Réduction des endomorphismes Flashcards
Définition de valeur propre
On dit que λ ∈ IK est valeur propre de u s’il existe un vecteur non nul x ∈ E
tel que u(x) = λx.
Définition de vecteur propre
On dit que x ∈ E est un vecteur propre de u associé à la valeur propre λ ∈ IK s’il est non nul et vérifie u(x) = λx.
Définition de sous-espace propre
Si λ ∈ IK est valeur propre de u, le sous-espace propre de u associé à la valeur propre λ est :
Eλ(u) = Ker(u − λ IdE) = {x ∈ E : u(x) = λx} .
Si deux endomorphismes commutent
alors les sous-espaces propres de l’un sont stables par l’autre.
Si F est un sous-espace vectoriel de E stable par u,
les valeurs propres de l’endomorphisme uF induit par u sur F sont les valeurs propres λ de u telles que Eλ(u) ∩ F ≠ {0}.On a alors : Eλ(uF ) = Eλ(u) ∩ F.
Si λ1,…,λp sont des valeurs propres de u deux à deux distinctes …
alors les sous-espaces propres associés Eλ1(u),…,Eλp (u) sont en somme directe.
Toute famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes est…
libre
(parce que ce sont des vecteurs non nuls appartenant à des sous-espaces vectoriels en somme directe)
Si E est de dimension finie et si λ1,…,λp sont des valeurs propres de u deux à deux distinctes… donner une inégalité sur les dimensions
alors :
i=1Σp dim Eλi (u) ≤ dim E
Définition du spectre
Si u est un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie, l’ensemble des valeurs propres de u est le spectre de u que l’on note sp(u).
Cardinal du spectre d’un endomorphisme de taille n
Le spectre d’un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension n a au plus n éléments.
Définition des éléments propres d’une matrice A
Les éléments propres de A sont les éléments propres de son endomorphisme canoniquement associé
Une matrice A ∈ Mn(IK) admet combien de valeurs propres ?
au plus n valeurs propres.
Soit A une matrice réelle et λ ∈ C, que peut on dire sur les vecteurs et valeurs propres de A?
λ ∈ spC(A) ⇐⇒ conjugué de λ ∈ spC(A) et ∀X ∈ Cn, X ∈ Eλ(A) ⇐⇒ conjugué de X ∈ Eλ(A).
Les racines de l’annulateur de u sont
Si P est un polynôme annulateur de u, alors toute valeur propre de u est racine
de P .
On a le même résultat pour une matrice A ∈ Mn(IK).
Si un endomorphisme u admet un polynôme minimal πu, quelles sont ses valeurs propres ?
Ses valeurs propres sont
les racines de πu .
Définition du polynôme caractéristique
On appelle polynôme caractéristique de A, et l’on note χA , l’unique polynôme tel que :
∀λ ∈ IK χA(λ) = det (λIn − A).
Le polynôme caractéristique est de la forme
Le polynôme caractéristique χA est un polynôme unitaire de degré n et l’on a :
χA = Xn − (tr A) Xn−1 + ··· + (−1)n det A
Que partagent deux matrices semblables?
Deux matrices semblables ont
* même polynôme caractéristique
* le même spectre
* les sous-espaces propres associés sont de même dimension.
Que peut on dire sur det(PAP-1) et pourquoi ?
= det(A)
On applique le résultat précédent :
det(P−1AP) = det(P−1 A)det(P) = det(P) det(P−1A)
= det(PP−1A) = det(A)
Si A ∈ Mn(IK) est triangulaire de diagonale (α1,…,αn) alors quel ests on polynôme caractéristiques ?
son polynôme
caractéristique est égal à
(k=1Πn) (X − αk).
Un scalaire λ ∈ IK est une valeur propre de A si, et seulement si
il est racine du polynôme caractéristique de A.
Un scalaire λ ∈ IK est racine du polynôme caractéristique de A(ou u) si et seulement si
il est valeur propre de A (ou u)
Le polynôme d’un endomorphisme est le polynôme caractéristique de sa matrice dans quelle base ?
N’importe laquelle base
La notion de polynôme caractéristique d’un endomorphisme n’a de sens que si
E est de dimension finie.
Si F est un sous-espace vectoriel de E stable par u alors que peut on dire de leur polynôme caractéristique ?
Le polynôme caractéristique de l’endomorphisme induit par u sur F divise χu .
Définition d’ordre de multiplicité d’une valeur propre
On appelle ordre de multiplicité d’une valeur propre λ de u (ou A), son ordre de multiplicité en tant que racine du polynôme caractéristique de u.
Pour tout λ ∈ sp(u), encadrer la dimension du sous-espace propre
1 ≤ dim Eλ(u) ≤ m(λ).
Si λ est valeur propre simple de u, alors que peut-on dire sur la dimension du sous-espace propre ?
dim Eλ(u) = 1.
Si χu = (i=1Πn) (X − µi) est scindé, connait-on une relation sur les µi ?
tr u = (i=1Πn) µi et
det u = (i=1Σn)µi.
Définition de diagonalisable pour un endomorphisme u et pour une matrice A
- L’endomorphisme u est dit diagonalisable s’il existe une base de E dans laquelle la matrice de u est diagonale.
Une telle base s’appelle une base de diagonalisation de u. - La matrice A est dite diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale, c’est-à-dire s’il existe D diagonale et P inversible telles que A = PDP −1 .
Si A représente u, elle est diagonalisable si, et seulement si,
- u est diagonalisable
- son endomorphisme canoniquement associé est diagonalisable.
- (⊕λ∈sp(u)) Eλ(u) = E , (lKn si A)
- (Σλ∈sp(u)) dim Eλ(u) = dim E (n si A)
- son polynôme caractéristique χu est scindé sur IK ;
- pour toute valeur propre de u, la dimension du sous-espace propre associé est égale à l’ordre de multiplicité de cette valeur propre, c’est-à-dire :
∀λ ∈ sp(u) dim Eλ(u) = m(λ).
- u possède un polynôme annulateur scindé à racines simples
Si E est de dimension n et si u ∈ L(E) (ou A ∈ Mn(IK)) possède n valeurs propres distinctes, alors
u (ou A) est diagonalisable et chaque sous-espace propre est de dimension 1.
Si le polynôme caractéristique de u (respectivement de A) est scindé à racines simples,
alors u (respectivement A) est diagonalisable.
Soit u ∈ L(E) diagonalisable et F un sous-espace vectoriel de E stable par u.
Que peut-on affirmé sur l’endomorphisme induit par u sur F ?
L’endomorphisme induit par u sur F est alors diagonalisable.
Définition de trigonalisable
L’endomorphisme u est dit trigonalisable s’il existe une base de E dans laquelle la matrice de u est triangulaire supérieure.
Une telle base s’appelle une base de trigonalisation de u.
* La matrice A est dite trigonalisable si elle est semblable à une matrice triangulaire supérieure.
Si A représente u, A est trigonalisable si, et seulement si,
- u est trigonalisable
- son endomorphisme canoniquement associé est trigonalisable.
- son polynôme caractéristique est scindé sur IK.
- son polynôme minimal est scindé
- s’il possède un polynôme
annulateur scindé.
Si E est un C-espace vectoriel de dimension finie,
alors tout endomorphisme de E est trigonalisable. Toute matrice carrée à coefficients dans C est trigonalisable sur C.
Théorème Cayley-Hamilton
Le polynôme caractéristique de u annule u, c’est-à-dire χu(u) = 0.
De même, si A ∈ Mn(IK), alors χA(A) = 0.
Que peut-on dire du degré du polynôme minimal d’un endomorphisme d’un ev de dim n ?
Le polynôme minimal d’un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie n est de degré inférieur ou égal à n.
On a le même résultat pour une matrice carrée de taille n.
Un endomorphisme est nilpotent si, et seulement si
- il est trigonalisable et toutes
ses valeurs propres sont nulles. - si dimE = n, son polynôme caractéristique est X^n
Une matrice est nilpotente si, et seulement si
*elle est semblable à une matrice triangulaire supérieure stricte
* si dimE = n, son polynôme caractéristique est X^n
Soit u ∈ L(E) dont le polynôme caractéristique
χu = (Πλ∈sp(u)) (X −λ)^m(λ) est scindé.
Que peut-on dire de E ?
On a la décomposition :
E = (⊕λ∈sp(u)) Ker(u − λ IdE)^m(λ)
Les sous-espaces vectoriels Fλ = Ker(u−λ IdE)m(λ) , pour λ ∈ sp(u),
sont appelés sous-espaces caractéristiques de l’endomorphisme u.
Pour toute valeur propre λ, la dimension de Fλ correspond à
l’ordre de multiplicité de λ
Soit u ∈ L(E) dont le polynôme caractéristique est scindé.
Il existe une base de E dans laquelle la matrice de u est diagonale par blocs, chaque bloc étant** triangulaire** à coefficients diagonaux égaux.
théorème fondamental de l’analyse
soit u et v application linéaire si rg(u) = rg(v) alors il existe f et g isomorphisme tel que v = fug
