quantification Flashcards
fonction paire
D est centré en zéro
∀𝓍∈D, f(-𝓍) = f(𝓍)
Fonction impaire
D est centré en zéro
∀𝓍∈D, f(𝓍) = -f(𝓍)
Périodicité
∀𝓍∈ℝ, f(𝓍+π/2) = f(𝓍)
Égalité
A = B ⇐⇒ (∀𝓍∈E, (𝓍∈A)⇐⇒(𝓍∈B))
ou
A = B ⇐⇒ (A⊂B) ⋀ (B⊂A)
Inclusion
A ⊂ B ⇐⇒ (∀𝓍∈E, (𝓍∈A)⇒(𝓍∈B))
Intersection
A ⋂ B ⇐⇒ (∀𝓍∈E, (𝓍∈A)⋀(𝓍∈B))
Réunion
A ⋃ B ⇐⇒ (∀𝓍∈E, (𝓍∈A)⋁(𝓍∈B))
Différence
A ∖ B ⇐⇒ (∀𝓍∈E, (𝓍∈A)⋀(𝓍∉B))
Réflexivité
∀𝓍∈E, 𝓍ℛ𝓍
Symétrie
∀ (𝓍,𝓎) ∈ E², 𝓍ℛ𝓎 ⇒ 𝓎ℛ𝓍
Antisymétrie
∀ (𝓍,𝓎) ∈ E², (𝓍ℛ𝓎 ⋀ 𝓎ℛ𝓍) ⇒ 𝓍=𝓎
transitivité
∀ (𝓍,𝓎,𝓏) ∈ E³, (𝓍ℛ𝓎)⋀(𝓎ℛ𝓏) ⇒ 𝓍ℛ𝓏
voisinage de a
∀a∈ℝ, ]-a-ε ; ε+a[
Majorant
∃ M ∈ ℝ, ∀ 𝓍 ∈ ℝ, M≥f(𝓍)
Minorant
∃ m ∈ ℝ, ∀ 𝓍 ∈ ℝ, m≤f(𝓍)
égalité de deux applications
f = g ⇐⇒ (E = E’) ⋀ (F= F’) ⋀ (∀𝓍∈ℛ, f(𝓍) = g(𝓍)
Injection
∀ (𝓍,𝓍’) ∈ E², f(𝓍) = f(𝓍’) ⇒ 𝓍=𝓍’
tout élément à l’arrivé à au plus un antécédent
Surjection
∀ 𝓎 ∈ F, ∃ 𝓍 ∈ E, 𝓎=f(𝓍)
tout élément d’arrivé a au moin un antécédent
Bijection
∀ 𝓎 ∈ F, ∃ 𝓍 ∈ E, 𝓎=f(𝓍)
Application
associe à chaque élément de départ exactement un élément à l’arrivée
fonction
associe à chaque élément de départ au plus un élément à l’arrivée
opérations avec des foction
(f+g) (x) = f(x) + g(x)
(f×g) (x) = f(x) × g(x)
(ɑf) (x) = ɑ(f (x))
bornée
∃(m, M) ∈ ℝ², ∀ 𝓍 ∈ E, m ≤ f(x) ≤ M
∃ M ∈ ℝ, ∀ 𝓍 ∈ E, ⎪f(x)⎥ ≤ M
strictement croissante
∀ (x, x’) ∈ E², x < x’ ⇒ f(x) < f(x’)
strictement décroissante
∀ (x, x’) ∈ E², x < x’ ⇒ f(x) > f(x’)
fonction constante
∃ c ∈ ℛ, ∀ 𝓍 ∈ I, c = f(x)
composition de fonctions monotones
f croissante et g croissante ⇒ g ∘ f croissante
f croissante et g décroissante ⇒ g ∘ f décroissante
f décroissante et g croissante ⇒ g ∘ f décroissante
f décroissante et g décroisssante ⇒ g ∘ f croissante
maximum en a
∀ 𝓍 ∈ I, f(x) ≤ f(a)
minimum en a
∀ 𝓍 ∈ I, f(x) ≥ f(a)
maximum relatif en a
∃ h > 0, (]a-h ; a+h[ ⊂ I) ⋀ (∀ x ∈ ]a-h ; a+h[) f(x) ≤ f(a)
minimum relatif en a
∃ h > 0, (]a-h ; a+h[ ⊂ I) ⋀ (∀ x ∈ ]a-h ; a+h[) f(x) ≥ f(a)
bijection réciproque
∀ (x, y) ∈ A × B, y = f(x) ⇐⇒ x = f⁻¹(y)
taux de variation de f en a
x ⟼ f(x) - f(a) / x -a
def de la dérivée en a
et donc sur une intervalle
dérivable en a signifie que taux de variation en a admet une limite réelle quand x tend vers a
donc dérivable sur intervalle = dérivable en tout point de I
tangente
y = f’(a) (x-a) + f(a)
fonction laissant chaque réel invariant
∀ x ∈ ℛ , f(x) = x
centrée en 0
∀ x ∈ D, -x ∈ D