Subespaços Fundamentais de uma Matriz- Desafios Flashcards
Quais são os 4 subespaços fundamentais de uma matriz A m x n?
- Espaço coluna de A: C(A) = {x = Ay|y ∈ Rm}. Corresponde ao subespaço vetorial do Rm gerado pela combinação linear das colunas de A, A1, . . . , Am. O espaço coluna de A também é conhecido como espaço imagem de A.
- Espaço linha de A: C(A^T) = {y = A^Tx|x ∈ Rn}. Corresponde ao subespaço do Rn gerado pela combinação linear das linhas a1, a2, . . . , am de A.
- Espaço nulo de A: N(A) = {x ∈ Rn : Ax = 0}. Corresponde ao subespaço
do Rn formado pelas soluções do sistema linear homogêneo Ax = 0. O espaço nulo de A também é chamado de núcleo ou kernel de A. - Espaço nulo de A^T(ou espaço nulo à esquerda de A): N(A^T) = {y ∈ Rm :A^T y= 0}. Corresponde ao subespaço do Rm formado pelas soluções do sistema
linear homogêneo A^T y = 0.
Se uma matriz A tem dimensão m×n, quais são as dimensões dos quatro subespaços fundamentais?
Para uma matriz A m x n com posto r, valem as seguintes propriedades para as dimensões dos 4 espaços fundamentais de A:
1 - dim(C(A)) = r
2 - dim(C(A^T)) = r
3 - dim(N(A)) = n - r
4 - dim(N(A^T)) = m - r
O que diz a segunda parte do Teorema Fundamental da Álgebra Linear?
- Qualquer par de vetores x, z: x ∈ N(A) e z ∈ C(A^T) satisfazem x^T z = 0
e N(A) = (C(A^T))⊥. - Qualquer par de vetores u, v: u ∈ N(A^T) e v ∈ C(A) satisfazem u^T v = 0 e N(A^T) = (C(A))⊥
Quando um sistema linear da forma Ax = b terá uma única solução? E quando ele terá infinitas soluções? Explique a partir dos quatro espaços fundamentais e dê exemplos.
Primeiro, é necessário encontrar uma solução para Ax = b. Tendo uma solução em mãos, ela será quando o espaço nulo N(A) tiver dimensão 0 (ou seja, admitir somente solução trivial), o que ocorrerá quando o posto coluna for completo.
Para encontrar soluções alternativas, vamos supor que exista x1 != 0, x1 ∈ N(A). Veja que:
Ax = b
Ax1 = 0
A(x + x1) = b
Ou seja, qualquer vetor formado pela combinação entre x e x1, x1 ∈ N(A) será também uma solução.
Como encontrar os autovetores válidos de uma matriz A a partir dos seus autovalores usando os quatro espaços fundamentais (um valor λ é autovalor de A se existe um vetor x tal que Ax = λx. x é chamado de autovetor correspondente)?
Para cada autovalor λ de A, calcule S = A - λI. Os autovalores possíveis para λ correspondem ao espaço nulo de S.
Geometricamente, qual a diferença entre o espaço nulo de A e o espaço nulo de A^T tomando como referência o espaço coluna de A?
O espaço nulo de A contém todos os vetores pertencentes ao espaço coluna de A que resolvem a equação Ax = 0. O espaço nulo de A^T contém todos os vetores perpendiculares ao espaço coluna de A.
O espaço nulo (ou núcleo) de uma matriz contém todos os vetores que, quando multiplicados pela matriz, resultam no vetor nulo. Verdadeiro ou falso? Justifique.
Verdadeiro.
Justificativa: O espaço nulo é definido exatamente como o conjunto de soluções para Ax=0.
O complemento ortogonal do espaço nulo é o espaço coluna. Verdadeiro ou falso? Justifique.
Falso.
Justificativa: O complemento ortogonal do espaço nulo é o espaço linha. O espaço coluna é o complemento ortogonal do espaço nulo da matriz transposta.
O espaço nulo de uma matriz é sempre um subespaço de qual espaço vetorial?
a) R n, onde n é o número de colunas da matriz
b) R m, onde m é o número de linhas da matriz
c) O espaço coluna da matriz
d) O espaço linha da matriz
a) R n
Justificativa: O espaço nulo é formado pelos vetores x que satisfazem Ax=0, e estes vetores têm n componentes (correspondentes às colunas de A).
O que é o espaço nulo da transposta de uma matriz A?
a) Um subespaço de R m, onde m é o número de linhas de A
b) Um subespaço de R n, onde n é o número de colunas de A
c) Um subespaço de R n relacionado ao espaço nulo de A
d) Sempre igual ao espaço coluna de A
a) Um subespaço de R m , onde m é o número de linhas de A.
Justificativa: O espaço nulo da transposta contém os vetores y em R m que satisfazem A ^ ⊤ y=0.
Explique a relação entre o espaço linha e o espaço nulo da transposta.
O espaço linha é o complemento ortogonal do espaço nulo da transposta. Isso significa que todo vetor no espaço linha é perpendicular a qualquer vetor no espaço nulo da transposta, formando uma decomposição completa de R m.
Por que o espaço coluna de uma matriz A está contido em Rm, onde m é o número de linhas de A?
O espaço coluna é formado pelas combinações lineares das colunas de A, e cada coluna de A tem m componentes, portanto os vetores resultantes também pertencem a R m.
Como os quatro subespaços fundamentais aparecem na fatoração LU?
LU separa os espaços coluna e linha, evidenciando a estrutura da matriz.
Qual é a interpretação geométrica do espaço nulo?
Ele representa os vetores que são mapeados na origem por uma transformação linear.
Qual a relação entre N ( A ) e os autovetores de A^ T A?
Os autovetores de A^T A associados a autovalores nulos formam uma base para N ( A ).
