Séries Entières Flashcards
Definition série entière
Soit (an) une suite de nombre. La série de fonctions Σa(n)z^n s’appelle la série entière de terme général a(n)
Définition rayon de convergence
R=sup{r≥0 | (a(n) r^n est bornée
a(n)r^n ->(n->+inf) 0
a(n)r^n converge
Si (an) est bornée positive
alors R≥1
Si (an) ne tend pas vers 0
alors R≤1
Si a(n) = 1/n^µ
alors R=1
Si a(n) = b^n avec b>0
a(n) * r^n tend vers 0 lorsque n tend vers +inf ssi r<1/b
Donc R= 1/b
Critère de d’Alembert
Soit (an) suite de réels POSITIFS, R=Sup{r≥0 |a(n)*r^n converge}
Si a(n+1)/a(n) admet une limite l alors
i) Si l non nul et non +inf alors R=1/l
ii) Si l=0 , R = +inf
iii) Si l=+inf, R=0DSE de cos x
cos x = Σ (-1)^n x^2p / (2p)!
R=+inf
DSE de sin x
sin x = Σ (-1)^n x^(2p+1) / (2p+1)!
R=+inf
DSE de exp(x)
exp(x) = Σ x^n / n!
R=+inf
DSE de ch(x)
ch(x) = Σ x^2p / (2p)!
R=+inf
DSE de sh(x)
sh(x) = Σ x^(2p+1) / (2p+1)!
R=+inf
DSE de 1/(1+x)
1/(1+x) = Σ (-1)^n*x^n
R=+inf
DSE de (1+x)^µ
(1+x)^µ = 1 + Σ(n=1..inf) µ(µ-1)…(µ-n+1) / n! * x^n
R=1
DSE de ln(1+x)
ln(1+x) = Σ(n=1…inf) (-1)^(n+1) x^n / n!
R=1
