part 3 Flashcards
1 Vektorji
Kaj je vektor? (1 točka)
Definirajte seštevanje vektorjev. (1 točka)
Definirajte ničelni vektor in nasprotni vektor danega vektorja. (1 točka)
Definirajte odštevanje vektorjev. (1 točka)
Povejte dve lastnosti seštevanja vektorjev.
sestevanjesestevanje vektorjev je operacija, ki paru vektorje a in b priredivsoto a + b, ki je vektor
sestevamo s trikotniskem pravilom ali pa parelogramskim
ničelni vektorj je vektor z dolzino 0
nasprotni: vektorj, ki iam gledne na prvotni vektor enako dolzino, vendar nasprotno smer.
vektorja odstevamo po palelogramskem ali trikotniskem pravilu.
2 lastnosti idk. komukativnost, asociativnost
idk mal manka
1 Vektorji
Definirajte množenje vektorja s skalarjem. (1 točka)
Kaj je enotski vektor? (1 točka)
Kakšna zveza velja med dvema neničelnima vzporednima vektorjema a in b ?
V pravilnem šestkotniku ABCDEF s S označimo presečišče najdaljših diagonal. Med
vektorji AB, AD, EF, BC in SE poiščite:
(1 točka)
– vse vzporedne vektorje (1 točka)
– par nasprotnih vektorjev (1 točka)
par nekolinearnih vektorjev.
mnozenje vektorja s stevilom je dvoclena operacija; produkt vektorja a z realnim stevilom k je vektor k*a.
enotski vektor e je vektor z dolzino 1 (IeI). enotski vektor v smeri danega vektorja a. a/IaI
vzporedna/ sta kolinearna, če obsstja k v IR, kjer je a=k*b
ce lezina na vzporednih premicah.
1 Vektorji
Opišite pravokotni koordinatni sistem v prostoru ℝ3. Definirajte standardno ortonormirano bazo v prostoru ℝ3. Definirajte krajevni vektor dane točke v prostoru ℝ3.
Izrazite krajevni vektor rA točke A(a1, a2, a3 ) kot linearno kombinacijo vektorjev
standardne ortonormirane baze prostora ℝ3.
(1 točka)
(1 točka)
(1 točka)
(1 točka)
Naj bosta A in B točki v prostoru ℝ3. Izrazite vektor AB s koordinatami točk A in B
in odgovor utemeljite.
sestavljajo ga tri med seboj pravokotne osi. x, y in z-apliaktna os. s skupnim izhodiscem v preseciscu. vsaja ticja v prosturu je dolocen z urejeeno trojico stevil(x,y,z). abscisa,ordinata,aplikata
na oseh pravokotnega koordinatnega sistema v prostoru lezijo enotski in med seboj pravokotni vektorji i, j, k.
krajevni vektor ra tocke A(xa,ya,za) je vektor od izhodisca koordinatnega sistema do tocke A in ga v ortonimirani bazi izrazimo. ra = OR = (xa, ya, za)
ra izrazen kot lin komb vektorjev v ortonomirani bazi:
xai + yaj + za*k
AB = rb - ra
1 Skalarni produkt
Kako izračunamo skalarni produkt dveh vektorjev, če poznamo njuni dolžini in kot med
njima? (1 točka)
Naštejte dve lastnosti skalarnega produkta. (2 točki)
Kako s skalarnim produktom ugotovimo, ali sta dana vektorja pravokotna? Pokažite
s primerom. (2 točki)
Izračunajte a * a in razložite dobljeno zvezo.
sklalarni produkt vektorjev a in b je realno stevilo, ki je enako produktu dolzine vektorja a in pravokotne projekcije vektorja b na smer vrktorja a
2 lastnosti: komukativnost ba = ab
homogenost m(ab) = (ma)b
distributivnost a*(b+c)
nenicelna vektorja sta pravokotna natanko tedaj ko je njun skalarni produkt = 0.
ab=ab*cos90
vektorj a * a. = Ia-nakvadratI = koren od a*a = dolzina vektroja = IaI
1 Skalarni produkt v standardni ortonormirani bazi
Kako izračunamo skalarni produkt dveh vektorjev v standardni ortonormirani bazi? (1 točka) Kako izračunamo dolžino vektorja v standardni ortonormirani bazi? Odgovor utemeljite. (2 točki) Kako izračunamo kot med vektorjema v standardni ortonormirani bazi? (1 točka) Ponazorite izračun kota med vektorjema s primerom.
skalarni produkt vektorje v a in b v ortonomirani bazi je enak vsoti zmnozkov enakoleznih komponenet vektorjev a in b
ab = a1b1 + a2*b2 + …
dolzina vektrojra v standardni ortonomirani bazi:
IaI = pod korenom a*a = po korenom a1-nakvadrat + a2-nakvadrat + a3-nakvadrat.
kot med vektorjema cos(y) = ab/ IaIIbI
pac pr a*b zradunas vsoto enakolezecih komponent
pa zracunas dolzine to pa nrdis da podkorenom sestejes kvadrate vsake koordinate.
1 Koordinatni sistem v ravnini
Opišite pravokotni koordinatni sistem v ravnini ℝ2.
(1 točka)
Izpeljite formulo za računanje razdalje med dvema točkama. (2 točki)
Povejte koordinati razpolovišča daljice z danima krajiščema. (1 točka)
Točko T (x, y) prezrcalite čez koordinatno izhodišče. Povejte koordinati tako dobljene
točke. (1 točka)
Točko T (x, y) prezrcalite čez ordinatno os. Povejte koordinati tako dobljene točke.
pravokotni koordinatni sistem dolocata dve pravokotni premici, opremljeni s koordinatnima sistemoma. njen opresešičce je izhodišče koordinatnega sistema na vsaki od teh dveh premic in hkrati izhodisce tega koordinatnega sistema ravinne. Ena premica je abscisna os druga pa ordinatna.
vsaka tocka v ravnini je dolocena z urejenim parom realnih stevil (x,y)
4 kvadranti.
razdalja med dvema tockama IABI = pod korenom (x2-x1)-nakvadrat
izpeljava narises dve tocki in ju povezees ta dalkjica je hipotenuza trikotnika. kateti sta pa x2-x1 …..
razpolovisce je aritmeticna sredina posamezna komponente.
1 Funkcije
Definirajte pojem funkcije (preslikave) iz množice A v množico B.
(1 točka)
Definirajte pojme definicijsko območje, zaloga vrednosti in graf funkcije. (3 točke)
Narišite graf ali povejte predpis funkcije
f , ki ima zalogo vrednosti Zf = (2, ).
(1 točka)
Narišite graf ali povejte predpis funkcije g, ki ima definicijsko območje Dg = (2, ).
preslikava mnozice A v mnozico B je predpis, ki vsakemu elementu x mnozice A priredi natankko določen element y v mnozii B.
mnozica a je definicijsko obmocje funkcije f.
mas sliko in original.
mnozica b je zaloga.
graf funkcije f je mnozica vseh urejenih parov (x,f(x)), kjer je x element mnozice A.
graf funkcije z zalogo 2, naeskoncno. f(x) = x-nakvadrat plus 2.
df (2,neskoncno) graf
pod korenom x-2.
1 Lastnosti funkcij
Kdaj je funkcija na intervalu naraščajoča in kdaj padajoča? (2 točki) Narišite graf ali povejte predpis funkcije, ki ni niti naraščajoča niti padajoča. (1 točka) Kdaj je funkcija f omejena? (2 točki)
Narišite graf ali povejte predpis padajoče funkcije, ki je navzgor omejena, navzdol pa
neomejena.
narascajoca, natanko tedaj ko za vsak par x1,x2 velja da ce je x1 manjsi od x2 potem je f(x1) mansi ali enak f(x2)
ce je strogo narascujc potem je samo vecji nepa vecjia lai enak..
funkcija ki ni nic samo neka kvadratna funkcija.
funkcija f na intervalu I monotona, ce na intervalu i povsod pada/narasca.
omejena: ce je omejena navzgor in navzdol.
funkcija f na intervalu I navzgor omejena ce obstaja tako realno stevilo M, da je f(x) < M zavsak x v intervalu. M zgornja meja
navzdol omejena . m spodnja meja
navzgor omejena, navzdol pa neomejena: kvadratnna narobe obrnjena.
1 Lastnosti funkcij
Kdaj je funkcija f liha in kdaj soda? (2 točki)
Kako iz grafa funkcije f vidimo, ali je funkcija f soda oziroma liha? (2 točki)
Naj bo funkcija f bijektivna. Kako poiščemo predpis inverzne funkcije f 1 ?
Kaj velja za grafa funkcij f in f na-1 ?
liha: ce za vsak x v df velja f(-x) = -f(x)
simetricen na koordinatno izhodisce
soda: ce za vsak x v Df velja f(-x) = f(x)
simetricen glede na ordinatno os y-os.
bijektivna: ce je hkrati
injektivna ( dva oppljubna elementa mnozice A preslikata v dva razlicna elementa mnozice B oz. vsak original ima razlicno sliko)
surjektivna( ce je vsak element mnozice B slika vsaj enega elementa mnozice B)
bijektivna: vsak element iz mnozice B je slika natanko elega elementa in mnozice A.
inverzna f: zamenjamo x in y nato pa izpostavimo y.
kaj velja idk
1 Linearna funkcija
Definirajte linearno funkcijo in povejte, kaj je njen graf. (2 točki)
V odvisnosti od diferenčnega količnika k preučite naraščanje in padanje linearne
funkcije f . (2 točki)
Za koliko se spremeni vrednost funkcije f , če vrednost neodvisne spremenljivke
povečamo za 2? (1 točka)
Kaj velja za grafa linearnih funkcij z enakima smernima koeficientoma?
je prslikafa f: R v R dana spredpisom f(x) = kx + n
k je diferencni kolicnik in pomeni razmerje med spremembo vrednosti funkcije in spremembo neodvisne sprejemljivke.
k = y2-y1/x2-x1
ce je k vec od 0 narasca
ce je manj od 0 pada
konstanta ce je k = 1
da sta vzporedna
1 Enačba premice
Zapišite eksplicitno obliko enačbe premice. Enačbe katerih premic lahko zapišemo v tej
obliki? (2 točki)
Zapišite implicitno obliko enačbe premice. Enačbe katerih premic lahko zapišemo v tej
obliki? (2 točki)
Zapišite odsekovno obliko enačbe premice. Enačbe katerih premic lahko zapišemo v tej
obliki?
eksplicitna y= kx+n
nemormo zapisat tistih ki so vzporedne ordinatni osi
implicitna: ax + by+c = 0. lahko zapisemo enacbe vseh premic
odsekovna( segmentna) x/m + y/n = 1 n,m sta IR
nemormov tistih ki so vzporedne s koordinatnima osema ali pa grejo skozi koordinatno izhodisce.
1 Premice v ravnini
Definirajte naklonski kot premice v ravnini ter razložite zvezo med naklonskim kotom in
smernim koeficientom dane premice (če ta obstaja). (2 točki) Kako izračunamo kot med premicama, če poznamo njuna smerna koeficienta? (1 točka) Kaj velja za smerna koeficienta vzporednih premic? (1 točka)
Kaj velja za smerna koeficienta pravokotnih premic? (1 točka) Kolikšen je smerni koeficient premice, ki je pravokotna na simetralo lihih kvadrantov?
idk
pri pravokotnih je smerni koeficient obraten in nasporten.
1 Linearne neenačbe
Kaj je linearna neenačba z eno neznanko? (1 točka)
Na primeru opišite reševanje linearnih neenačb z eno neznanko. (2 točki) Opišite vse možne množice rešitev poljubne linearne neenačbe z eno neznanko.
lin ne enacbe. najdemo x= 0 in pogledamo interval kjer je zeljena vrednost.
resitve
1 Potenčna funkcija
Definirajte potenčno funkcijo z naravnim eksponentom. (1 točka)
Narišite grafa potenčnih funkcij, ki imata eksponenta 2 in 3. (2 točki)
Navedite vsaj dve lastnosti potenčnih funkcij. (1 točka)
Navedite osnovne razlike v lastnostih med potenčnimi funkcijami s sodim in potenčnimi funkcijami z lihim naravnim eksponentom.
je realna funkcija realen spremenljivke dana s predipisom f(x) = x na n
dve lastnosti:
nevem omejenost, narascajoca, simetricna idkk odvosn od eksponenta.
simetricnost, navzdol omejenost df..
1 Korenska funkcija
Za poljubno naravno število n definirajte korensko funkcijo f s predpisom f (x ) = n x .
(2 točki)
Narišite grafa korenskih funkcij za n = 2
in n = 3.
(2 točki)
Navedite definicijski območji in zalogi vrednosti korenskih funkcij za n = 2
in n = 3.
sussy ne vid se korenov
