Séance 2

Question 1

addition d’une matrice

Answer 1

si A = (aij ) et B=(bij) alors (A+B)ij = aij + bij

Question 2

multiplication par un scalaire de matrices de meme format

Answer 2

siA=(aij)etc∈Ralors(cA)ij =caij

Question 3

multiplication d’une matrice

Answer 3

A(m×p)B(p×n) = (AB)m×n ==a(i1)b(1j) +a(i2)b(2j) +…+a(ip)b(pj).

Question 4

vrai ou faux : une matrice carrée AB =BA

Answer 4

faux , les matrices ne sont pas forcement communicative donc il est faux de conclure que c’est le cas

Question 5

vrai ou faux : une matrice de meme format AB = AC donc il est vrai que B=C

Answer 5

faux , pas nécessairement la meme matrice

Question 6

quel est la transposée de A

Answer 6

A^T(ij) = a(ji)

Question 7

Qu’est ce qu’une matrice symétrique

Answer 7

une matrice carrée que sa transposée est égal a sa matrice normal donc A =A^T

Question 8

Qu’est ce qu’une matrice anti-symétrique

Answer 8

une matrice carrée que sa transposée est égal a la matrice du signe oposée de la matrice normal donc A^T = -A

Question 9

Qu’est ce que le théorème de Cayley

Answer 9

tout matrice carrée s’écrit de façon unique comme la somme d’une matrice symétrie et d’une matrice anti-symétrique A = 1/2 ( A + A^T ) + 1/2 ( A − A^T ) ,

Question 10

quel est la trace d’une matrice carrée

Answer 10

la somme de ses elements diagonaux

Question 11

quels sont les propriétés de la trace

Answer 11

• tr(I)=n si I est la matrice identit ́e d’ordre n ;
• Si A et B sont des matrices d’ordre n et c un scalaire r ́eel alors
  a) tr (A + B ) = tr (A) + tr (B ) ;
  b) tr(cA) = c tr(A);
  c) tr(AB) = tr(BA).
  Note : tr(AB) n’est pas egal tr(A)tr(B).

Question 12

quel est le théorème de compatibilité

Answer 12

implique que le système(AX = b) admet au moins une solutions (∀b ∈ Rm ⇐⇒)
1- b ∈ Vect{v1, v2, …, vn},
ou
2- les colonnes de A engendrent Rm (Vect{v1, v2, …, vn} = Rm)
ou
3- il existe un pivot dans chaque ligne de la matrice ́echelonn ́ee de A (m pivots exactement)

Question 13

qu’est ce qu’un vecteur linéairement indépendant

Answer 13

x1v1 +x2v2 +…+xnvn =0 qui admet la solution triviale x1=x2=xn=0 comme unique solution( la famille des vecteurs est dite libre )

Question 14

qu’est ce qu’un vecteur linéairement dependant

Answer 14

la solution n’est pas unique le système ax = 0 admet une infinite de solution(la famille des vecteurs est dite liées )

Question 15

vrai ou faux : Un ensemble de vecteurs qui contient le vecteur nul est linéairement dépendant

Answer 15

vrai : 0v1 +0v2 +…+ci0+…+0vn = 0

Question 16

vrai ou faux : Soit une famille de vecteurs v1, v2, …, vn de Rm. Si n > m alors la famille est li ́ee (les vecteurs sont lin ́eairement d ́ependants).

Answer 16

vrai

Question 17

qu’est ce qu’une matrice non-singulière

Answer 17

une matrice carrée inversible

Question 18

qu’est ce qu’une matrice inversible

Answer 18

elle existe si il y a une matrice carrée AC=CA = I on note A^-1

Question 19

quels sont les propriétés d’une matrice inverse

Answer 19

1) (A−1)−1 = A;
2) (AT )−1 = (A−1)T
3) Si A et B sont inversibles d’ordre n alors (AB)−1 = B−1A−1

Question 20

qu’est ce qu’une matrice élémentaire

Answer 20

une matrice élémentaire est une matrice carrée obtenue en faisant une seule operations élémentaire de ligne

Question 21

quest ce que la factorisation LU

Answer 21

a =LU
U = matrice échelonnée
L = operation élémentaire (-)

Question 22

L =

Answer 22

E32(−3)E31(−3)E21(−2)A = U ⇐⇒ A = LU,
avec L = (E32(−3)E31(−3)E21(−2))−1 = E21(2)E31(3)E32(3)

Question 23

quels sont les propriétés de la factorisation LU

Answer 23

1) La matrice carrée L est produite uniquement à partir de produits de matrices ́ élémentaires de type Eij(k) avec i > j. Ces dernières sont triangulaires inférieures avec des 1 sur la diagonale. C’est donc aussi le cas pour L.
2) L est inversible et L−1 est aussi triangulaire inférieure avec des 1 sur la diagonale.
3) Si A est une matrice carr ́ee (non n ́ecessairement inversible) alors on peut ́ecrire (similaire a la m ́ethode de passage a l’inverse) :
(A|I) ≃ (U|P) = (U|L−1). Cela permet de trouver L−1 et ensuite L.