Algèbre Générale

Question 1

Groupe G

Answer 1

Ensemble G muni d’une LCI noté * vérifiant:

• • est associative (Pt a,b,c € G, a(bc) = (ab)c
• admet un neutre e (ae=ea)
• tout élément possède un symétrique (xx’=x’x=e)

Question 2

Sous groupe H

Answer 2

• H non vide
• H stable par * (x*y € H)
• le symétrique de tout élément de H appartient à H

Question 3

Caractérisation des sous groupes

Answer 3

• H non vide

- x*y^-1 € H

Question 4

Groupe produit entre (G1,*) et (G2,#)

Answer 4

G= G1 x G2
Pour x=(x1,x2) , y=(y1,y2) € G
xTy = (x1*y1 , x2 # y2)

Question 5

Morphisme de groupe avec f application de (G1,*) et (G2,#)

Answer 5

Pt x,y € G

f(x*y) = f(x) # f(y)

Question 6

isomorphisme

Answer 6

morphisme bijectif

Question 7

endomorphisme

Answer 7

morphisme de G dans G

Question 8

automorphisme

Answer 8

morphisme bijectif de G dans G

Question 9

Noyau d’un morphisme f de G dans G’

Answer 9

Ker f = {x € G | f(x) = e’ }

Question 10

Soit f morphisme de G dans G’

f est injective ssi …

Answer 10

ker (f) = e

Question 11

Les sous groupes de Z sont les :

Answer 11

nZ = {nk | k € Z}

Question 12

R est réflexive lorsque :

Answer 12

x R x pour tout x € E

Question 13

R est symétrique lorsque :

Answer 13

Pt x,y € E, x R y => y R x

Question 14

R est transitive lorsque :

Answer 14

x R y et y R z => x R z

Question 15

R est d’équivalence lorsque :

Answer 15

réflexive, symétrique, transitive,

Question 16

relation Rn sur Z tq :

Answer 16

a Rn b ssi b-a € nZ

Question 17

Gr (A) =

Answer 17

le plus petit sous groupe qui contient A

C’est le sous groupe engendré par A

Question 18

groupe monogène :

Answer 18

groupe engendré par un seul élément appelé générateur

Question 19

groupe cyclique

Answer 19

groupe monogène fini

Question 20

générateurs de Z/nZ

Answer 20

les k- avec k ^ n = 1

Question 21

Groupe symétrique (Sn, °)

Answer 21

ensemble des bijections de {1,…,n} dans lui même

Question 22

ordre et signature d’un k-cycle

Answer 22

ordre : k

signature : (-1)^(k-1)

Question 23

GL(E)

GLn(K)

Answer 23

groupe linéaire
ensemble des endomorphismes bijectifs de E

Ensemble des matrices inversibles (n,n) à coefficients dans K

Question 24

O(E)

Answer 24

Groupe orthogonal
Ses éléments s’appellent des endomorphismes orthogaunaux
O(E) = {f € L(E) | ||f(x)|| = ||x|| pour tout x € E}

Question 25

SO(E)

Answer 25

Groupe spécial orthogonal
Ses éléments s’appellent des rotations
SO(E) = {f € O(E) | det f = 1 }

Question 26

Anneau A

Answer 26

Ensemble A muni de LCI + et x vérifiant :

• (A,+) est un groupe commutatif
• x est associative
• x possède un neutre
• x distributif sur +

Question 27

U(A)

Answer 27

Enseble des éléments inversibles

Question 28

U(Z) =

Answer 28

U(Z) = {-1, 1}

Question 29

U(L(E)) =

Answer 29

Gl(E)

Question 30

U(Mn(K)) =

Answer 30

Gln(K)

Question 31

sous anneaux B de A

Answer 31

• -1(A) € B

- B stable pour + et x

Question 32

Morphisme d’anneau pour une application f de (A,+,x) dans (B,+,x)

Answer 32

• Pt (x,y) € A² , f(x + y) = f(x) + f(y)
• Pt (a,b) € A² , f(a x b) = f(a) x f(b)
• f(1A) = 1B

Question 33

Corps

Answer 33

anneau commutatif non nul dans lequel tout élément non nul est inversible

Question 34

Idéaux I d’un anneau commutatif A

Answer 34

• (I,+) sous groupe de (A,+)

- Pt (x,y) € A² , f(x+y) = f(x) + f(y)

Question 35

Caractérisation des idéaux

Answer 35

• I non vide
• I stable par +
• Pt (x,y) € A² , f(x+y) = f(x) + f(y)

Question 36

Idéal maximal de A

Answer 36

c’est un idéal I différent de A vérifiant I c J c A alors I = J ou J = A

Question 37

Anneau intègre

Answer 37

Anneau commutatif vérifiant ab = OA a = OA ou b = OA

Question 38

Espace Vectoriel

Answer 38

Un ensemble muni d'une lce et d'une lce de KxE dans E, où K designe un corps commutatif est un ev lorsque :
i) (E,+) est un groupe commutatif
ii) La lce (λ,x) -> λ.x vérifie :
λ(x+y)=λx+λy
(λ+µ)x=λx + µx
(λµ)x=λ(µx)
1x = x

Question 39

Sous espace vectoriel

Answer 39

F est un sev de E si:

i) x+y € F
ii) λx € F
iii) F non vide

Question 40

Famille libre

Answer 40

La famille (xi) est libre si Σ λi*xi = 0 => λi=0

Question 41

Famille génératrice

Answer 41

La famille (ei) est génératrice si tout élément x € E est CL de (ei)

Question 42

Base

Answer 42

famille libre et génératrice

Question 43

Somme directe

Answer 43

si pour tout k, Fk inter somme des Fi = {0}

Question 44

Espaces supplémentaires

Answer 44

F et G sont supplémentaires lorsque la somme F + G est directe et égale à E.

Question 45

dim (F+G)

Answer 45

dim (F) + dim (G) + dim (F inter G)

Question 46

Hyperplan

Answer 46

H est un hyperplan de E lorsque H est un sev de codimension 1.
Un sev H (de dim n-1) de E (dim n) est un hyperplan s’il est le noyau d’une forme linéaire non nulle.

Question 47

Espace dual

Answer 47

L’espace E*=L(E,K) des formes linéaires sur E s’appelle le dual de E

Question 48

Matrices équivalentes

Answer 48

A et B sont équivalentes si B=Q^-1 A P

Question 49

Matrices semblables

Answer 49

A et B sont semblables si B=P^-1 A P

Question 50

Deux matrices semblables ont..

Answer 50

la même trace.

Question 51

A et B sont équivalentes ssi

Answer 51

rg A = rg B