Sistema de Ecuaciones (teoría).

Question 1

¿Qué es un sistema de ecuaciones?

Answer 1

Es un conjunto de ecuaciones que necesitan una solución simultánea, los valores hallados para las incógnitas deben ser solución de todas las ecuaciones al mismo tiempo.

Question 2

¿Qué son los sistemas de ecuaciones lineales?

Answer 2

Son aquellos que tienen incógnitas elevadas solamente a la primera potencia, son polinomios de grado uno.

Question 3

¿Qué es un sistema de 2x2?

Answer 3

Son dos ecuaciones con dos incógnitas.

Question 4

¿Qué significa solucionar el sistema?

Answer 4

Halla el conjunto de todos los números pares de valores que hagan verdaderas las expresiones del sistema simultáneamente.

Question 5

¿Cuál es el método de sustitución?

Answer 5

Es el método que despeja una de las incógnitas de una ecuación y la reemplaza en la otra ecuación.

Question 6

¿Cuál es el método de igualación?

Answer 6

Es el método que despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones y después igual a las expresiones halladas.

Question 7

¿Cuál es el método de eliminación de incógnitas por sumas y productos?

Answer 7

Hace operaciones válidas basadas en operaciones habilitantes con ecuaciones, para lograr una ecuación en dónde está eliminada una de las dos incógnitas.

Question 8

¿Cuáles son las operaciones habilitantes con ecuaciones?

Answer 8

Multiplicar una ecuación miembro a miembro por una constante distinta de cero, lo que obtiene una ecuación equivalente.
Sumar dos ecuaciones miembro a miembro, lo que obtiene una tercera ecuación.

Question 9

¿Cómo se escriben las soluciones del sistema?

Answer 9

S = { ( ) }

Question 10

¿Cuál es el método de eliminación de gauss?

Answer 10

El método de eliminación de gauss sistematiza el método de eliminación de incógnitas por sumas y productos, escribiendo sólo los coeficientes de las ecuaciones.

Question 11

¿Cuál es el modelo de ecuación al que llegar y resolver?

Answer 11

α z = β

Question 12

¿Qué simboliza la “z” en este modelo?

Answer 12

En la última incógnita que queda, después de eliminar las otras incógnitas.

Question 13

¿Qué simbolizan alfa y beta en este modelo?

Answer 13

Son las constantes que quedan y resuelven el valor de z=β/α.

Question 14

¿Cuál es la otra particularidad de este método?

Answer 14

Agrega la posibilidad de clasificar el sistema en cuanto a su compatibilidad, sin necesidad de resolverlo.

Question 15

¿Cómo se clasifica el sistema según su compatibilidad?

Answer 15

Sistema compatible determinado (SCD):
α ≠ 0 ∧ β ∈ ℝ ⇒ x tiene solución única S = { β/α }

Sistema compatible indeterminado (SCI):
α = 0 ∧ β = 0 ⇒ x puede adoptar cualquier valor S = ℝ
0 . x = 0
0 = 0

Sistema incompatible (SI): 
α = 0    ∧     β ≠ 0          
        0 . x = β 
          0 = β
⇒      Ya que hemos partido que β ≠ 0, la solución es    S = ∅

Question 16

¿Cuál es el objetivo al usar este método?

Answer 16

El objetivo es que la ecuación C, que proviene de sumar las otras dos ecuaciones miembro a miembro, tenga un cero en la casilla de la izquierda.

Question 17

¿Antes de comenzar a resolver con este método que hay que hacer?

Answer 17

Fijarnos que todas las constantes estén en el segundo miembro, y fijarnos que todas las variables estén en el mismo orden y en el primer miembro.

Question 18

¿Qué quiere decir cuando el sistema tiene infinitas soluciones?

Answer 18

Qué son infinitos pares ordenados (x , y), pero no cualquier combinación, sino los que cumplen con una relación.

Question 19

¿Cómo se expresan las infinitas soluciones?

Answer 19

Se expresan con un parámetro.

Question 20

¿Qué es un parámetro?

Answer 20

Una variable que creamos para barrer todo el conjunto de los números reales, la igualamos con una de las incógnitas, Y eso genera los infinitos pares o las diferentes termas que son solución del sistema.

Question 21

¿Cómo escribimos el parámetro en la solución del sistema?

Answer 21

S = { ( t ; t ; t ) ∧ t e (pertenece a los) R }

Question 22

¿Qué es un sistema 3X3?

Answer 22

Tres ecuaciones con tres incógnitas.

Question 23

¿Cómo se aplica el método en un sistema de tres por tres?

Answer 23

Se busca reducir el sistema a un 2X2, creando dos nuevas ecuaciones, que nos permita lograr un cero en la primera columna de la izquierda.

Question 24

¿Qué nos conviene hacer antes de resolver un sistema de 3X3?

Answer 24

Mirar las ecuaciones y buscar de qué manera nos conviene ponerlas en la tabla para facilitar sumas y productos.

Question 25

¿Qué son los sistemas homogéneos?

Answer 25

Son sistemas de ecuaciones que tienen sus constantes (o términos independientes) iguales cero en todas las ecuaciones del sistema.

Question 26

¿Cuál es la clasificación de las soluciones del sistema?

Answer 26

Sistema compatible determinado (SCD):
α ≠ 0 ∧ β = 0 ⇒ Z= 0
Sistema compatible indeterminado (SCI):
α = 0 ∧ β = 0 ⇒ infinitas soluciones.

Question 27

¿Por qué se dan estas clasificaciones de soluciones?

Answer 27

Porque siempre será β = 0, así que siempre serán compatibles.

Question 28

¿Qué es la solución trivial?

Answer 28

Es la solución que se da cuando todas las incógnitas valen cero, o tienen infinitas soluciones.

Question 29

Si el sistema es compatible determinado, ¿cuántas soluciones triviales tiene?

Answer 29

Una solución trivial.

Question 30

Si el sistema es compatible indeterminado, ¿cuál será su solución trivial?

Answer 30

La trivial más infinitas más (serán tantas triviales por la cantidad de incógnitas que hay).

Question 31

¿Cómo se resuelven los sistemas homogéneos?

Answer 31

Es la misma resolución que los sistemas 3X3 anteriores.

Question 32

¿Qué son los sistemas rectangulares?

Answer 32

Son los sistemas que tienen diferente cantidad de ecuaciones (n) que incógnitas (m).

Question 33

¿Cuáles son las dos posibilidades de los sistemas rectangulares?

Answer 33

Que la cantidad de ecuaciones sea menor a la cantidad de incógnitas (n < m) o que la cantidad de ecuaciones sea mayor a la cantidad de incógnitas (n > m).

Question 34

¿Qué pasa si tenemos una ecuación y dos incógnitas?

Answer 34

Ya que sabemos que está ecuación tiene infinitas soluciones, son infinitos pares de valores (x;y) que cumplan con dicha ecuación, solo que hay que tomar un parámetro y expresar las infinitas soluciones. También puede despejarse y = f(x).

Question 35

¿Qué pasa si tenemos dos ecuaciones y tres incógnitas?

Answer 35

Resolvemos por el método de eliminación de gauss y nos damos cuenta de que sólo podemos crear un cero, porque de crear otro, arruinamos el primer, así que siempre nos quedará una ecuación con dos incógnitas.

Question 36

¿Cuál será la solución de un sistema de dos ecuaciones y tres incógnitas?

Answer 36

Tenemos que utilizar un parámetro para expresar las infinitas soluciones.

Question 37

¿Qué pasa si tenemos dos ecuaciones y cuatro incógnitas?

Answer 37

Dos ecuaciones tendrán una solucion, pero otras dos no.

Question 38

¿Cómo será la solución de un sistema de dos ecuaciones y cuatro incógnitas?

Answer 38

Necesitamos crear dos parámetros y colocar las soluciones de las dos otras incógnitas que sí pudimos despejar utilizando los parámetros, que pueden ser las mismas letras que sus incógnitas.

Question 39

¿Qué pasa si tenemos tres ecuaciones y dos incógnitas, como nos tiene que quedar la solución al sistema?

Answer 39

Dos de las soluciones tendrán soluciones simultáneas, mientras que la tercera no. Pero podemos reformar la tercera ecuación, de modo que las tres tengan soluciones simultáneas, modificando exclusivamente la pendiente (m) de la tercera ecuación. Esto se hace volviendo a la ecuacion una ecuacion de la forma explicita de una recta, reemplazando las variables de Y y X por los valores de las otras dos incognitas del sistema.

Question 40

¿Qué pasa si tenemos 4 ecuaciones y dos incógnitas?

Answer 40

Podríamos pensar que quizás no tiene solución, pero igualmente debemos intentarlo porque, quizás la tenga.