Algèbre Bilinéaire Flashcards
Produit scalaire
φ est un produit scalaire euclidien sur E si φ est une application de E^2 dans R tq:
- L’application est bilinéaire
- l’application est symétrique
- l’application est positive
- l’application est définie
On dit alors que φ est une forme bilinéaire symétrique, définie, et positive et on note :
Quelque soit (u,v) appartenant à E^2, φ(u,v)=<u>=<u>=(u|v)=u•v</u></u>
Propriété du produit scalaire
Quelque soit u appartenant à E, <u>=<0,u>=0</u>
Bilinéarité du produit scalaire avec les sommes et tout</u>
Norme euclidienne
Soient E un R-ev, f un produit scalaire sur E.
On appelle norme euclidienne associée au produit scalaire f, l’application N de E définie dans R par: quelque soit u appartenant à E, N(u)=racine(f(u,u)) et on note : N(u)=||u||
u est dit normé si ||u||=1
Propriétés de la norme
Quelque soit u appartenant à E:
- la norme est positive (large)
- ||u||=0 <=> u=0
- quelque soit λ un réel, ||λu||=|λ| ||u||
- ||u+v||^2=||u||^2 + 2<u> + ||v||^2</u>
- <u>=1/2[ ||u+v||^2 - ||u||^2 - ||v||^2 ]</u>
- si u n’est pas nul, alors u/||u|| est un vecteur normé</u></u>
Produit scalaire canonique sur R^n
E= R^n
F une application de E^2 dans R def par quelque soit (x,y) appartenant à E^2, f(x,y)= somme pour k allant de 1 à n des x(indice k) fois y (indice k)
Sa norme euclidienne est l’application N def sur E par:
Quel que soit x appartenant à E (x étant un n-uplet) => N(x)= racine (de la sommes des (x(indicie k) au carré))
Produit scalaire canonique de Mn,1(R)
E=Mn,1(R)
L’application f de E^2 dans R def par:
X et Y deux matrices colonnes de E => f(X,Y)=somme pour k allant de 1 à n des x(indice k)y(indice k)=transposée de X fois Y=transposée de Y fois X est appelé produit scalaire canonique de Mn,1(R)
La norme euclidienne associée à f est l’application N def sur E par:
Quel que soit X une matrice colonne de Mn,1(R), on a N(X)= racine (de la somme des (x(indice k) au carré) )
Produit scalaire sur l’ev des fonctions continues de [a,b] dans R qu’on note E
F qui va de E^2 dans R def par:
Quel que soit g et h appartenant à E, f(g,h)= intégrale de a à b de g(t)h(t)dt est le produit scalaire sur E
La norme euclidienne associée à f est l’application N def sur E par:
Quel que soit g appartenant à E, N(f)= racine de (l’intégrale de a à b des (f carrés))
Inégalité de cauchy schwarz
u et v deux vecteurs de E (un R-ev)
|<u>| inférieur ou égale à ||u|| ||v||</u>
On a l’égalité dans le cas où la famille (u,v) est liée</u>
Conséquences de l’inégalité de cauchy schwarz
- Norme de u+v est inférieure ou égale à la norme de u + la norme de v (c’est l’inégalité trianglaire)
- le carré de la somme des xk fois yk est inférieure ou égale au produit des sommes xk au carré et yk au carré
- même chose version intégrale au lieu des sommes
Vecteur orthogonaux
u et v sont orthogonaux et on note
u_|_v si <u>=0</u>
Théorème de pythagore
u et v sont orthogonaux si et seulement si norme carré de u+v est égale à norme carré de u + norme carré de v
Famille orthogonale
La famille de vecteurs de E est une famille orthogonale de E si tous les vecteurs sont deux à deux orthogonaux
Famille orthonormale (ou orthonormée)
•On dit que la famille est une famille orthonormale (ou orthonormée) si c’est une famille de vecteurs normés de E ie:
Quel que soit (i,j) appartenant aux entiers de 1 à n, <u>= 1 si i=j et 0 sinon</u>
•toute famille finie orthogonale de vecteurs non nuls, et en particulier toute famille finie orthonormale, est libre.</u>
Procédé d’orthonormalisation de schmidt
Regarde le cours c’est bien chaud mais tranquille t’es un boss tu peux tout baiser
Sous espaces orthogonaux
F et G sont deux sev de E
•F et G sont orthogonaux et on note F_|G si quel que soit u appartenant à F et v appartenant à G, u|v
•F=vect des ui et G=vect des vj, F et G sont orthogonaux si et seulement si ui|_vj
• si F et G sont deux sev orthogonaux de E, alors F inter G ={0}