Espaces Préhilbertiens

Question 1

Forme Bilinéaire Symétrique

Answer 1

f est une fbs si f(x,y)=f(y,x)

Question 2

Forme Quadratique

Answer 2

q(x) = f(x,x) avec f fbs

Question 3

q est une forme quadratique ssi…

Answer 3

(x,y) -> q(x+y) -q(x) - q(y) est bilinéaire symétrique.

Question 4

Forme polaire (f)

Answer 4

ker (q) = { x € E | f(x,y) = 0 pt y € E}

Question 5

q est une forme quadratique si…

Answer 5

c’est un polynôme homogène de degré 2 des coordonnées.

Question 6

Produit Scalaire

Answer 6

Une fbs définie positive sur un ev réel

Question 7

Espace Préhilbertien Réel

Answer 7

Un ev réel muni d’un produit scalaire

Question 8

Espace Euclidien

Answer 8

Un espace préhilbertien réel de dimension fini

Question 9

Cauchy-Bouniakorski-Schwarz

Answer 9

f fbs définie positive sur E ev réel.
| f(x,y) | ≤ racine ( f(x,x) * f(y,y) )
ou
| (x|y) | ≤ ||x|| * ||y||

Question 10

Norme Euclidienne

Answer 10

N: E -> R+ est une norme lorsque :

i) N(x) = 0 entraine x=0
ii) N(x+y) ≤ N(x) + N(y)
iii) N(λx) = |λ|*N(x)

Question 11

||x+y||² =

Answer 11

= ||x||² + ||y||² + 2(x|y)

Question 12

u et v sont orthogonaux lorsque :

Answer 12

(u|v) = 0

Question 13

Pythagore : u et v sont orthogonaux ssi

Answer 13

||u+v||² = ||u||² + ||v||²

Question 14

Famille orthogonale (ui) i €Z

Answer 14

famille de vecteurs de E orthogonaux 2 à 2

Question 15

Famille orthonormée

Answer 15

tous les vecteurs sont de norme 1

Question 16

2 sev sont en somme directe lorsque :

Answer 16

F⊥ = {u € E | u ⊥ v pt v € E}

Question 17

Dimension de F⊥

Answer 17

Si dim E = n et dim F = p alors dim F⊥ = n-p

car E = F ⊕ F⊥

Question 18

Si x=Σxiei et y=Σyiei avec (e1…en) bon de E eve alors :
(x|y) = Σxi*yi
||x|| =
x=

Answer 18

Σxi*yi
racine (Σxi²)
Σ(ei|xi)ei

Question 19

d(a,F) =

Answer 19

||a-y|| avec y projeté orthogonal de a sur F

Question 20

Gram Schmidt

Answer 20

Il existe une unique base orthonormée de E vérifiant :
vect (e1…en) = vect (u1…un)
( ek | uk ) = 0

Question 21

Adjoint d’un endomorphisme

Answer 21

f* est linéaire et s’appelle l’adjoint de f tq (f(x) | y) = (x| f*(y))

Question 22

Matrice de l’adjoint de f : M(f*)=

Answer 22

transposé de la matrice de f

Question 23

Endomorphismes autoadjoints

Answer 23

f est autoadjoint lorsque f = f*

cad (f(x) | y) = (x | f(y))

Question 24

Matrice d’un endomorphismes autoadjoint

Answer 24

La matrice de f dans la bon est symétrique et M²=M et tM=M

Question 25

Th. Spectral

Answer 25

Un endomorphisme autoadjoint est diagonalisable dans une bon.

Question 26

Endomorphismes orthogonaux

Answer 26

f € L(E) est orthogonal ssi f € GL(E) et f* = f^-1

Question 27

Une matrice M€ Mn(R) est orthogonale lorsque…

Answer 27

tMM = In