Espaços e Subespaços - Desafios Flashcards
Quais são as duas condições necessárias para que um conjunto de vetores V contido em Rn precisa possuir para ser considerado um espaço vetorial?
Mais precisamente, V é um espaço vetorial se e somente se as duas propriedades de fechamento seguintes forem satisfeitas:
1 - Dados quaisquer número real a e vetor v pertencente a V, o produto escalar a*v também pertence a V. Nesse caso, dizemos que V é fechado na multiplicação por escalar.
2 - Dados quaisquer vetores u e v pertencentes a V, a soma vetorial u + v também pertence a V. Nesse caso, dizemos que V é fechado na soma de seus elementos.
Dê dois exemplos de formas de mostrar que um conjunto de vetores definido a partir da teoria dos conjuntos ( por exemplo : {(x, y) : x² + y² = 0, x, y ∈ R} ) ou a partir do span de um vetor (por exemplo: span{[1, 2, 3]^T}) não é um espaço vetorial?
1 - Mostre que o vetor {0} não pertence ao conjunto.
2 - Mostre que o conjunto não é fechado para a adição: encontre dois vetores u e v que se encaixam na definição e então mostre que u + v não pertence ao conjunto.
3 - Mostre que o conjunto não é fechado para multiplicação: encontre um escalar a e vetor u que se encaixa na definição. Então mostre que a * u não pertence ao conjunto.
Dado dois conjuntos de vetores W1 e W2, W1 ∪ W2 será um subespaço se e somente se W1 estiver contido em W2 ou vice-versa. Verdadeiro ou falso? Justifique.
Falso. Isso acontecerá somente se W1 e W2 forem também subespaços. Caso contrário, é possível pegar um subespaço W e dividir ele em dois subconjuntos W1 e W2 de modo que nenhum dos dois seja um subespaço mas sua união (W) ainda seja.
Dê três exemplos de propriedades dos espaços vetoriais
Proriedades no espaço vetorial, para todo u, v,w ∈ X :
- Associatividade da adição: u + (v + w) = (u + v) + w
- Comutabilidade da adição: u + v = v + u
- Existência de um elemento nulo: 0 + v = v + 0 = v
- Existência do inverso aditivo: para todo v ∈ X existe −v ∈ X tal que v + (−v) = (−v) + v = 0
- Propriedades da multiplicação por escalar: α(u + v) = αu + αv, (α + β)u = αu + βu, (αβ)u = α(βu), 1u = u.
Defina a dimensão de um espaço vetorial associado a um conjunto C = {x1, x2, …, xn}
A dimensão de um espaço associado a um conjunto C é a quantidade de elementos (ou seja, a cardinalidade) do maior subconjunto de C formado por elementos linearmente independentes.
O que é o subespaço linear associado a um conjunto de vetores? Como ele é denotado?
O subespaço linear de um conjunto de vetores {x1,…, xn} denotado por span ({x1,…,xn}) é o conjunto de todos os vetores que podem ser formados a partir de combinações lineares de {x1,…, xn}.
Qual condição um conjunto de vetores C precisa possuir para formar uma base para span(C)?
Todos os vetores em C precisam ser linearmente independentes.
Quando podemos afirmar que dois subespaços vetoriais são ortogonais?
Dois subespaços vetoriais U e V são ortogonais se e somente se eles possuem as mesmas dimensões e para quaisquer vetores u ∈ U e v ∈ V, <u * v> = 0.
O que é o complemento ortogonal de um subespaço V?
O complemento ortogonal de V é a coleção de todos os vetores do Rn que são ortogonais a todos os vetores em V. Ou seja, matematicamente temos:
V⊥ = {x ∈ Rn: x^T y = 0, para qualquer y ∈ V}.
Se dois espaços são ortogonais entre si, um é necessariamente o complemento ortogonal do outro. Verdadeiro ou falso? Justifique.
Falso. Dois espaços podem ser ortogonais entre si sem que um seja o complemento ortogonal do outro.
Para que um espaço seja o complemento ortogonal de outro, é preciso que a soma de suas dimensões seja igual à dimensão do espaço vetorial total e que cada vetor de um espaço seja ortogonal a todos os vetores do outro. A ortogonalidade entre dois espaços é uma condição necessária, mas não suficiente para que um seja o complemento ortogonal do outro.
Por exemplo, no espaço R³, os subespaços X = {[1, 0, 0]} e Y = {[0, 1, 0]} são ortogonais, porém não são o complemento ortogonal um do outro visto que nenhum deles inclui o eixo Z.
O que significa dizer que uma soma de subespaços U1 + U2 + … + Um forma uma soma direta? Como essa soma é representada? Cite dois exemplos de consequências dessa definição.
Estamos particularmente interessados em casos em que cada vetor em U1+U2+· · ·+Um pode ser representado na forma acima, de uma única forma (os uj são únicos). Se U1+U2+· · ·+Um ´e uma soma direta, representamos
como U1⊕U2⊕· · ·⊕Um.
Alguns resultados adicionais:
1. U + U⊥ formam uma soma direta de V, se U é subespaço de V .
2. Se U, W são subespaços de V , então U + W é uma soma direta se e somentese U ∩ W = {0}.
3. Se U1, U2, . . . , Um são subespaços de V, então U1 + U2 + · · · + Um é uma soma direta se e somente se a única forma de escrevermos o vetor 0 (zero) como uma soma de u1 + u2 + · · · + um é tomando cada um dos uj ’s como o próprio vetor 0.
Um espaço vetorial deve conter o vetor nulo. Verdadeiro ou Falso? Justifique.
Verdadeiro. Todo espaço vetorial deve ser fechado pela multiplicação por escalar. Para que essa condição seja satisfeita, é necessário que o vetor nulo pertença ao espaço pois é o vetor associado ao escalar 0.
A interseção de dois subespaços vetoriais de um espaço vetorial é sempre um subespaço vetorial. Verdadeiro ou Falso? Justifique.
Verdadeiro. A interseção de dois subespaços contém apenas os vetores que pertencem a ambos os subespaços. Como ela preserva as operações de adição e multiplicação escalar, a interseção é também um subespaço.
Qualquer subconjunto de um espaço vetorial é automaticamente um subespaço vetorial. Verdadeiro ou falso? Justifique.
Falso. É possível, por exemplo, escolher um subconjunto que não contenha o vetor nulo.
Qual das condições abaixo é necessária para um conjunto ser considerado um subespaço vetorial?
a) Contém ao menos dois vetores distintos
b) É fechado sob multiplicação escalar
c) É finito
d) Contém apenas o vetor nulo
b) É fechado sob multiplicação escalar
Qual dos seguintes conjuntos é garantidamente um subespaço vetorial?
a) O conjunto dos vetores em R2 com norma 1
b) O conjunto de vetores em R3 que formam um plano passando pela origem
c) O conjunto de vetores em R4 que possuem ao menos uma coordenada igual a 0
d) O conjunto de vetores em R5 com soma das coordenadas igual a 10
b) O conjunto de vetores em
𝑅
3
R
3
que formam um plano passando pela origem
Se W é um subespaço de V, qual das propriedades abaixo é verdadeira?
a) Todo vetor em W também pertence a V
b) V deve ter mais dimensões do que W
c) W deve ter mais dimensões do que V
d) A soma de dois vetores em W pode sair de V
a) Todo vetor em W também pertence a V
Explique por que o espaço vetorial R3 não pode ter um subespaço vetorial que seja um círculo.
Um círculo não é um subespaço vetorial porque não é fechado sob adição nem multiplicação escalar. Por exemplo, somar dois vetores no círculo geralmente resulta em um vetor fora do círculo.
Por que o conjunto de vetores {(x,y)∈R2∣x+y=1} não é um subespaço vetorial de R2?
Este conjunto não é um subespaço porque não contém o vetor nulo (o vetor (0,0) não satisfaz x+y=1). Além disso, ele não é fechado sob adição de vetores nem multiplicação escalar.
Se um subespaço vetorial tem dimensão 1, qual é a forma geométrica que ele representa em R3 ?
Uma reta que passa pela origem.
Justificativa: Um subespaço de dimensão 1 em R3 consiste em todos os múltiplos escalares de um vetor, o que geométrica e exclusivamente forma uma linha que passa pela origem.
Qual é o menor subespaço possível de qualquer espaço vetorial?
a) O espaço Rn completo.
b) Um espaço unidimensional.
c) O conjunto vazio.
d) O subespaço trivial {0}.
d) O subespaço trivial {0}.
Qual das seguintes condições garante que um conjunto de vetores {v1,v2,…,vn} é linearmente independente?
a) Todos os vetores são ortogonais.
b) Nenhum vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros.
c) Existe uma combinação linear não trivial que resulta no vetor nulo.
d) Os vetores têm o mesmo comprimento.
b) Nenhum vetor pode ser escrito como combinação linear dos outros.
