Réduction des endomorphismes

Question 1

Sous espace stable

Answer 1

Soit f endomorphisme de E. Un sev F de E est stable par f lorsque f(F) c F

Question 2

Si f et g commutent alors… (stabilité)

Answer 2

ker(f) et Im(f) sont stables par g et vice versa

Question 3

Th. de décomposition du noyau

Answer 3

Si P1,P2…Pk sont premiers entre eux, Ker(P1P2….Pk)(f)= Ker P1(f) ⊕ Ker P2(f) ⊕ … ⊕ Ker Pk(f)

Question 4

Valeur Propre λ

Vecteur Propre

Answer 4

Le scalaire λ est une vap de l’endomorphisme f de E s’il existe un vecteur x non nul tq f(x)=λx
Un tel vecteur x s’appelle vecteur propre.

Question 5

Si λ est valeur Propre alors (par rapport à f - λIdE)

Answer 5

f - λIdE n’est pas injective
rg (f - λIdE) < n
det (f - λIdE) = 0

Question 6

Spectre de f

Answer 6

L’ensemble des vap de f, noté Sp(f)

Question 7

Sous espace propre

Answer 7

Soit λ € Sp(f)

Eλ= ker (f - λIdE) est le sous espace propre associé à λ.

Question 8

Polynôme caractéristique

Answer 8

Le polynôme caractéristique de f € L(E) est le polynôme en λ tq Xf = det (f - λIdE)

Question 9

Th. de Cayley-Hamilton

Answer 9

Le polynôme minimal divise le polynôme caractéristique.

Question 10

Polynôme scindé à racines simples…

Answer 10

alors f est diagonalisable.