Denombrement Flashcards
Formule de poincaré
Card(AUB)= Card(A)+Card(B)-Card(AnB)
Card(AUBUC)= Card(A)+Card(B)+Card(C)-Card(AnB)-Card(AnC)-Card(BnC)+Card(AnBnC)
Arrangements avec répétions
P-liste d’un ensemble à n éléments
On appelle p-liste d’éléments de E (ou arrangement avec répétition de p éléments d’un ensemble à n éléments) toute application de [|1,p|] dans E
Le nombre:
- d’arrangements avec répétitions de p éléments d’un ensemble à n éléments,
- de p-listes d’éléments d’un ensemble à n éléments,
- de suites de p éléments d’un ensemble à n éléments,
- d’applications d’un ensemble à p éléments dans un ensemble à n éléments,
Est égal à : n^p
Modèle : tirages successifs de p éléments parmi n avec remise (les éléments sont ordonnés et non forcément distincts).
p-listes d’éléments distincts d’un ensemble à n éléments (arrangements sans répétition)
Définition : On appelle p-liste d’léments distincts de E (ou arrangement sans répétition de p éléments
d’un ensemble à n eléments), toute injection de [|1,p|] dans E.
• Le nombre :
- d’arrangements sans répétition de p éléments d’un ensemble à n éléments, i.e.:
- de p-listes d’eléments distincts d’un ensemble à n éléments, i.e. :
- de suites de p eléments distincts d’un ensemble à n éléments, i.e. :
- d’injections d’un ensemble à p éléments dans un ensemble à n éléments,
est égal à: n!/(n-p)!
Par extension, ce résultat demeure valable si n =0 ou p=0.
Par convention, si p> n, on considère que ce nombre est égal à 0.
.
Modèle : Tirages successifs de p éléments parmi n sans remise (les éléments sont ordonnés et distincts).
Permutations d’un ensemble à n éléments
Soient n un entier naturel non nul, et E un ensemble de cardinal n.
Définition : On appelle permutation de E, toute bijection σ de E vers lui-même.
Par eremple, (1,3, 4, 5, 2) est une permutation de [|1, 5|].
• Le nombre:
-de permutations d’un ensemble à n éléments, i.e:
- de n-listes d’éléments distincts d’un ensemble à n éléments, i.e.:
- de suites de n éléments distincts d’un ensemble à n éléments, i.e.:
- de bijections d’un ensemble à n éléments,
est égal à : n!.
Par extension, ce résultat demeure valable si n 0.
Modėle : Tirages successifs de n éléments parmi n sans remise (les éléments sont ordonnés et distincts).
C’est le cas particulier, lorsque p = n, du modèle précédent.
Combinaisons
Parties à p éléments d’un ensemble à n éléments (combinaisons sans répétition)
Soient n et p deux entiers naturels non nuls tels que p n, on pose p parmi n égale 0.
• Modèle : Tirage simultané de p éléments parmi n (les éléments sont non ordonnés et distincts)
Parties d’un ensemble à n éléments
Le nombre de parties d’un ensemble à n éléments est égal à : 2^n
Formule de symétrie
p parmi n = n-p parmi n
Petite formule
p parmi n = n/p p-1 parmi n-1
Formule de pascal
p-1 parmi n-1 + p parmi n-1 = p parmi n
Comment déterminer le nombre d’anagrammes d’un mot (c’est a dire le nombre de façons de placer différents objets - chacun d’entre eux pouvant être présent sous la forme de plusieurs exemplaires indiscernables -, dans des emplacements discernables, à raison d’un par emplacement)
Il faut, lettre après lettre ( ou objet après objet), déterminer le nombre p de ses représentants, ainsi que le nombre n d’emplacements (encore) disponible pour ces derniers.
Il y a alors p parmi n façons de placer les p représentants de cette lettre (ou de cet objet).
Cardinal d’un ensemble dont les différents éléments sont formés d’objets pouvant apparaître dans n’importe quel ordre
Est égal au cardinal de cet ensemble lorsque ses différents éléments sont formés d’objets apparaissant dans un ordre donné, multiplié par le nombre de façons d’ordonner ces objets.
Les objets indiscernables
Lorsque des objets sont indiscernables, il n’y a toujours qu’une seule façon d’en choisir, numéroter, ordonner, placer, ranger, trier, tirer… un certain nombre d’entre eux, que ces objets doivent être ordonnés ou non, distincts ou non (comme ils sont indiscernables, il n’y a aucune différence entre eux du point de vue de l’expérimentateur, donc aucune différence dans le résultat final quelque soient les objets choisis).
Nombre de partitions en paires d’un ensemble de cardinal 2n
Le nombre de partitions en paires d’un ensemble de cardinal 2n est égal à: (2n)!/((2^n)n!)
