Noções De Lógica Flashcards
Preposição
Toda oração declarativa que pode ser classificada em verdadeira ou em falsa.
Apresenta 3 características Obrigatórias:
1ª) sendo oração, tem sujeito e predicado;
2ª) é declarativa (não é exclamativa nem interrogativa);
3ª) tem um, e somente um, dos dois valores lógicos: ou é verdadeira (V) ou é falsa (F).
Exemplos: São proposições:
a) Nove é diferente de cinco. (9 ≠ 5)
b) Sete é maior que três. (7 > 3)
c) Dois é um número inteiro. (2 ∈ Z)
d) Três é divisor de onze. ( 3/11 )
e) Quatro vezes cinco é igual a vinte. (4 . 5 = 20) Dessas proposições, todas são verdadeiras, exceto d.
Negação
A partir de uma proposição p qualquer, sempre podemos construir outra, denominada NEGAÇÃO DE P e indicada com o SÍMBOLO ~P.
Exemplos:
a) P: Nove é diferente de cinco. (9 ≠ 5) ~P: Nove é igual a cinco. (9 = 5)
b) P: Sete é maior que três. (7 > 3) ~P: Sete é menor ou igual a três. (7 ≤ 3)
Para que ~P seja realmente uma proposição, devemos ser capazes de classificá-la em verdadeira (V) ou falsa (F). Para isso vamos postular (decretar) o seguinte critério de classificação:
A proposição ~P tem sempre o valor oposto de P, isto é, ~P é verdadeira quando P é falsa e ~P é falsa quando P é verdadeira.
Proposição Composta – Conectivos
A partir de proposições dadas podemos construir novas proposições mediante o emprego de dois símbolos lógicos chamados conectivos: o conectivo ∧ (lê-se: e) e o conectivo ∨ (lê-se: ou).
Resumo:
∧ = E
∨ = Ou
Proposição Composta CONECTIVO ∧
Colocando o CONECTIVO ∧ entre duas proposições P e Q, obtemos uma NOVA PROPOSIÇÃO, P ∧ Q, denominada CONJUNÇÃO das sentenças P e Q.
Exemplos:
1º) p: 2 > 0
q: 2 ≠ 1
p ∧ q: 2 > 0 e 2 ≠ 1
2º) p: -2 < -1
q: (-2)² < (-1)²
p ∧ q: -2 < -1 e (-2)² < (-1)²
Vamos postular um critério para estabelecer o valor lógico (V ou F) de uma conjunção a partir dos valores lógicos (conhecidos) das proposições p e q:
A conjunção P ∧ Q é verdadeira se P e Q são ambas verdadeiras; se ao menos uma delas for falsa, então p ∧ q é falsa.
CONECTIVO ∧ Denominado: CONJUNÇÃO
É Verdadeira: Se Ambas São Verdadeiras.
Preposição Composta CONECTIVO ∨
Colocando o conectivo ∨ entre duas proposições P e Q, obtemos uma nova proposição, p ∨ q, denominada DISJUNÇÃO das sentenças P e Q.
Exemplos: 1º)
p: 5 > 0 (cinco é maior que zero)
q: 5 > 1 (cinco é maior que um)
p q: 5 > 0 ou 5 > 1 (cinco é maior que zero ou maior que um)
2º) p: 3 = 3 (três é igual a três)
q: 3 < 3 (três é menor que três)
p ∨ q: 3 ≤ 3 (três é menor ou igual a três)
Vamos postular um critério para estabelecer o valor lógico (V ou F) de uma disjunção a partir dos valores lógicos (conhecidos) das proposições p e q:
A disjunção P ∨ Q é verdadeira se ao menos uma das proposições P ou Q é verdadeira; se P e Q são ambas falsas, então p ∨ q é falsa.
CONECTIVO ∨ DENOMINADO: DISJUNÇÃO
É Verdadeira: Se Ao Menos Uma For Verdadeira
Exemplo Dos CONECTIVOS
Conectivo E:
O conectivo “e” é usado para indicar que ambas as condições de uma frase precisam ser verdadeiras para que a frase seja verdadeira.
Exemplos:
• Preciso estudar e dormir bem para ter um bom desempenho na prova. (Ambas as condições, estudar e dormir bem, são necessárias para ter um bom desempenho.)
• Ele gosta de futebol e basquete. (Ele gosta dos dois esportes.)
• Você pode pagar com cartão de crédito ou dinheiro. (Ambas as formas de pagamento são válidas.)
Conectivo OU:
O conectivo “ou” é usado para indicar que pelo menos uma condição de uma frase precisa ser verdadeira para que a frase seja verdadeira.
Exemplos:
• Preciso estudar ou dormir bem para ter um bom desempenho na prova. (Basta que uma das condições seja verdadeira.)
• Ele gosta de futebol ou basquete. (Ele pode gostar de um dos esportes ou dos dois.)
• Você pode pagar com cartão de crédito ou dinheiro. (Você pode escolher qual forma de pagamento usar.)
Diferença Entre Os Conectivos E∧ e OU∨
A principal diferença entre os conectivos “e” e “ou” é a necessidade de ambas as condições serem verdadeiras. No caso do “E”, ambas as condições precisam ser verdadeiras, enquanto no caso do “Ou”, basta que uma das condições seja verdadeira.
E:
• Se você comer salada e beber água, estará se hidratando de forma saudável. (Ambas as ações, comer salada e beber água, são necessárias para se hidratar de forma saudável.)
• Para ter sucesso na vida, é preciso estudar e trabalhar duro. (Ambas as ações, estudar e trabalhar duro, são necessárias para ter sucesso.)
OU:
• Você pode ir ao cinema ou assistir um filme em casa. (Você pode escolher uma das opções.)
• Posso te ajudar com a matemática ou com a física. (Você pode escolher qual matéria precisa de ajuda.)
Condicionais
Ainda A PARTIR DE PROPOSIÇÕES DADAS PODEMOS CONSTRUIR NOVAS PROPOSIÇÕES MEDIANTE o emprego de outros DOIS SÍMBOLOS LÓGICOS chamados CONDICIONAIS: o condicional SE… ENTÃO… (símbolo: →) e o condicional … SE, E SOMENTE SE, … (símbolo: ↔).
Condicional 1 = Se… Então…
Condicional 2 = Se, E Somente Se,…
Observações:
• Em “Se… Então…”, a primeira parte (antecedente) é a condição para a segunda parte (consequente) ser verdadeira.
• Em “Se, e Somente Se,…”, ambas as partes precisam ser verdadeiras para que a proposição seja verdadeira.
Condicional →
Colocando o condicional → entre duas proposições P e Q, obtemos uma nova proposição, P → Q, que se lê: “se P, então Q”, “P é condição suficiente para Q”, “Q é condição necessária para P”.
No condicional P → Q, a proposição P é chamada ANTECEDENTE e Q é chamada Consequente.
Preposição P= Antecedente
Preposição Q= Consequente
Exemplos:
1º) P: dois é divisor de quatro (2/4)
Q: quatro é divisor de vinte (4/20 )
P → Q: se dois é divisor de quatro, então quatro é divisor de vinte ( 2 / 4 → 4 / 20
2º) P: dois vezes cinco é igual a dez (2 . 5 = 10)
Q: três é divisor de dez (3/10)
P → Q: se dois vezes cinco é igual a dez, então três é divisor de dez ( 2 . 5 = 10 → 3 / 10
Vamos postular um critério de classificação para a proposição P → Q baseado nos valores lógicos de P e Q:
O condicional P → Q é falso somente quando P é verdadeira e Q é falsa; caso contrário, P → Q é verdadeiro.
P → Q é Falso = Qnd P (V) e Q (F)
O Que São Condicionais?
Na lógica matemática, as condicionais conectam duas proposições, criando uma relação de dependência entre elas. Essa relação é expressa pela frase “se P, então Q”, onde:
P é a proposição antecedente (condição);
Q é a proposição consequente (resultado).
Simbologia:
A condicional é representada pelo símbolo →. Então, a frase “se P, então Q” se escreve como:
P → Q
Interpretando a condicional:
A condicional não garante a veracidade de Q, mas apenas indica que Q é uma consequência de P. Ou seja, se P for verdade, então Q deve ser verdade.
Exemplo:
P: Está chovendo.
Q: O chão está molhado.
Condicional: Se está chovendo, então o chão está molhado.
Condicional ↔
Colocando o condicional ↔ entre duas proposições P e Q, obtemos uma nova proposição, P ↔ Q, que se lê: “P se, e somente se, Q”, “P é condição necessária e suficiente para Q”, “Q é condição necessária e suficiente para P” ou “se P, então q e reciprocamente”.
Ex:
4 é maior que 2 se e somente se 2 for menor que 4 .
P: 4 é maior que 2
Q: 2 é menor que 4
Temos que a Bicondicional é equivalente á:
P → Q (Se 4 é maior que 2, então 2 é menor que 4)
Q → P( Se 2 é menor que 4, então 4 é maior que 2)
A Bicondicional expressa uma condição suficiente e necessária.
4 ser maior que 2 é condição suficiente e necessária para 2 ser menor do que 4.
Vamos postular para o condicional p ↔ q o seguinte critério de classificação:
O condicional ↔ é verdadeiro somente quando P e Q são ambas verdadeiras ou ambas falsas; se isso não acontecer, o condicional ↔ é falso.
condicional ↔ é verdadeiro = Somente quando P e Q são verdadeiras, ou ambas falsas.
Tautologia
Seja v uma proposição formada a partir de outras (p, q, r, …) mediante o emprego de conectivos (∨ ou ∧) ou de modificador (~) ou de condicionais (→ ou ↔). Dizemos que v é uma tautologia ou proposição logicamente verdadeira quando v tem o valor lógico V (verdadeira) independentemente dos valores lógicos de p, q, etc.
Tautologia = SEMPRE Verdadeira independentemente dos valores lógicos das proposições que a compõem.
Tautologia - Proposições Logicamente Falsas
Seja f uma proposição formada a partir de outras (p, q, r, …) mediante o emprego de conectivos (∨ ou ∧) ou de modificador (~) ou de condicionais (→ ou ↔). Dizemos que f é uma proposição logicamente falsa quando f tem o valor lógico F (falsa) independentemente dos valores lógicos de p, q, etc.
