Structures algébriques usuelles Flashcards
Définition d’un groupe
Étant donné un ensemble G muni d’une loi de composition interne ∗, on dit que (G, ∗) est un groupe si :
* ∗ est associative,
* (G, ∗) possède un élément neutre,
* tout élément de G possède un symétrique dans G.
Définition d’un sous-groupe
Soit G un groupe. Une partie H de G est un sous-groupe de G si elle est
* stable par la loi de G
* stable par passage au symétrique,
* contient le neutre de G (elle est non-vide)
Définition du morphisme de groupes
Soit G et G′ deux groupes et f une fonction de G dans G′. On dit que f est un morphisme de groupes de G dans G′ lorsque :
∀(x, y) ∈ G2 f(x ∗ y) = f(x) ∗ f(y)
Propriétés des morphismes de groupe
Soit f un morphisme de groupes de G (d’élément neutre e) dans G′ (d’élément
neutre e′). On a :
* f(e) = e′ ,
* ∀x ∈ G (f(x)−1 = f(x−1),
* ∀x ∈ G ∀n ∈ ZZ, f(x)n = f(xn)
.
Définiton d’un anneau
Soit A un ensemble muni de deux lois de composition interne, notées en général + et ×. On dit que (A, +, ×) est un anneau si :
* (A, +) est un groupe commutatif,
* A possède un élément neutre pour ×,
* × est associative, et distributive par rapport à +. (x ⊗ (y ⊕ z)=(x ⊗ y) ⊕ (x ⊗ z) et (x ⊕ y) ⊗ z = (x ⊗ z) ⊕ (y ⊗ z).)
Définition d’un anneau intègre
Un anneau intègre est un anneau commutatif, différent de {0}, et tel que :
∀(a, b) ∈ A2 ab =0=⇒ (a = 0 ou b = 0).
Définition de sous-anneau
On appelle sous-anneau d’un anneau (A, +, ×) tout ensemble qui est
* un sous-groupe de (A, +)
* stable par ×
* contient 1A .(non vide)
Définition de morphisme d’anneau
Soit (A, +, ×) et (B, +, ×) deux anneaux. On dit que f : A → B est un morphisme d’anneaux si :
1. ∀(x, y) ∈ A2 f(x + y) = f(x) + f(y),
2. ∀(x, y) ∈ A2 f(x × y) = f(x) × f(y),
3. f(1A)=1B .
Définition de corps
Un corps est
* un anneau commutatif non trivial (IK, +, ×)
*dont tous les éléments non nuls sont inversibles, c’est-à-dire dont le groupe des inversibles est IK∗ = IK \ {0}
Propriété du corps
Le corps est intègre
