Espaces Préhilbertiens Flashcards
Forme Bilinéaire Symétrique
f est une fbs si f(x,y)=f(y,x)
Forme Quadratique
q(x) = f(x,x) avec f fbs
q est une forme quadratique ssi…
(x,y) -> q(x+y) -q(x) - q(y) est bilinéaire symétrique.
Forme polaire (f)
ker (q) = { x € E | f(x,y) = 0 pt y € E}
q est une forme quadratique si…
c’est un polynôme homogène de degré 2 des coordonnées.
Produit Scalaire
Une fbs définie positive sur un ev réel
Espace Préhilbertien Réel
Un ev réel muni d’un produit scalaire
Espace Euclidien
Un espace préhilbertien réel de dimension fini
Cauchy-Bouniakorski-Schwarz
f fbs définie positive sur E ev réel.
| f(x,y) | ≤ racine ( f(x,x) * f(y,y) )
ou
| (x|y) | ≤ ||x|| * ||y||
Norme Euclidienne
N: E -> R+ est une norme lorsque :
i) N(x) = 0 entraine x=0
ii) N(x+y) ≤ N(x) + N(y)
iii) N(λx) = |λ|*N(x)
||x+y||² =
= ||x||² + ||y||² + 2(x|y)
u et v sont orthogonaux lorsque :
(u|v) = 0
Pythagore : u et v sont orthogonaux ssi
||u+v||² = ||u||² + ||v||²
Famille orthogonale (ui) i €Z
famille de vecteurs de E orthogonaux 2 à 2
Famille orthonormée
tous les vecteurs sont de norme 1
2 sev sont en somme directe lorsque :
F⊥ = {u € E | u ⊥ v pt v € E}
Dimension de F⊥
Si dim E = n et dim F = p alors dim F⊥ = n-p
car E = F ⊕ F⊥
Si x=Σxiei et y=Σyiei avec (e1…en) bon de E eve alors :
(x|y) = Σxi*yi
||x|| =
x=
Σxi*yi
racine (Σxi²)
Σ(ei|xi)ei
d(a,F) =
||a-y|| avec y projeté orthogonal de a sur F
Gram Schmidt
Il existe une unique base orthonormée de E vérifiant :
vect (e1…en) = vect (u1…un)
( ek | uk ) = 0
Adjoint d’un endomorphisme
f* est linéaire et s’appelle l’adjoint de f tq (f(x) | y) = (x| f*(y))
Matrice de l’adjoint de f : M(f*)=
transposé de la matrice de f
Endomorphismes autoadjoints
f est autoadjoint lorsque f = f*
cad (f(x) | y) = (x | f(y))
Matrice d’un endomorphismes autoadjoint
La matrice de f dans la bon est symétrique et M²=M et tM=M
Th. Spectral
Un endomorphisme autoadjoint est diagonalisable dans une bon.
Endomorphismes orthogonaux
f € L(E) est orthogonal ssi f € GL(E) et f* = f^-1
Une matrice M€ Mn(R) est orthogonale lorsque…
tMM = In
