Algèbre Bilinéaire Flashcards
Produit scalaire
φ est un produit scalaire euclidien sur E si φ est une application de E^2 dans R tq:
- L’application est bilinéaire
- l’application est symétrique
- l’application est positive
- l’application est définie
On dit alors que φ est une forme bilinéaire symétrique, définie, et positive et on note :
Quelque soit (u,v) appartenant à E^2, φ(u,v)=<u>=<u>=(u|v)=u•v</u></u>
Propriété du produit scalaire
Quelque soit u appartenant à E, <u>=<0,u>=0</u>
Bilinéarité du produit scalaire avec les sommes et tout</u>
Norme euclidienne
Soient E un R-ev, f un produit scalaire sur E.
On appelle norme euclidienne associée au produit scalaire f, l’application N de E définie dans R par: quelque soit u appartenant à E, N(u)=racine(f(u,u)) et on note : N(u)=||u||
u est dit normé si ||u||=1
Propriétés de la norme
Quelque soit u appartenant à E:
- la norme est positive (large)
- ||u||=0 <=> u=0
- quelque soit λ un réel, ||λu||=|λ| ||u||
- ||u+v||^2=||u||^2 + 2<u> + ||v||^2</u>
- <u>=1/2[ ||u+v||^2 - ||u||^2 - ||v||^2 ]</u>
- si u n’est pas nul, alors u/||u|| est un vecteur normé</u></u>
Produit scalaire canonique sur R^n
E= R^n
F une application de E^2 dans R def par quelque soit (x,y) appartenant à E^2, f(x,y)= somme pour k allant de 1 à n des x(indice k) fois y (indice k)
Sa norme euclidienne est l’application N def sur E par:
Quel que soit x appartenant à E (x étant un n-uplet) => N(x)= racine (de la sommes des (x(indicie k) au carré))
Produit scalaire canonique de Mn,1(R)
E=Mn,1(R)
L’application f de E^2 dans R def par:
X et Y deux matrices colonnes de E => f(X,Y)=somme pour k allant de 1 à n des x(indice k)y(indice k)=transposée de X fois Y=transposée de Y fois X est appelé produit scalaire canonique de Mn,1(R)
La norme euclidienne associée à f est l’application N def sur E par:
Quel que soit X une matrice colonne de Mn,1(R), on a N(X)= racine (de la somme des (x(indice k) au carré) )
Produit scalaire sur l’ev des fonctions continues de [a,b] dans R qu’on note E
F qui va de E^2 dans R def par:
Quel que soit g et h appartenant à E, f(g,h)= intégrale de a à b de g(t)h(t)dt est le produit scalaire sur E
La norme euclidienne associée à f est l’application N def sur E par:
Quel que soit g appartenant à E, N(f)= racine de (l’intégrale de a à b des (f carrés))
Inégalité de cauchy schwarz
u et v deux vecteurs de E (un R-ev)
|<u>| inférieur ou égale à ||u|| ||v||</u>
On a l’égalité dans le cas où la famille (u,v) est liée</u>
Conséquences de l’inégalité de cauchy schwarz
- Norme de u+v est inférieure ou égale à la norme de u + la norme de v (c’est l’inégalité trianglaire)
- le carré de la somme des xk fois yk est inférieure ou égale au produit des sommes xk au carré et yk au carré
- même chose version intégrale au lieu des sommes
Vecteur orthogonaux
u et v sont orthogonaux et on note
u_|_v si <u>=0</u>
Théorème de pythagore
u et v sont orthogonaux si et seulement si norme carré de u+v est égale à norme carré de u + norme carré de v
Famille orthogonale
La famille de vecteurs de E est une famille orthogonale de E si tous les vecteurs sont deux à deux orthogonaux
Famille orthonormale (ou orthonormée)
•On dit que la famille est une famille orthonormale (ou orthonormée) si c’est une famille de vecteurs normés de E ie:
Quel que soit (i,j) appartenant aux entiers de 1 à n, <u>= 1 si i=j et 0 sinon</u>
•toute famille finie orthogonale de vecteurs non nuls, et en particulier toute famille finie orthonormale, est libre.</u>
Procédé d’orthonormalisation de schmidt
Regarde le cours c’est bien chaud mais tranquille t’es un boss tu peux tout baiser
Sous espaces orthogonaux
F et G sont deux sev de E
•F et G sont orthogonaux et on note F_|G si quel que soit u appartenant à F et v appartenant à G, u|v
•F=vect des ui et G=vect des vj, F et G sont orthogonaux si et seulement si ui|_vj
• si F et G sont deux sev orthogonaux de E, alors F inter G ={0}
Espace euclidien
On appelle espace euclidien, tout R-ev de E, noté (E,) ou E, de dimension finie et muni d’un produit scalaire.
Base orthonormée
B est une base orthonormée de E (un espace euclidien de dimenion n) si B est une base et une famille orthonormée de E
Caractérisation des bases orthonormées
E un espace euclidien de dim n
•B est une base orthonormée de E si et seulement si B est une famille orthonormée de n vecteurs de E
Existence de bases orthonormées
Tout espace euclidien possède une base orthonormée
•soit e(indicie i) une base de E (un espace euclidien de dim n). La famille u(indice i) déduite de la famille e(indice i) par le procédé d’orthonormalisation de schmidt est une base orthonormée de E
Complétion d’une famille orthonormée en une base orthonormée
Toute famille orthonormée de E (un espace euclidien de dim n) peut être complétée en une base orthonormée de ouf
Coordonnées et norme d’un vecteur dans une base orthonormée
Va voir le cours c’est technique à réécrire
Expression matricielle du produit scalaire et de la norme euclidienne en une base orthonormée
Regarde le cours
Matrices orthogonales
Soit A appartenant à Mn(R)
•A est orthogonale si Transposée de A fois A = matrice identité ou si
A fois la transposée de A = matrice identité
- A est orthogonale si et seulement si A est inversible d’inverse transposée de A
- changement de base orthonormées, matrices orthogonales: la matrice de passage d’une base orthonormée de E dans une autre base orthonormée de E est une matrice orthogonale
Supplémentaire orthogonal d’un sev
Soit F un sev de E (un espace euclidien de dim n)
•supplementaire orthogonal d’un sev: On appelle Orthogonale de F l’ensemble def par {u appartenant à E, tel que quel que soit v appartenant à F, u_|_v}
L’orthogonal de F est alors un sev de E et l’orthogonal de l’orthogonal de F c’est F
•soit p un entier naturel non nul. Si F=vect(f(indice i))), alors u appartient à L’orthogonal de F si et seulement si quel que soit i appartenant à [|1,p|], u_|_f(indice i)
•F et l’orthogonal de F sont deux sous espaces supplémentaires de E
L’orthogonal de F est appelé le supplémentaire orthogonal de F dans E
•la concaténation d’une base orthonormée de F et d’une base orthonormée de L’orthogonal de F forme une base orthonormée de E
Endomorphisme symétrique
Soit f un endomorphisme de E
•On dit que f est symétrique si
Quel que soit (u,v) appartenant à E^2, =<u></u>
- soit e(indice i) (i allant de 1 à n) une base de E, F est Symétrique si et seulement si quel que soit (i,j) appartenant à [|1,n|], =
- f est symétrique si et seulement si sa matrice représentative dans une base orthonormée de E est symétrique (réelle), ie;
- si f est symétrique, alors sa matrice représentative dans toute base orthonormée de E est symétrique, et:
- s’il existe une base orthonormée de E dans laquelle la matrice représentative de f est symétrique, alors f est symétrique.
• si f est symétrique, et si F est un sous espace vectoriel de E stable par f, alors l’orthogonal de F est stable par f</u>
Projection orthogonale
Soit F un sev de E
On appelle projection orthogonale sur F, et on note p(ind.f), la projection sur F parallèlement à l’orthogonale de F.
Caractérisation du projeté orthogonal
•Soient F un sev de E et p(ind.f) la projection orthogonale sur F.
On a quel que soit x appartenant à E, y=p(ind.f)(x) équivalent à: y appartient à F ET (x-y) appartient à l’orthogonal de F
•soit p un projecteur de E. p est un projecteur orthogonal si et seulement si p est symétrique
Expression du projeté orthogonal dans une base orthonormée de F
Apprend ton cours negro et fais des exo
U the best so lets do it
Matrice d’une projection orthogonale dans une base orthonormée de F
Va voir le cours
Caractérisation par minimisation de la norme
A voir dans le cours
Minimisation de ||AX-B||
Soient n et p deux entiers naturels non nuls, A appartient à Mn,p(R) telle que rg(A) = p, et B appartient Mn,1(R). Il existe une unique matrice X appartenant à Mp,1(R) rendant minimal ||AX- B|| : c’est la solution de
l’équation (transposée de A)AX =AB.
Valeur propre
f un endomorphisme symétrique de E et A une matrice symétrique de Mn(R)
f (resp A) admet au moins une valeur propre réelle et toutes ses valeurs propres sont réelles
Vecteurs propres d’un endomorphisme symétrique
f un endomorphisme symétrique et A une matrice symétrique de Mn(R)
Les vecteurs propres de f associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux deux à deux, donc les sous-espaces propres de f sont orthogonaux deux à deux.
Vecteurs propres d’une matrice symétrique réelle
Les vecteurs propres de A associés à des valeurs
propres distinctes sont orthogonaux deux à deux pour le produit scalaire canonique de Mn,1(R), donc les sous-espaces propres de A sont orthogonaux deux à deux pour le produit scalaire canonique de Mn,1(R).
Réduction d’un endomorphisme symétrique
f est diagonalisable, et il existe une base orthonormée de E constituée de vecteurs propres de f
Réduction d’une matrice symétrique réelle
Lire dans cours, chiant à reécrire
Comment montrer qu’une application est une norme euclidienne def sur E
Pour montrer qu’une application N est une norme euclidienne definie sur E, il faut définir une application f sur E^2 par : f(x,y)= (1/2)(N^2(x+y) - N^2(x) – N^2(y), puis montrer que f est un produit scalaire sur E.
Comme quel que soit x appartenant à E, N(x)=racine de f(x,x) ,on en déduit alors que N est une norme euclidienne définie sur E, et que f est son produit scalaire associé.
