Statistische Schätzverfahren

Question 1

Zufallsstichprobe

Answer 1

Eine Menge von n Zufallsvariablen mit derselben Verteilung Fx ist eine Zufallsstichprobe der Größe n der Verteilung Fx

Question 2

Stichprobe

Answer 2

.. Realistaion einer Zufallsstichprobe

Question 3

Grundgesamtheit

Answer 3

.. statistische Modell, dass die Stichprobe erzeugt hat

–> Modell: Annäherung für die Grundgesamtheit

Question 4

Statistischer Schätzer

Answer 4

(Gamma)
.. ist eine Funktion einer Zufallsstichprobe von X, welche auf den Raum des unbekannten Parameters abbildet.

• kann ebenso Zufallsvariablen interpretieren

Question 5

Schätzwert

auslassen!

Answer 5

Realisation des Schätzwertes

Question 6

Schätzer: Konsitstent

Answer 6

die Wahrscheinlichkeit, dass der Schätzer um einen beliebigen kleinen Wert vom zu schätzenden Parameter Theta abweicht für steigenden Stichprobenumfang n gegen 0 konvergiert.

Question 7

Schätzer: Erwartungstreu

Answer 7

Erwartungswert Schätzer = Parameter der Verteilung Theta

Question 8

Schätzer: Asymptotisch erwartungstreu

Answer 8

lim E(Gamma) = Theta

Question 9

Bsp Statistische Schätzer

Answer 9

Mittelwert (Stichprobenmittel)
Varianz (Stichprobenvarianz)
- konsistent
- erwartungstreu

Question 10

Schätzer für Mittelwert

Answer 10

Erwartungswert und Varianz

Question 11

Momentenmethode

Answer 11

Schätzung von Verteilungsparametern mit Hilfe von Schätzern für die Momente.
Die Intuition hinter dieser Schätzmethode ist, dass Stichprobenmomente mit den Momenten der Grundgesamtheit gleichgesetzt werden.
- konsistent

Question 12

Likelihood Funktion

Answer 12

Schätzverfahren für die Parameter einer Verteilung.

Die Intuition ist, dass für eine gegebene Dichte (Verteilungsfamilie) die Parameter gesucht werden, welche eine Stichprobe am besten beschreiben

Question 13

Maximum-Likelihood-Schätzer für eine Normalverteilung

Answer 13

.. erhält man durch Ableiten und Nullsetzen der Log-Likelihood einer Normalverteilung.

Question 14

Maximum-Likelihood-Schätzer für beliebige Verteilungen

Answer 14

erhält man durch eine Lösung für die Gleichungen der Ableitungen der Log-Likelihood-Funktion. Allerdings lassen sich diese Gleichungen nicht immer explizit lösen, sodass die Schätzer oft numerisch berechnet werden müssen (zB mit einem Newton-Verfahren).

• konsistent
• asymptotisch erwartungstreu

Question 15

Gesetz der großen Zahlen LLN

Answer 15

Das Gesetz der großen Zahlen besagt, dass der Mittelwertschätzer für steigenden Stichprobenumfang gegen den wahren Parameter μX (in Wahrscheinlichkeit) konvergiert.

Zufallsvariablen: unabhängig und identisch verteilt

Question 16

Zentrale Grenzwertsatz CLT

Answer 16

Der zentrale Grenzwertsatz beschreibt die zufälligen Fluktuationen um den geschätzten Parameter μX .

Zufallsvariablen; unabhängig, identisch verteilt

Question 17

CLT vs LLN

Answer 17

Das Gesetz der großen Zahlen beschreibt die Konvergenz eines Schätzers gegen den geschätzten Parameter. Daraus folgt, dass Abweichungen vom Parameter in Wahrscheinlichkeit gegen 0 konvergieren.

Der Zentrale Grenzwertsatz beschäftigt sich mit reskalierten
(aufgeblasenen) Abweichungen vom Parameter, die
Skalierungskonstante ist Wurzel n. –> Konvergiert gegen Zufallsvariable (Normalverteilt)

Question 18

Konfidenzintervalle

Answer 18

.. sind Funktionen der Zufallsstichprobe, sodass für den Parameter zum Konfidenzniveau 1 - alpha gilt:
P(T1 < theta < T2) >= 1 − alpha

Zusätzlich zum Punktschätzer: Unsicherheit der Schätzung beschreibt

Question 19

Konfidenzintervalle: Eigenschaften

Answer 19

• bieten eine Einschätzung der Präzision des Schätzverfahrens
• Funktion einer Zufallsstichprobe –> selbst Zufallsvariablen
• schließen den zu schätzenden Parameter zwischen zwei zufälligen Werten ein

Question 20

Approximiertes Konfidenzinterfall

Answer 20

P(T1 < theta < T2) ~ 1 − alpha