Rachunek różniczkowy Flashcards
Rachunek różniczkowy i całkowy
Podaj kryteria zbieżności szeregów o wyrazach dodatnich.
Kryterium porównawcze: Jeśli a_n <= b_n dla wszystkich n i szereg Σb_n jest zbieżny, to szereg Σa_n również jest zbieżny. Analogicznie, jeśli szereg Σb_n jest rozbieżny i a_n >= b_n, to szereg Σa_n jest również rozbieżny.
Kryterium ilorazowe (Cauchy’ego): Jeżeli istnieje granica lim (a_(n+1)/a_n), gdy n dąży do nieskończoności i jest ona mniejsza niż 1, to szereg jest zbieżny; jeśli jest większa niż 1, szereg jest rozbieżny; jeśli równa się 1, kryterium jest nierozstrzygające.
Kryterium pierwiastkowe (Cauchy’ego): Jeżeli lim n√(a_n) < 1, szereg jest zbieżny; jeśli lim n√(a_n) > 1, szereg jest rozbieżny; jeśli lim n√(a_n) = 1, kryterium jest nierozstrzygające.
Kryterium Cauchy’ego (warunek konieczny zbieżności): Aby szereg był zbieżny, konieczne jest, by ciąg jego wyrazów dążył do zera.
Kryterium całkowe (Maclaurina-Cauchy’ego): Jeżeli funkcja f(x) jest malejąca i ciągła dla x >= 1 oraz a_n = f(n), to zbieżność szeregu Σa_n jest równoważna zbieżności całki niewłaściwej ∫f(x)dx od 1 do nieskończoności.
Rachunek różniczkowy i całkowy
Podaj zastosowania pochodnej rzędu pierwszego dla funkcji jednej zmiennej.
Pochodna rzędu pierwszego funkcji jednej zmiennej ma wiele zastosowań, między innymi:
Określanie tempa zmiany funkcji: Pochodna mierzy szybkość zmiany wartości funkcji względem zmiany jej argumentu.
Wyznaczanie ekstremów lokalnych: Przez badanie zmian znaku pochodnej można znajdować punkty maksymalne i minimalne funkcji.
Analiza monotoniczności: Pochodna dodatnia wskazuje na wzrost funkcji, a ujemna na jej spadek.
Rysowanie wykresów funkcji: Pochodna pozwala na identyfikację kluczowych cech funkcji, które są przydatne przy szkicowaniu jej wykresu.
Optymalizacja: W problemach optymalizacyjnych pochodna jest używana do znajdowania wartości zmiennych, które maksymalizują lub minimalizują daną funkcję.
Rachunek różniczkowy i całkowy
Podaj rodzaje i omów sposób obliczania asymptot funkcji f(x).
Rodzaje asymptot:
* Pionowe: Kiedy x dąży do określonej wartości a, a funkcja f(x) dąży do nieskończoności.
* Poziome: Kiedy górna lub dolna granica funkcji f(x), gdy x dąży do nieskończoności, jest równa określonej stałej L.
* Ukośne (skośne): Gdy różnica między f(x) a prostą o równaniu y = mx + b dąży do zera, gdy x dąży do nieskończoności.
Obliczanie asymptot:
* Pionowe: Zbadanie, czy są wartości dla x, dla których mianownik funkcji dąży do zera.
* Poziome: Obliczenie granic funkcji f(x) dla x dążącego do plus i minus nieskończoności.
* Ukośne: Obliczenie współczynnika kierunkowego m jako granicy f(x)/x, gdy x dąży do nieskończoności, a następnie wyznaczenie wyrazu wolnego b jako granicy f(x) - mx, gdy x dąży do nieskończoności.
Rachunek różniczkowy i całkowy
Omów znane Ci sposoby całkowania funkcji jednej zmiennej.
Całkowanie przez podstawienie: Metoda ta polega na zastąpieniu części funkcji podcałkowej nową zmienną, co upraszcza całkę.
Całkowanie przez części: Wykorzystywane, gdy pod całką jest iloczyn dwóch funkcji, i polega na zastosowaniu wzoru całkowania przez części.
Całki nieoznaczone standardowych funkcji: Wykorzystanie tabeli podstawowych całek nieoznaczonych.
Rozkład na ułamki proste: Metoda używana dla funkcji wymiernych, polegająca na rozłożeniu funkcji na sumę ułamków prostszych.
Rachunek różniczkowy i całkowy
Podaj zastosowania całki oznaczonej dla funkcji f(x)
Obliczanie pola pod wykresem: Całka oznaczona może posłużyć do wyznaczenia pola powierzchni ograniczonej przez wykres funkcji.
Średnia wartość funkcji: Umożliwia obliczenie średniej wartości funkcji na określonym przedziale.
Fizyka i inżynieria: Wykorzystywana do obliczeń pracy, energii, masy, momentu bezwładności, centrum masy i innych wielkości fizycznych.
Teoria prawdopodobieństwa: W rozkładach ciągłych używana do określania prawdopodobieństwa wystąpienia zdarzenia w danym przedziale.
Gospodarka przestrzenna i ekonomia: Do obliczania kosztów, konsumenta i producenta, nadwyżek itp.
