Réduction des endomorphismes Flashcards
Définition de valeur propre
On dit que λ ∈ IK est valeur propre de u s’il existe un vecteur non nul x ∈ E
tel que u(x) = λx.
Définition de vecteur propre
On dit que x ∈ E est un vecteur propre de u associé à la valeur propre λ ∈ IK s’il est non nul et vérifie u(x) = λx.
Définition de sous-espace propre
Si λ ∈ IK est valeur propre de u, le sous-espace propre de u associé à la valeur propre λ est :
Eλ(u) = Ker(u − λ IdE) = {x ∈ E : u(x) = λx} .
Si deux endomorphismes commutent
alors les sous-espaces propres de l’un sont stables par l’autre.
Si F est un sous-espace vectoriel de E stable par u,
les valeurs propres de l’endomorphisme uF induit par u sur F sont les valeurs propres λ de u telles que Eλ(u) ∩ F ≠ {0}.On a alors : Eλ(uF ) = Eλ(u) ∩ F.
Si λ1,…,λp sont des valeurs propres de u deux à deux distinctes …
alors les sous-espaces propres associés Eλ1(u),…,Eλp (u) sont en somme directe.
Toute famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres deux à deux distinctes est…
libre
(parce que ce sont des vecteurs non nuls appartenant à des sous-espaces vectoriels en somme directe)
Si E est de dimension finie et si λ1,…,λp sont des valeurs propres de u deux à deux distinctes… donner une inégalité sur les dimensions
alors :
i=1Σp dim Eλi (u) ≤ dim E
Définition du spectre
Si u est un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension finie, l’ensemble des valeurs propres de u est le spectre de u que l’on note sp(u).
Cardinal du spectre d’un endomorphisme de taille n
Le spectre d’un endomorphisme d’un espace vectoriel de dimension n a au plus n éléments.
Définition des éléments propres d’une matrice A
Les éléments propres de A sont les éléments propres de son endomorphisme canoniquement associé
Une matrice A ∈ Mn(IK) admet combien de valeurs propres ?
au plus n valeurs propres.
Soit A une matrice réelle et λ ∈ C, que peut on dire sur les vecteurs et valeurs propres de A?
λ ∈ spC(A) ⇐⇒ conjugué de λ ∈ spC(A) et ∀X ∈ Cn, X ∈ Eλ(A) ⇐⇒ conjugué de X ∈ Eλ(A).
Les racines de l’annulateur de u sont
Si P est un polynôme annulateur de u, alors toute valeur propre de u est racine
de P .
On a le même résultat pour une matrice A ∈ Mn(IK).
Si un endomorphisme u admet un polynôme minimal πu, quelles sont ses valeurs propres ?
Ses valeurs propres sont
les racines de πu .
Définition du polynôme caractéristique
On appelle polynôme caractéristique de A, et l’on note χA , l’unique polynôme tel que :
∀λ ∈ IK χA(λ) = det (λIn − A).
Le polynôme caractéristique est de la forme
Le polynôme caractéristique χA est un polynôme unitaire de degré n et l’on a :
χA = Xn − (tr A) Xn−1 + ··· + (−1)n det A
Que partagent deux matrices semblables?
Deux matrices semblables ont
* même polynôme caractéristique
* le même spectre
* les sous-espaces propres associés sont de même dimension.
Que peut on dire sur det(PAP-1) et pourquoi ?
= det(A)
On applique le résultat précédent :
det(P−1AP) = det(P−1 A)det(P) = det(P) det(P−1A)
= det(PP−1A) = det(A)
Si A ∈ Mn(IK) est triangulaire de diagonale (α1,…,αn) alors quel ests on polynôme caractéristiques ?
son polynôme
caractéristique est égal à
(k=1Πn) (X − αk).
Un scalaire λ ∈ IK est une valeur propre de A si, et seulement si
il est racine du polynôme caractéristique de A.
Un scalaire λ ∈ IK est racine du polynôme caractéristique de A(ou u) si et seulement si
il est valeur propre de A (ou u)
Le polynôme d’un endomorphisme est le polynôme caractéristique de sa matrice dans quelle base ?
N’importe laquelle base
La notion de polynôme caractéristique d’un endomorphisme n’a de sens que si
E est de dimension finie.
