Préli Flashcards
Proposition
Énoncé vrai ou faux
Connecteurs logiques
Et, ou, non
Implication
Équivalence
Quantificateurs
Universel
Existentiel
Existentiel unique
Condition nécessaire et suffisante
Soit A et B deux propositions. Si A=>B, on dit alors que A est une condition suffisante pour B, et B est une condition nécessaire pour A; et si A<=>B alors A et B sont des conditions nécessaires et suffisantes l’une pour l’autre.
Réciproque
Soient A et B deux propositions. Les propositions A=>B et B=>A sont dites réciproques l’une de l’autre (si A=>B est la proposition directe, on dit alors que B=>A est sa proposition réciproque)
Contraposée
Soient A et B deux propositions. Les propositions A=>B et nonB=>nonA sont dites contraposées l’une de l’autre, et on a équivalence entre les deux
Le raisonnement par déduction
Le raisonnement par déduction consiste à procéder par implications successives, en utilisant les définitions, propriétés, et théorèmes du cours, les hypothèses de l’énoncé ainsi que les résultats des questions précédentes. Pour ce faire, il se peut qu’au cours de la démonstration, il faille différencier plusieurs cas de figure et procéder par déduction dans chacun d’entre eux
Le raisonnement par contraposition
Une proposition et sa contraposée étant équivalentes, le raisonnement par contraposition consiste, pour démontrer qu’une proposition A=>B est vrai, à montrer que sa contraposée nonB=>nonA est vraie.
Le raisonnement par analyse synthèse
Le raisonnement par analyse synthèse est souvent utilisé pour démontrer l’existence et l’unicité d’un objet mathématique vérifiant certaines propriétés. Ce raisonnement s’effectue en deux temps :
- l’analyse: on suppose l’existence de cet objet et on détermine les conditions nécessaires qu’il doit vérifier ; ou démontrer alors que, s’il existe, il est nécessairement égal à un certain objet O° (ce qui démontre l’unicité)
- la synthèse : on considère l’objet O° identifié à l’étape précédente, et on vérifie qu’il possède bien les propriétés désirées (ce qui démontre l’unicité)
Le raisonnement par l’absurde
Le raisonnement par l’absurde consiste, pour démontrer qu’une proposition A est vrai, à supposer tout d’abord que A est fausse, puis en procédant par déduction, à aboutir à une conclusion contraire à une des hypothèses ou à une conclusion absurde, ce qui achève de démontrer que A est vraie.
Élément, ensemble
Un ensemble est un groupement non ordonné d’objets distincts, appelés éléments
Ensemble vide
Soit E un ensemble. On dit que E est vide s’il ne possède aucun élément
Inclusion
Sous ensemble
Partie
F est inclus dans E, si tout élément de F est un élément de E. On dit alors que F est un sous ensemble ou une partie de E
Égalité
E=F si E est inclus dans F et F est inclus dans E
Ensemble dénombrable
E est dénombrable s’il existe une injection de E vers N:
Si E est vide ou s’il existe une bijection de E vers l’ensemble [|1,n|], on dit que E est un ensemble fini
Si il existe une bijection de E vers N on dit que E est infini dénombrable
Partition d’un ensemble
Ω un ensemble Les Ai forment une partition de Ω si Les Ai sont non vides Ils sont deux a deux disjoints Leur union forme Ω
