Polinomios (teoría).

Question 1

¿Qué es un polinomio?

Answer 1

Es una suma ordenada de monomios.

Question 2

¿Qué significa esto?: an

Answer 2

Coeficiente principal del polinomio.

Question 3

¿Qué significa esto?: a0

Answer 3

Termino independiente.

Question 4

¿Qué significa esto?: n.

Answer 4

Es el grado de un polinomio.

Question 5

¿Qué significa esto?: n^-1

Answer 5

Simboliza un grado menor al monomio de mayor grado que el polinomio tenga.

Question 6

¿Como llamamos a los polinomios que tienen como coeficiente principal el 1?

Answer 6

Polinomio monico o reducido.

Question 7

¿Qué es el valor numerico de un polinomio?

Answer 7

El valor numérico de un polinomio en x = a, es el valor que adopta el polinomio cuando se reemplaza x = a.

Question 8

¿Cómo se hace la suma de dos polinomios?

Answer 8

Se hace sumando los monomios semejantes de ambos polinomios.

Question 9

¿Cómo se hace la resta de dos polinomios?

Answer 9

Se hace sumando el polinomio opuesto del sustraendo, o sea p(x) + [-q(x) ].

Question 10

¿Como se hace la multiplicacion de dos polinomios?

Answer 10

Se hace usando las propiedades de la multiplicación y la suma, multiplicando cada monomio de p(x) por cada monomio de q(x), luego sumando y ordenando.

Question 11

¿Cómo se hace la division?

Answer 11

De una manera bastante similar a la división entera.

Question 12

¿Cúal es la ecuacion de la división?

Answer 12

p(x) = q(x) . c(x) + R(x)
Dividendo= divisor por cociente, más el resto.

Question 13

¿Qué es necesario para que la division se lleve a cabo?

Answer 13

Que el grado del polinomio del dividendo debe ser mayor al grado del polinomio divisor.

Question 14

¿Cuál sera el grado del cociente?

Answer 14

El resultado de la resta entre el grado del dividendo y del divisor.

Question 15

¿Qué hay que hacer antes de dividir?

Answer 15

Escribir tanto el polinomio del dividendo y del divisor completo y ordenado.

Question 16

¿Es correcto escribir la ecuación de la división de la siguiente manera?: p(x) / q(x)= c(x) + R(x)

Answer 16

No.

Question 17

¿De qué otra manera podemos escribir la ecuación de la división?

Answer 17

p(x) / q(x)= c(x) + R(x) / q(x)

Question 18

¿Que es la regla de Ruffini?

Answer 18

Es una forma simplificada para dividir polinomios.

Question 19

¿En cuáles únicos casos se puede utilizar la regla de Ruffini?

Answer 19

Únicamente cuando el polinomio divisor es mónico y tiene la forma (x ± a).

Question 20

¿Cómo hay que escribir los coeficientes del polinomio?

Answer 20

Completos (todos los monomios con todos los exponentes, y los que no esten se escriben 0X^n) y ordenados (monomios de grados de mayor a menor).

Question 21

¿Cual es el primer paso?

Answer 21

Escribir el coeficiente del término independiente del polinomio divisor, con el signo cambiado, en el vértice entre las dos líneas que se dibujan abajo.

Question 22

¿Que es la raíz de un polinomio?

Answer 22

Es el valor de la variable (o las variables) que hace que el valor numérico del polinomio sea cero.

Question 23

¿Cuántas raíces puede tener un polinomio?

Answer 23

Tiene tantas raíces como su grado.

Question 24

¿Para qué sirve el teorema del resto?

Answer 24

Para calcular el resto de una división entre polinomios, sin tener que hacerla.

Question 25

¿Para qué caso particular se puede aplicar el teorema del resto?

Answer 25

Sólo para el caso particular en que el divisor tenga la forma (x+a).

Question 26

¿Qué plantea el teorema?

Answer 26

El resto de la división entre p(x) y un polinomio (x+a) es el valor numérico del dividendo en (-a).

Question 27

¿Cuál es la fórmula del teorema del resto?

Answer 27

R. [p(x)/ x + a]= p(-a)

Question 28

¿Cuando un polinomio es divisible por otro?

Answer 28

Un polinomio p(x) es divisible por otro polinomio q(x), cuando la división p(x) / q(x) resulta tener resto cero.

Question 29

Según el teorema del resto, ¿cuál será el resto en la división entre un dividendo p(x) y un divisor de la forma (x-raiz)?

Answer 29

R. [p(x)/ x - r]= p(r)= 0

El resto es cero, por la definición de raíz.

Question 30

¿Es correcto afirmar que todo polinomio es divisible por (x-raiz)?

Answer 30

Sí, todo polinomio p(x) es divisible por (x-raíz), y esto es válido para todas las raíces del polinomio.

Question 31

¿Qué es factorear un polinomio?

Answer 31

Es hallar sus polinomios divisores primos y escribir el polinomio en la forma factoreada.

Question 32

¿Cuál es la forma factoreada de un polinomio?

Answer 32

Es el producto de sus polinomios primos divisores, es decir, el producto de sus raíces. (x-raíz 1) (x-raíz 2).

Question 33

¿Cuál es el modelo de la forma factoreada de un polinomio?

Answer 33

p(x) = an (x-r1)^α (x-r2)^β … (x-rn)^λ

Question 34

¿Por qué buscamos los polinomios primos y no los otros?

Answer 34

Porque ellos son los que nos permiten reescribir el polinomio que queremos factorear, en cualquier otro producto de polinomios.

Question 35

¿Qué significa: an?

Answer 35

Coeficiente principal.

Question 36

¿Qué significa: r1 ; r2… rn?

Answer 36

Son las n raíces del polinomio.

Question 37

¿Qué significa: α, β?

Answer 37

Es el orden de multiplicidad de las n raíces del polinomio.

Question 38

¿Cuál es la suma de todos los órdenes?

Answer 38

α + β + … + λ = n

Question 39

¿Cómo se factorea por factor común?

Answer 39

Tenemos que identificar si el polinomio tiene un factor común, un número o una letra por la que todos los monomios puedan dividir. Factoreamos los monomios por este número o esta letra, y expresamos el polinomio factoreado como el producto del factor común por el polinomio factoreado.

Question 40

¿Cuáles son las fórmulas del trinomio cuadrado perfecto?

Answer 40

(a + b)^2 = a^2 + 2.ab + b^2

(a – b)^2 = a^2 – 2.ab + b^2

Question 41

¿Como se factorea por trinomio cuadrado perfecto?

Answer 41

Hay que comprobar si el polinomio a factorear es un trinomio y si cumple con las fórmulas del trinomio cuadrado perfecto.

Question 42

¿Cuál es la fórmula de la diferencia de cuadrados?

Answer 42

(a + b) (a – b) = a^2 – b^2

Question 43

¿Como se factorea por la diferencia de cuadrados?

Answer 43

Si vemos que tenemos la diferencia de dos cuadrados, podemos factorearla, o sea transformarla en el producto del primer miembro.

Question 44

¿Qué es el teorema de Gauss?

Answer 44

Es un método exploratorio que encuentra las raíces racionales de un polinomio.

Question 45

¿Cuáles son las condiciones para aplicar este método?

Answer 45

El término independiente del polinomio debe ser distinto a cero, todos los coeficientes del polinomio deben pertenecer a los enteros y el grado del polinomio debe ser mayor o igual a 1.

Question 46

¿Que afirma el teorema?

Answer 46

Que si se toman todos los divisores enteros “a” del término independiente a0, y “b” del coeficiente principal an:
a | a0 ∧ b | an
con a;b que pertenecen a los reales y ambos son coprimos entre sí, el número racional a/b podría ser raíz de p(x).

Question 47

¿Cuáles son las consideraciones a tener en cuenta?

Answer 47

El Teorema de Gauss sólo indica la existencia de raíces racionales (no indica raíces irracionales, ni complejas).
Los valores que “ofrece” el T. de Gauss, son sólo “posibles raíces”, cada valor ofrecido debe ser chequeado.
El T. de Gauss no informa el orden de multiplicidad de las raíces.