriz A,C(A) e N(A) são disjuntos (exceto pelo vetor nulo).
Verdadeiro. C(A) ∩ N(A) = {0}.
