Espaces probabilisés Flashcards
Définition de tribu
Soit Ω un ensemble non vide. On appelle tribu sur Ω tout sous-ensemble A
de P(Ω) tel que :
• Ω appartient à A ;
• pour tout élément a de A, son complémentaire ā appartient à A ;
• pour toute suite (an)n∈IN d’éléments de A, la réunion U
n∈IN an appartient à A
Définition de espace probabilisable
Un couple (Ω, A), où Ω est un ensemble quelconque
non vide et A une tribu sur Ω.
L’ensemble Ω est appelé l’univers et tout élément de A est appelé événement.
Que contient forcément toute tribu ?
L’ensemble vide
Par quelles operations une tribu est-elle stable ?
Toute tribu est stable par union et intersection au plus
dénombrable, ainsi que par différence.
Définition de Probabilité Probabilité
On appelle probabilité sur l’espace probabilisable (Ω, A) toute application P de A
dans [0, 1] vérifiant :
• P(Ω) = 1 ;
• pour toute suite (an)n∈IN d’événements deux à deux incompatibles, la série de
terme général P(an) converge et :
lP(Un∈IN an) = Σn=0→+∞ lP(an)
Définition d’un espace probabilisé
Un espace probabilisé est un triplet (Ω, A, P), où (Ω, A) est un espace probabi-
lisable et P une probabilité sur (Ω, A).
Valeur de P(∅)
P(∅)=0
Probabilité de l’union d’événements incompatibles
Pour toute famille au plus dénombrable d’événements deux à deux incompatibles (Ai)i∈I , la famille
( lP(Ai)
)i∈I est sommable et :
lP (U i∈I Ai) = Σi∈I lP(Ai)
probabilité du complémentaire
P(Ā)=1 − P(A)
Croissance de lP
pour tout couple (A, B) d’événements vérifiant A ⊂ B :
P(B \ A) = P(B) − P(A) et ainsi P(A) ≤ P(B);
P(A ∪ B)
pour tout couple (A, B) d’événements :
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
Démo
Si lP(A)= 0 on dit que
A est négligeable
