Algèbre Générale Flashcards

1
Q

Groupe G

A

Ensemble G muni d’une LCI noté * vérifiant:

    • est associative (Pt a,b,c € G, a(bc) = (ab)c
  • admet un neutre e (ae=ea)
  • tout élément possède un symétrique (xx’=x’x=e)
How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
2
Q

Sous groupe H

A
  • H non vide
  • H stable par * (x*y € H)
  • le symétrique de tout élément de H appartient à H
How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
3
Q

Caractérisation des sous groupes

A
  • H non vide

- x*y^-1 € H

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
4
Q

Groupe produit entre (G1,*) et (G2,#)

A

G= G1 x G2
Pour x=(x1,x2) , y=(y1,y2) € G
xTy = (x1*y1 , x2 # y2)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
5
Q

Morphisme de groupe avec f application de (G1,*) et (G2,#)

A

Pt x,y € G

f(x*y) = f(x) # f(y)

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
6
Q

isomorphisme

A

morphisme bijectif

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
7
Q

endomorphisme

A

morphisme de G dans G

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
8
Q

automorphisme

A

morphisme bijectif de G dans G

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
9
Q

Noyau d’un morphisme f de G dans G’

A

Ker f = {x € G | f(x) = e’ }

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
10
Q

Soit f morphisme de G dans G’

f est injective ssi …

A

ker (f) = e

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
11
Q

Les sous groupes de Z sont les :

A

nZ = {nk | k € Z}

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
12
Q

R est réflexive lorsque :

A

x R x pour tout x € E

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
13
Q

R est symétrique lorsque :

A

Pt x,y € E, x R y => y R x

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
14
Q

R est transitive lorsque :

A

x R y et y R z => x R z

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
15
Q

R est d’équivalence lorsque :

A

réflexive, symétrique, transitive,

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
16
Q

relation Rn sur Z tq :

A

a Rn b ssi b-a € nZ

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
17
Q

Gr (A) =

A

le plus petit sous groupe qui contient A

C’est le sous groupe engendré par A

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
18
Q

groupe monogène :

A

groupe engendré par un seul élément appelé générateur

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
19
Q

groupe cyclique

A

groupe monogène fini

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
20
Q

générateurs de Z/nZ

A

les k- avec k ^ n = 1

How well did you know this?
1
Not at all
2
3
4
5
Perfectly
21
Q

Groupe symétrique (Sn, °)

A

ensemble des bijections de {1,…,n} dans lui même

22
Q

ordre et signature d’un k-cycle

A

ordre : k

signature : (-1)^(k-1)

23
Q

GL(E)

GLn(K)

A

groupe linéaire
ensemble des endomorphismes bijectifs de E

Ensemble des matrices inversibles (n,n) à coefficients dans K

24
Q

O(E)

A

Groupe orthogonal
Ses éléments s’appellent des endomorphismes orthogaunaux
O(E) = {f € L(E) | ||f(x)|| = ||x|| pour tout x € E}

25
SO(E)
Groupe spécial orthogonal Ses éléments s'appellent des rotations SO(E) = {f € O(E) | det f = 1 }
26
Anneau A
Ensemble A muni de LCI + et x vérifiant : - (A,+) est un groupe commutatif - x est associative - x possède un neutre - x distributif sur +
27
U(A)
Enseble des éléments inversibles
28
U(Z) =
U(Z) = {-1, 1}
29
U(L(E)) =
Gl(E)
30
U(Mn(K)) =
Gln(K)
31
sous anneaux B de A
- -1(A) € B | - B stable pour + et x
32
Morphisme d'anneau pour une application f de (A,+,x) dans (B,+,x)
- Pt (x,y) € A² , f(x + y) = f(x) + f(y) - Pt (a,b) € A² , f(a x b) = f(a) x f(b) - f(1A) = 1B
33
Corps
anneau commutatif non nul dans lequel tout élément non nul est inversible
34
Idéaux I d'un anneau commutatif A
- (I,+) sous groupe de (A,+) | - Pt (x,y) € A² , f(x+y) = f(x) + f(y)
35
Caractérisation des idéaux
- I non vide - I stable par + - Pt (x,y) € A² , f(x+y) = f(x) + f(y)
36
Idéal maximal de A
c'est un idéal I différent de A vérifiant I c J c A alors I = J ou J = A
37
Anneau intègre
Anneau commutatif vérifiant ab = OA a = OA ou b = OA
38
Espace Vectoriel
``` Un ensemble muni d'une lce et d'une lce de KxE dans E, où K designe un corps commutatif est un ev lorsque : i) (E,+) est un groupe commutatif ii) La lce (λ,x) -> λ.x vérifie : λ(x+y)=λx+λy (λ+µ)x=λx + µx (λµ)x=λ(µx) 1x = x ```
39
Sous espace vectoriel
F est un sev de E si: i) x+y € F ii) λx € F iii) F non vide
40
Famille libre
La famille (xi) est libre si Σ λi*xi = 0 => λi=0
41
Famille génératrice
La famille (ei) est génératrice si tout élément x € E est CL de (ei)
42
Base
famille libre et génératrice
43
Somme directe
si pour tout k, Fk inter somme des Fi = {0}
44
Espaces supplémentaires
F et G sont supplémentaires lorsque la somme F + G est directe et égale à E.
45
dim (F+G)
dim (F) + dim (G) + dim (F inter G)
46
Hyperplan
H est un hyperplan de E lorsque H est un sev de codimension 1. Un sev H (de dim n-1) de E (dim n) est un hyperplan s'il est le noyau d'une forme linéaire non nulle.
47
Espace dual
L'espace E*=L(E,K) des formes linéaires sur E s'appelle le dual de E
48
Matrices équivalentes
A et B sont équivalentes si B=Q^-1 A P
49
Matrices semblables
A et B sont semblables si B=P^-1 A P
50
Deux matrices semblables ont..
la même trace.
51
A et B sont équivalentes ssi
rg A = rg B