Fundamentos Básicos Flashcards
O que é o produto escalar entre dois vetores [a1, a2, … an] e [b1, b2, … bn]? Quais são suas principais notações?
É a soma de 1 até n de ai*bi. Ela pode ser denotada por ⟨a, b⟩ ou por aTb.
O que é o produto interno de um vetor? Como ele é chamado?
O produto interno de um vetor é o produto escalar de um vetor por si próprio. Ele é popularmente conhecido como o quadrado da Norma Euclideana.
Defina dependência e independência linear a partir de um sistema linear homogêneo.
Uma coleção de vetores {x1, x2, …, xn} é linearmente independente se e somente se o sistema linear homogêneo formado pelas somas de ai*xi igualadas a zero só tiver solução trivial (ou seja, se a única forma de essa soma ser zero é se os coeficientes a1, a2, …, an forem iguais a zero). Caso contrário, o sistema é linearmente dependente.
O que significa dizer que uma matriz é singular? Qual é seu determinante?Qual pré-requisito uma matriz precisa atingir para ser considerada singular?
Uma matriz é singular quando ela é não invertível (ou seja, quando não existe uma matriz que, multiplicada por ela, resulta na matriz identidade). Ela será singular se e somente se seu determinante for zero e suas colunas (ou linhas) forem Linearmente Dependentes. Por consequência desses fatores, também possuirá deficiência de posto.
O que é o produto externo entre dois vetores a = [a1, a2, …, an] e b=[b1, b2, …, bm]?
É o produto abT que pode ser representada pela matriz A mxn = [a1b1 a1b2 … a1bm]
|a2b1 a2b2 … a2* bm|
|………. …….. ….. ………. |
[anb1 anb2 …. an*bm]
O que é o Posto (ou rank) de uma matriz A ∈ R m×n?
É a quantidade de linhas (ou colunas) linearmente independentes de A.
O que significa dizer que uma matriz A ∈ R m×n possui posto ou rank completo? O que significa dizer que A possui deficiência de posto? Como calcular a deficiência de posto de A?
A matriz A possui posto completo quando seu posto é igual ao menor entre m e n. Em outras palavras, é quando A possui o maior posto possível para sua dimensão.
A possui deficiência de posto quando o posto não é completo. Seu valor é dado pela expressão min (m, n) - rank(A).
O sistema linear Ax = b terá uma única solução sempre que A tiver posto completo. Verdadeiro ou falso? Justifique.
Falso. Mesmo que A possua posto completo, o sistema Ax = b pode não possuir solução.
Explique quantas soluções o sistema linear Ax = b, A ∈ R ^ m x n terá em função do posto de A e de suas dimensões.
Se m = n, A terá exatamente uma solução se o posto de A for completo. Se o posto for incompleto, podem existir infinitas soluções ou nenhuma solução.
Se m > n, existem mais equações que variáveis. Por isso, mesmo se o posto de A for completo, pode não existir nenhuma solução, porém ela será única se existir. Se o posto for incompleto, pode não existir nenhuma solução mas se uma existir, existirão infinitas soluções.
Se n < m, existem mais variáveis que equações. Se o posto for completo, existirão infinitas soluções. Se o posto for incompleto, pode não existir nenhuma solução mas se uma existir, existirão infinitas.
O que é o traço de uma matriz?
É a soma de seus elementos da diagonal principal.
