Espaços e Subespaços - Fundamentos Flashcards
Quais são as duas condições necessárias para que um conjunto de vetores V contido em Rn precisa possuir para ser considerado um espaço vetorial?
Mais precisamente, V é um espaço vetorial se e somente se as duas propriedades de fechamento seguintes forem satisfeitas:
1 - Dados quaisquer número real a e vetor v pertencente a V, o produto escalar a*v também pertence a V. Nesse caso, dizemos que V é fechado na multiplicação por escalar.
2 - Dados quaisquer vetores u e v pertencentes a V, a soma vetorial u + v também pertence a V. Nesse caso, dizemos que V é fechado na soma de seus elementos.
Dê três exemplos de propriedades dos espaços vetoriais
Proriedades no espaço vetorial, para todo u, v,w ∈ X :
- Associatividade da adição: u + (v + w) = (u + v) + w
- Comutabilidade da adição: u + v = v + u
- Existência de um elemento nulo: 0 + v = v + 0 = v
- Existência do inverso aditivo: para todo v ∈ X existe −v ∈ X tal que v + (−v) = (−v) + v = 0
- Propriedades da multiplicação por escalar: α(u + v) = αu + αv, (α + β)u = αu + βu, (αβ)u = α(βu), 1u = u.
Defina a dimensão de um espaço vetorial associado a um conjunto de vetores C = {v1, v2, …, vn}
A dimensão de um espaço associado a um conjunto C é a quantidade de elementos (ou seja, a cardinalidade) linearmente independentes em C.
O que é o subespaço linear associado a um conjunto de vetores? Como ele é denotado?
O subespaço linear de um conjunto de vetores {v1,…, vn} denotado por span ({v1,…,vn}) é o conjunto de todos os vetores que podem ser formados a partir de combinações lineares de {v1,…, vn}.
Qual condição um conjunto de vetores C precisa possuir para formar uma base para span(C)?
Todos os vetores em C precisam ser linearmente independentes.
Um espaço vetorial deve conter o vetor nulo. Verdadeiro ou Falso? Justifique.
Verdadeiro. Todo espaço vetorial deve ser fechado pela multiplicação por escalar. Para que essa condição seja satisfeita, é necessário que o vetor nulo pertença ao espaço pois é o vetor associado ao escalar 0.
Qual das condições abaixo é necessária para um conjunto ser considerado um subespaço vetorial?
a) Contém ao menos dois vetores distintos
b) É fechado sob multiplicação escalar
c) É finito
d) Contém apenas o vetor nulo
b) É fechado sob multiplicação escalar
Como verificar se um vetor pertence a um subespaço vetorial?
Verifique se o vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores geradores do subespaço.
Explique por que o espaço vetorial R2 não pode ter um subespaço vetorial que seja um círculo.
Um círculo não é um subespaço vetorial porque não é fechado sob adição nem multiplicação escalar. Por exemplo, somar dois vetores no círculo geralmente resulta em um vetor fora do círculo.
Por que o conjunto de vetores {(x,y) ∈ R2 ∣ x+y=1} não é um subespaço vetorial de R2?
Este conjunto não é um subespaço porque não contém o vetor nulo (o vetor (0,0) não satisfaz x+y=1). Além disso, ele não é fechado sob adição de vetores nem multiplicação escalar.
Se um subespaço vetorial tem dimensão 1, qual é a forma geométrica que ele representa em R3 ?
Uma reta que passa pela origem.
Um subespaço de dimensão 1 em R3 consiste em todos os múltiplos escalares de um vetor, o que geométrica e exclusivamente forma uma linha que passa pela origem.
Qual dos seguintes conjuntos forma um subespaço do espaço vetorial R 2?
a) Todos os vetores (x,y) com x+y=1.
b) Todos os vetores (x,y) com x−y=0.
c) Todos os vetores (x,y) com x² + y² = 1.
d) Todos os vetores (x,y) com x≥0.
b) Todos os vetores (x,y) com x−y=0.
Seja W um subespaço de R 3. Qual das opções abaixo não pode ser verdadeira para a dimensão de W?
a) 0
b) 1
c) 2
d) 4
d) 4
O que significa dizer que dois subespaços são disjuntos?
Dois subespaços são disjuntos se sua interseção contém apenas o vetor nulo.
Como determinar a dimensão de um subespaço W de V?
Encontre uma base para W (um conjunto de vetores linearmente independentes que geram W) e conte o número de vetores na base.
Qual das seguintes afirmações é verdadeira para um espaço vetorial V?
a) Todo subconjunto de V é um subespaço.
b) A soma de dois subespaços de V sempre é um subespaço.
c) Um subespaço de V pode não conter o vetor nulo.
d) A interseção de dois subespaços não é um subespaço.
b) A soma de dois subespaços de V sempre é um subespaço.
Se W é um subespaço de R3, qual das seguintes opções é necessariamente falsa?
a) W contém exatamente dois vetores.
b) W tem dimensão 2.
c) W é fechado sob adição, mas não sob multiplicação por escalar.
d) W contém três vetores.
c) W é fechado sob adição, mas não sob multiplicação por escalar.
