Séance 2 Flashcards
addition d’une matrice
si A = (aij ) et B=(bij) alors (A+B)ij = aij + bij
multiplication par un scalaire de matrices de meme format
siA=(aij)etc∈Ralors(cA)ij =caij
multiplication d’une matrice
A(m×p)B(p×n) = (AB)m×n ==a(i1)b(1j) +a(i2)b(2j) +…+a(ip)b(pj).
vrai ou faux : une matrice carrée AB =BA
faux , les matrices ne sont pas forcement communicative donc il est faux de conclure que c’est le cas
vrai ou faux : une matrice de meme format AB = AC donc il est vrai que B=C
faux , pas nécessairement la meme matrice
quel est la transposée de A
A^T(ij) = a(ji)
Qu’est ce qu’une matrice symétrique
une matrice carrée que sa transposée est égal a sa matrice normal donc A =A^T
Qu’est ce qu’une matrice anti-symétrique
une matrice carrée que sa transposée est égal a la matrice du signe oposée de la matrice normal donc A^T = -A
Qu’est ce que le théorème de Cayley
tout matrice carrée s’écrit de façon unique comme la somme d’une matrice symétrie et d’une matrice anti-symétrique A = 1/2 ( A + A^T ) + 1/2 ( A − A^T ) ,
quel est la trace d’une matrice carrée
la somme de ses elements diagonaux
quels sont les propriétés de la trace
- tr(I)=n si I est la matrice identit ́e d’ordre n ;
- Si A et B sont des matrices d’ordre n et c un scalaire r ́eel alors
a) tr (A + B ) = tr (A) + tr (B ) ;
b) tr(cA) = c tr(A);
c) tr(AB) = tr(BA).
Note : tr(AB) n’est pas egal tr(A)tr(B).
quel est le théorème de compatibilité
implique que le système(AX = b) admet au moins une solutions (∀b ∈ Rm ⇐⇒)
1- b ∈ Vect{v1, v2, …, vn},
ou
2- les colonnes de A engendrent Rm (Vect{v1, v2, …, vn} = Rm)
ou
3- il existe un pivot dans chaque ligne de la matrice ́echelonn ́ee de A (m pivots exactement)
qu’est ce qu’un vecteur linéairement indépendant
x1v1 +x2v2 +…+xnvn =0 qui admet la solution triviale x1=x2=xn=0 comme unique solution( la famille des vecteurs est dite libre )
qu’est ce qu’un vecteur linéairement dependant
la solution n’est pas unique le système ax = 0 admet une infinite de solution(la famille des vecteurs est dite liées )
vrai ou faux : Un ensemble de vecteurs qui contient le vecteur nul est linéairement dépendant
vrai : 0v1 +0v2 +…+ci0+…+0vn = 0
vrai ou faux : Soit une famille de vecteurs v1, v2, …, vn de Rm. Si n > m alors la famille est li ́ee (les vecteurs sont lin ́eairement d ́ependants).
vrai
qu’est ce qu’une matrice non-singulière
une matrice carrée inversible
qu’est ce qu’une matrice inversible
elle existe si il y a une matrice carrée AC=CA = I on note A^-1
quels sont les propriétés d’une matrice inverse
1) (A−1)−1 = A;
2) (AT )−1 = (A−1)T
3) Si A et B sont inversibles d’ordre n alors (AB)−1 = B−1A−1
qu’est ce qu’une matrice élémentaire
une matrice élémentaire est une matrice carrée obtenue en faisant une seule operations élémentaire de ligne
quest ce que la factorisation LU
a =LU
U = matrice échelonnée
L = operation élémentaire (-)
L =
E32(−3)E31(−3)E21(−2)A = U ⇐⇒ A = LU,
avec L = (E32(−3)E31(−3)E21(−2))−1 = E21(2)E31(3)E32(3)
quels sont les propriétés de la factorisation LU
1) La matrice carrée L est produite uniquement à partir de produits de matrices ́ élémentaires de type Eij(k) avec i > j. Ces dernières sont triangulaires inférieures avec des 1 sur la diagonale. C’est donc aussi le cas pour L.
2) L est inversible et L−1 est aussi triangulaire inférieure avec des 1 sur la diagonale.
3) Si A est une matrice carr ́ee (non n ́ecessairement inversible) alors on peut ́ecrire (similaire a la m ́ethode de passage a l’inverse) :
(A|I) ≃ (U|P) = (U|L−1). Cela permet de trouver L−1 et ensuite L.
