Algèbre Générale Flashcards
Groupe G
Ensemble G muni d’une LCI noté * vérifiant:
- est associative (Pt a,b,c € G, a(bc) = (ab)c
- admet un neutre e (ae=ea)
- tout élément possède un symétrique (xx’=x’x=e)
Sous groupe H
- H non vide
- H stable par * (x*y € H)
- le symétrique de tout élément de H appartient à H
Caractérisation des sous groupes
- H non vide
- x*y^-1 € H
Groupe produit entre (G1,*) et (G2,#)
G= G1 x G2
Pour x=(x1,x2) , y=(y1,y2) € G
xTy = (x1*y1 , x2 # y2)
Morphisme de groupe avec f application de (G1,*) et (G2,#)
Pt x,y € G
f(x*y) = f(x) # f(y)
isomorphisme
morphisme bijectif
endomorphisme
morphisme de G dans G
automorphisme
morphisme bijectif de G dans G
Noyau d’un morphisme f de G dans G’
Ker f = {x € G | f(x) = e’ }
Soit f morphisme de G dans G’
f est injective ssi …
ker (f) = e
Les sous groupes de Z sont les :
nZ = {nk | k € Z}
R est réflexive lorsque :
x R x pour tout x € E
R est symétrique lorsque :
Pt x,y € E, x R y => y R x
R est transitive lorsque :
x R y et y R z => x R z
R est d’équivalence lorsque :
réflexive, symétrique, transitive,
relation Rn sur Z tq :
a Rn b ssi b-a € nZ
Gr (A) =
le plus petit sous groupe qui contient A
C’est le sous groupe engendré par A
groupe monogène :
groupe engendré par un seul élément appelé générateur
groupe cyclique
groupe monogène fini
générateurs de Z/nZ
les k- avec k ^ n = 1
Groupe symétrique (Sn, °)
ensemble des bijections de {1,…,n} dans lui même
ordre et signature d’un k-cycle
ordre : k
signature : (-1)^(k-1)
GL(E)
GLn(K)
groupe linéaire
ensemble des endomorphismes bijectifs de E
Ensemble des matrices inversibles (n,n) à coefficients dans K
O(E)
Groupe orthogonal
Ses éléments s’appellent des endomorphismes orthogaunaux
O(E) = {f € L(E) | ||f(x)|| = ||x|| pour tout x € E}
SO(E)
Groupe spécial orthogonal
Ses éléments s’appellent des rotations
SO(E) = {f € O(E) | det f = 1 }
Anneau A
Ensemble A muni de LCI + et x vérifiant :
- (A,+) est un groupe commutatif
- x est associative
- x possède un neutre
- x distributif sur +
U(A)
Enseble des éléments inversibles
U(Z) =
U(Z) = {-1, 1}
U(L(E)) =
Gl(E)
U(Mn(K)) =
Gln(K)
sous anneaux B de A
- -1(A) € B
- B stable pour + et x
Morphisme d’anneau pour une application f de (A,+,x) dans (B,+,x)
- Pt (x,y) € A² , f(x + y) = f(x) + f(y)
- Pt (a,b) € A² , f(a x b) = f(a) x f(b)
- f(1A) = 1B
Corps
anneau commutatif non nul dans lequel tout élément non nul est inversible
Idéaux I d’un anneau commutatif A
- (I,+) sous groupe de (A,+)
- Pt (x,y) € A² , f(x+y) = f(x) + f(y)
Caractérisation des idéaux
- I non vide
- I stable par +
- Pt (x,y) € A² , f(x+y) = f(x) + f(y)
Idéal maximal de A
c’est un idéal I différent de A vérifiant I c J c A alors I = J ou J = A
Anneau intègre
Anneau commutatif vérifiant ab = OA a = OA ou b = OA
Espace Vectoriel
Un ensemble muni d'une lce et d'une lce de KxE dans E, où K designe un corps commutatif est un ev lorsque : i) (E,+) est un groupe commutatif ii) La lce (λ,x) -> λ.x vérifie : λ(x+y)=λx+λy (λ+µ)x=λx + µx (λµ)x=λ(µx) 1x = x
Sous espace vectoriel
F est un sev de E si:
i) x+y € F
ii) λx € F
iii) F non vide
Famille libre
La famille (xi) est libre si Σ λi*xi = 0 => λi=0
Famille génératrice
La famille (ei) est génératrice si tout élément x € E est CL de (ei)
Base
famille libre et génératrice
Somme directe
si pour tout k, Fk inter somme des Fi = {0}
Espaces supplémentaires
F et G sont supplémentaires lorsque la somme F + G est directe et égale à E.
dim (F+G)
dim (F) + dim (G) + dim (F inter G)
Hyperplan
H est un hyperplan de E lorsque H est un sev de codimension 1.
Un sev H (de dim n-1) de E (dim n) est un hyperplan s’il est le noyau d’une forme linéaire non nulle.
Espace dual
L’espace E*=L(E,K) des formes linéaires sur E s’appelle le dual de E
Matrices équivalentes
A et B sont équivalentes si B=Q^-1 A P
Matrices semblables
A et B sont semblables si B=P^-1 A P
Deux matrices semblables ont..
la même trace.
A et B sont équivalentes ssi
rg A = rg B
