Réduction des endomorphismes

Question 1

Définition de valeur propre

Answer 1

On dit que λ ∈ IK est valeur propre de u s’il existe un vecteur non nul x ∈ E
tel que u(x) = λx.

Question 2

Définition de vecteur propre

Answer 2

On dit que x ∈ E est un vecteur propre de u associé à la valeur propre λ ∈ IK s’il est non nul et vérifie u(x) = λx.

Question 3

Définition de sous-espace propre

Answer 3

Si λ ∈ IK est valeur propre de u, le sous-espace propre de u associé à la valeur propre λ est :
Eλ(u) = Ker(u − λ IdE) = {x ∈ E : u(x) = λx} .

Question 4

Si deux endomorphismes commutent

Answer 4

alors les sous-espaces propres de l’un sont stables par l’autre.

Question 5

Si F est un sous-espace vectoriel de E stable par u,

Answer 5

les valeurs propres de l’endomorphisme uF induit par u sur F sont les valeurs propres λ de u telles que Eλ(u) ∩ F ≠ {0}.On a alors : Eλ(uF ) = Eλ(u) ∩ F.

Question 6

Si λ1,…,λp sont des valeurs propres de u deux à deux distinctes …

Answer 6

alors les sous-espaces propres associés Eλ1(u),…,Eλp (u) sont en somme directe.

Question 7

Toute famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes est…

Answer 7

libre
(parce que ce sont des vecteurs non nuls appartenant à des sous-espaces vectoriels en somme directe)

Question 8

Si E est de dimension finie et si λ1,…,λp sont des valeurs propres de u deux à deux distinctes… donner une inégalité sur les dimensions

Answer 8

alors :
i=1Σp dim Eλi (u) ≤ dim E

Question 9

Définition du spectre

Answer 9

Si u est un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie, l’ensemble des valeurs propres de u est le spectre de u que l’on note sp(u).

Question 10

Cardinal du spectre d’un endomorphisme de taille n

Answer 10

Le spectre d’un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension n a au plus n éléments.

Question 11

Définition des éléments propres d’une matrice A

Answer 11

Les éléments propres de A sont les éléments propres de son endomorphisme canoniquement associé

Question 12

Une matrice A ∈ Mn(IK) admet combien de valeurs propres ?

Answer 12

au plus n valeurs propres.

Question 13

Soit A une matrice réelle et λ ∈ C, que peut on dire sur les vecteurs et valeurs propres de A?

Answer 13

λ ∈ spC(A) ⇐⇒ conjugué de λ ∈ spC(A) et ∀X ∈ Cn, X ∈ Eλ(A) ⇐⇒ conjugué de X ∈ Eλ(A).

Question 14

Les racines de l’annulateur de u sont

Answer 14

Si P est un polynôme annulateur de u, alors toute valeur propre de u est racine
de P .
On a le même résultat pour une matrice A ∈ Mn(IK).

Question 15

Si un endomorphisme u admet un polynôme minimal πu, quelles sont ses valeurs propres ?

Answer 15

Ses valeurs propres sont
les racines de πu .

Question 16

Définition du polynôme caractéristique

Answer 16

On appelle polynôme caractéristique de A, et l’on note χA , l’unique polynôme tel que :
∀λ ∈ IK χA(λ) = det (λIn − A).

Question 17

Le polynôme caractéristique est de la forme

Answer 17

Le polynôme caractéristique χA est un polynôme unitaire de degré n et l’on a :
χA = Xn − (tr A) Xn−1 + ··· + (−1)n det A

Question 18

Que partagent deux matrices semblables?

Answer 18

Deux matrices semblables ont
* même polynôme caractéristique
* le même spectre
* les sous-espaces propres associés sont de même dimension.

Question 19

Que peut on dire sur det(PAP-1) et pourquoi ?

Answer 19

= det(A)
On applique le résultat précédent :
det(P−1AP) = det(P−1 A)det(P) = det(P) det(P−1A)
= det(PP−1A) = det(A)

Question 20

Si A ∈ Mn(IK) est triangulaire de diagonale (α1,…,αn) alors quel ests on polynôme caractéristiques ?

Answer 20

son polynôme
caractéristique est égal à
(k=1Πn) (X − αk).

Question 21

Un scalaire λ ∈ IK est une valeur propre de A si, et seulement si

Answer 21

il est racine du polynôme caractéristique de A.

Question 22

Un scalaire λ ∈ IK est racine du polynôme caractéristique de A(ou u) si et seulement si

Answer 22

il est valeur propre de A (ou u)

Question 23

Le polynôme d’un endomorphisme est le polynôme caractéristique de sa matrice dans quelle base ?

Answer 23

N’importe laquelle base

Question 24

La notion de polynôme caractéristique d’un endomorphisme n’a de sens que si

Answer 24

E est de dimension finie.

Question 25

Si F est un sous-espace vectoriel de E stable par u alors que peut on dire de leur polynôme caractéristique ?

Answer 25

Le polynôme caractéristique de l’endomorphisme induit par u sur F divise χu .

Question 26

Définition d’ordre de multiplicité d’une valeur propre

Answer 26

On appelle ordre de multiplicité d’une valeur propre λ de u (ou A), son ordre de multiplicité en tant que racine du polynôme caractéristique de u.

Question 27

Pour tout λ ∈ sp(u), encadrer la dimension du sous-espace propre

Answer 27

1 ≤ dim Eλ(u) ≤ m(λ).

Question 28

Si λ est valeur propre simple de u, alors que peut-on dire sur la dimension du sous-espace propre ?

Answer 28

dim Eλ(u) = 1.

Question 29

Si χu = (i=1Πn) (X − µi) est scindé, connait-on une relation sur les µi ?

Answer 29

tr u = (i=1Πn) µi et
det u = (i=1Σn)µi.

Question 30

Définition de diagonalisable pour un endomorphisme u et pour une matrice A

Answer 30

• L’endomorphisme u est dit diagonalisable s’il existe une base de E dans laquelle la matrice de u est diagonale.
  Une telle base s’appelle une base de diagonalisation de u.
• La matrice A est dite diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale, c’est-à-dire s’il existe D diagonale et P inversible telles que A = PDP −1 .

Question 31

Si A représente u, elle est diagonalisable si, et seulement si,

Answer 31

• u est diagonalisable
• son endomorphisme canoniquement associé est diagonalisable.
• (⊕λ∈sp(u)) Eλ(u) = E , (lKn si A)
• (Σλ∈sp(u)) dim Eλ(u) = dim E (n si A)
  
  • son polynôme caractéristique χu est scindé sur IK ;
  • pour toute valeur propre de u, la dimension du sous-espace propre associé est égale à l’ordre de multiplicité de cette valeur propre, c’est-à-dire :
    ∀λ ∈ sp(u) dim Eλ(u) = m(λ).
• u possède un polynôme annulateur scindé à racines simples

Question 32

Si E est de dimension n et si u ∈ L(E) (ou A ∈ Mn(IK)) possède n valeurs propres distinctes, alors

Answer 32

u (ou A) est diagonalisable et chaque sous-espace propre est de dimension 1.

Question 33

Si le polynôme caractéristique de u (respectivement de A) est scindé à racines simples,

Answer 33

alors u (respectivement A) est diagonalisable.

Question 34

Soit u ∈ L(E) diagonalisable et F un sous-espace vectoriel de E stable par u.
Que peut-on affirmé sur l’endomorphisme induit par u sur F ?

Answer 34

L’endomorphisme induit par u sur F est alors diagonalisable.

Question 35

Définition de trigonalisable

Answer 35

L’endomorphisme u est dit trigonalisable s’il existe une base de E dans laquelle la matrice de u est triangulaire supérieure.
Une telle base s’appelle une base de trigonalisation de u.
* La matrice A est dite trigonalisable si elle est semblable à une matrice triangulaire supérieure.

Question 36

Si A représente u, A est trigonalisable si, et seulement si,

Answer 36

• u est trigonalisable
• son endomorphisme canoniquement associé est trigonalisable.
• son polynôme caractéristique est scindé sur IK.
• son polynôme minimal est scindé
• s’il possède un polynôme
  annulateur scindé.

Question 37

Si E est un C-espace vectoriel de dimension finie,

Answer 37

alors tout endomorphisme de E est trigonalisable. Toute matrice carrée à coefficients dans C est trigonalisable sur C.

Question 38

Théorème Cayley-Hamilton

Answer 38

Le polynôme caractéristique de u annule u, c’est-à-dire χu(u) = 0.
De même, si A ∈ Mn(IK), alors χA(A) = 0.

Question 39

Que peut-on dire du degré du polynôme minimal d’un endomorphisme d’un ev de dim n ?

Answer 39

Le polynôme minimal d’un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie n est de degré inférieur ou égal à n.
On a le même résultat pour une matrice carrée de taille n.

Question 40

Un endomorphisme est nilpotent si, et seulement si

Answer 40

• il est trigonalisable et toutes
  ses valeurs propres sont nulles.
• si dimE = n, son polynôme caractéristique est X^n

Question 41

Une matrice est nilpotente si, et seulement si

Answer 41

*elle est semblable à une matrice triangulaire supérieure stricte
* si dimE = n, son polynôme caractéristique est X^n

Question 42

Soit u ∈ L(E) dont le polynôme caractéristique
χu = (Πλ∈sp(u)) (X −λ)^m(λ) est scindé.
Que peut-on dire de E ?

Answer 42

On a la décomposition :
E = (⊕λ∈sp(u)) Ker(u − λ IdE)^m(λ)

Question 43

Les sous-espaces vectoriels Fλ = Ker(u−λ IdE)m(λ) , pour λ ∈ sp(u),
sont appelés sous-espaces caractéristiques de l’endomorphisme u.
Pour toute valeur propre λ, la dimension de Fλ correspond à

Answer 43

l’ordre de multiplicité de λ

Question 44

Soit u ∈ L(E) dont le polynôme caractéristique est scindé.

Answer 44

Il existe une base de E dans laquelle la matrice de u est diagonale par blocs, chaque bloc étant** triangulaire** à coefficients diagonaux égaux.

Question 45

théorème fondamental de l’analyse

Answer 45

soit u et v application linéaire si rg(u) = rg(v) alors il existe f et g isomorphisme tel que v = fug