Reduction Des Endomorphismes Et Des Matrices Carrées Flashcards
Valeur propre
- Soit λ€K. λ est valeur propre de f si il existe u appartenant à E privé de 0 tq f(u)=λu
- Soit λ appartenant à K. λ est valeur propre de A si l il existe X appartenant à l’ensemble des matrices colonnes d’ordre n privé de 0 tel que AX=λX
Vecteur propre
•Soit u appartenant à E privé de 0. u est un vecteur propre si il existe λ appartenant a K tq f(u)=λu
Dans ce cas, λ est unique et u est alors un vecteur propre associé à la valeur propre λ
•Soit X appartenant à l’ensemble des matrices colonnes privées de 0. X est vecteur propre de A si il existe λ appartenant à K, AX=λX. X est alors un vecteur propre de A associé à la valeur propre λ
Sous espace propre
Soit λ une valeur propre de f.
On appelle sous espace propre de f (resp. De A) associé à la valeur propre λ le sous espace vectoriel E(λ) de E (resp de Mn,1(K)) engendré par les vecteurs propres ( de A ) associés à λ et on a (juste pour l’endomorphisme):
E(λ)={u appartenant à E tq f(u)=λu}=ker(f-λid)
Spectre
On appelle spectre de f (resp de A), et on note Sp(f) (resp Sp(A)), l’ensemble des valeurs propres de f (Resp de A)
Si E est des dimensions finie, alors:
- f admet un nombre fini de valeurs propres,
- Ses sous espaces propres sont en somme directe et:
- la somme des dimensions des sous espaces propres est inférieure ou égale à E
Caractérisations (endomorphisme)
- Toute concaténation de familles libres de sous espaces propres de f associés à des valeurs propres distinctes forme une famille libre de E. En particulier, toute famille constituée de vecteurs propres de f associés à des valeurs propres distinctes est libre.
- Soit n un entier naturel non nul. Si E est des dimension n, alors f admet au plus n valeurs propres distinctes.
- Soient P appartenant à K[X] et λ appartenant à K. Si λ est valeur propre de f et si u est un vecteur propre de f associé à la valeur propre λ, alors P(λ) est une valeur propre de P(f) et u est un vecteur propre de P(f) associé à la valeur propre P(λ).
- Soient P appartenant à K[X] et λ appartenant à K. Si P est un polynôme annulateur de f et si λ est une valeur propre de f, alors λ est racine de P, ie: toutes les valeurs propres de f sont racines de P (la réciproque est fausse)
Caractérisations (matrices)
- A admet au plus n valeurs propres distinctes
- Soient P appartenant à K[X] et λ appartenant à K. Si λ est vp de A et X est un vp de A associé à la vp λ alors P(λ) est vp de P(A) et X est un vp de P(A) associé à la vp P(λ)
- Soient P appartenant à K[X] et λ appartenant à K. Si P est un polynôme annulateur de A et si λ est une valeur propre de A, alors λ est racine de P, ie: toutes les valeurs propres de A sont racines de P (la réciproque est fausse)
Lien entre endomorphisme et matrices carrées
- λ est vp de f si et seulement si λ est vp de A.
- u est vecteur propre de f si et seulement si le vecteur X représentant u dans la base B (base de E) est vecteur propre de A (A étant la matrice représentative de l’endomorphisme f dans la base B)
- f est diagonalisable si et seulement si A est diagonalisable
Endomorphisme diagonalisable
- f est diagonalisable s’il existe une base de E dans laquelle la matrice représentative de f est diagonale.
- f est diagonalisable si et seulement si il existe une base de E constituée de vecteurs propres de f.
- f est diagonalisable :
- si et seulement si la somme directe des sous espaces propres est égale à E ie:
- si et seulement si la somme des dimensions des sous espaces propres est égale à la dimension de E.
• si E est de dimension n et si f admet n valeurs propres distinctes, alors f est diagonalisable et tous ses sous espaces propres sont de dimension 1 (la réciproque est fausse).
Matrices diagonalisables
- A est diagonalisable si A est semblable à une matrice diagonale
- A est diagonalisable si il existe une base de Mn,1(K) constituée de vecteurs propres de A
- A est diagonalisable si et seulement si il existe une matrice P inversible telle que P^(-1)AP soit diagonale ie: si et seulement si il existe une matrice diagonale D appartenant à Mn(K) et une matrice P appartenant à GLn(K) telle que A=PDP^(-1) (P est alors la matrice de passage de la base canonique de Mn,1(K) à une base de Mn,1(K) constituée de vecteurs propres de A)
- A est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions des sous espaces propres est égale à n.
- Si A admet n valeurs propres distinctes, alors A est diagonalisable, et tous ses sous espaces propres sont de dimension 1 ( la réciproque est fausse).
Diagonaliser une matrice carrée
Diagonaliser A revient à écrire A=PDP^(-1) où D est une matrice diagonale. Marche à suivre:
- recherche des valeurs propres de A (λ vp de A si il existe X appartenant à Mn,1(K) privé de 0 tel que (A-λI)X=0
- recherche des sous espaces propres de A pour chacune des valeurs propres, on détermine une base de l’espace E(λ) des vecteurs X différents de 0 tq (A-λI)X=0,
- si la somme des dimensions des sous espaces propres de A est égale à n (et en particulier, si A admet n valeurs propres distinctes) alors A est diagonalisable.
- écriture de la matrice P dont les colonnes sont formées par concaténation des bases des sous espaces propres de A puis calcul de l’inverse de P
On peut alors conclure A=PDP^(-1)
Calcul des puissances d’une matrice carrée
Si A est diagonalisable, alors il existe une matrice D diagonale et P inversible tq A=PDP^(-1) d’où par récurrence immédiate: quelque soit n appartenant à N, A^n=PD^nP^(-1)
