Dénombrement HP

Question 1

Formule de Pascal itérée

Answer 1

Quelque soit (n,p) un couple entier naturel tel que n inférieure ou égal à p, on a

Somme pour k allant de n a p des k parmi n = n+1 parmi p+1

Autre formulation:

Somme pour k allant de 0 a p des n parmi n+k = n+1 parmi n+p+1

Question 2

Calculer une somme comprenant un seul coefficient binomial:

Answer 2

• Si la variable de sommation est «en bas» du coefficient binomial, il faut voir la formule du binôme de newton et éventuellement quelques variantes
• si la variable de sommation est «en haut» du coefficient binomial, il faut voir la formule de pascal itérée
• si le coefficient binomial est multiplié par une fonction polynôme de la variable de sommation, il faut voir la petite formule ou l’une de ses généralisations

Question 3

k parmi n fois p-k parmi n-k

Answer 3

= p parmi n fois k parmi p

Question 4

Somme pour k allant de 0 à n des k parmi n fois p-k parmi n-k

Avec p inférieur ou égal à n

Answer 4

= 2^p fois p parmi n

Question 5

Formule de vandermonde

Answer 5

Somme pour k allant de 0 à n des k parmi p fois n-k parmi q = n parmi p+q

Question 6

Somme pour k allant de 0 à n des k parmi n au carré

Answer 6

Faut utiliser la formule de vandermonde avec p=q=n

Ça vaut n parmi 2n