Análise Combinatória Flashcards
Tipos de Análise Combinatória?
• Arranjo: Se a ordem das bolas escolhidas importa, estamos falando de um arranjo.
• Combinação: Se a ordem das bolas escolhidas não importa, estamos falando de uma combinação.
• Permutação: Se você pode escolher a mesma bola mais de uma vez, estamos falando de uma permutação.
Análise Combinatória PERMUTAÇÃO Fórmulas?
Permutação:
• Sem repetição:
P(n,r) = n! / (n - r)!
Onde:
n é o número total de elementos.
r é o número de elementos que você escolhe.
• Com repetição:
P(n,r) = n^r
Onde:
n é o número total de elementos.
r é o número de elementos que você escolhe.
Exemplo PERMUTAÇÃO Sem Repetição:
Quantas maneiras diferentes existem de escolher 3 letras da palavra “CASA” e colocá-las em uma fila?
Solução:
• O número total de elementos é 4 (C, A, S, A).
• O número de elementos que escolhemos é 3.
• Usando a fórmula da permutação sem repetição:
P(4,3) = 4! / (4 - 3)! = 4 * 3 * 2 = 24
Exemplo PERMUTAÇÃO Com Repetição:
Quantas maneiras diferentes existem de escolher 3 dígitos do conjunto {1, 2, 3} e formar um número de 3 dígitos?
Solução:
• O número total de elementos é 3 (1, 2, 3).
• O número de elementos que escolhemos é 3.
• Usando a fórmula da permutação com repetição:
P(3,3) = 3^3 = 27
Fórmula básica:
A fórmula básica para calcular o número de permutações de n elementos distintos é:
Pn = n!
Onde:
• Pn é o número de permutações de n elementos.
• n! é o fatorial de n, que se calcula multiplicando todos os números inteiros positivos de 1 a n.
Exemplo:
Quantas maneiras diferentes existem de organizar 3 letras diferentes, A, B e C?
Usando a fórmula da permutação, temos:
P3 = 3!
3! = 3 x 2 x 1 = 6
Permutação com repetição:
Se alguns dos elementos do conjunto forem iguais, a fórmula da permutação precisa ser modificada para levar em consideração a repetição.
A fórmula para calcular o número de permutações de n elementos, com r elementos repetidos k vezes, s elementos repetidos l vezes, e assim por diante, é:
Pn = n! / (k! * l! * …)
Exemplo:
Quantas maneiras diferentes existem de organizar 4 letras, onde A aparece 2 vezes e B, C e D aparecem uma vez cada?
Usando a fórmula da permutação com repetição, temos:
P4 = 4! / (2! * 1! * 1!)
P4 = 4 x 3 / 2 = 6
Portanto, existem 6 maneiras diferentes de organizar as letras A, A, B, C e D.
Permutação circular:
Em uma permutação circular, os elementos são organizados em um círculo, de modo que o primeiro elemento também é o último.
A fórmula para calcular o número de permutações circulares de n elementos é:
PCn = (n-1)!
Exemplo:
Quantas maneiras diferentes existem de organizar 4 pessoas em uma mesa redonda?
Usando a fórmula da permutação circular, temos:
PC4 = (4-1)!
PC4 = 3! = 6
Portanto, existem 6 maneiras diferentes de organizar 4 pessoas em uma mesa redonda.
Lembre-se:
• A fórmula básica da permutação é Pn = n!.
• A fórmula para permutação com repetição é Pn = n! / (k! * l! * …).
• A fórmula para permutação circular é PCn = (n-1)!.
Análise Combinatória ARRANJO Fórmulas?
• Sem repetição:
A(n,r) = n! / (n - r)!
Onde:
• n é o número total de elementos.
• r é o número de elementos que você escolhe.
• Com repetição:
A(n,r) = n^r
Onde:
• n é o número total de elementos.
• r é o número de elementos que você escolhe.
Exemplos Sem Repetição:
Quantas maneiras diferentes existem de escolher 3 bolas de uma caixa com 10 bolas e colocá-las em uma fila?
Solução:
• O número total de elementos é 10.
• O número de elementos que escolhemos é 3.
• Usando a fórmula do arranjo sem repetição:
A(10,3) = 10! / (10 - 3)! = 10 * 9 * 8 = 720
Exemplo Com Repetição:
Quantas maneiras diferentes existem de escolher 3 dígitos do conjunto {1, 2, 3} e formar um número de 3 dígitos, podendo repetir os dígitos?
Solução:
• O número total de elementos é 3 (1, 2, 3).
• O número de elementos que escolhemos é 3.
• Usando a fórmula do arranjo com repetição:
A(3,3) = 3^3 = 27
Fórmula básica:
A fórmula básica para calcular o número de arranjos de n elementos tomados p a p é:
An,p = n! / (n - p)!
Onde:
An,p é o número de arranjos de n elementos tomados p a p.
n! é o fatorial de n, que se calcula multiplicando todos os números inteiros positivos de 1 a n.
(n - p)! é o fatorial de n - p, que se calcula multiplicando todos os números inteiros positivos de 1 a n - p.
Exemplo:
Quantas maneiras diferentes existem de escolher 3 cartas de um baralho de 52 cartas e organizá-las em uma sequência?
Usando a fórmula do arranjo, temos:
A52,3 = 52! / (52 - 3)!
A52,3 = 52! / 49!
A52,3 = 52 x 51 x 50 = 132.600
Portanto, existem 132.600 maneiras diferentes de escolher 3 cartas de um baralho de 52 cartas e organizá-las em uma sequência.
Lembre-se:
• A fórmula básica do arranjo é An,p = n! / (n - p)!.
• A ordem dos elementos é importante no arranjo.
Análise Combinatória COMBINAÇÃO Fórmulas?
C(n,r) = n! / (r! * (n - r)!)
Onde:
• n é o número total de elementos.
• r é o número de elementos que você escolhe.
Exemplo Combinação:
Quantas maneiras diferentes existem de escolher 3 bolas de uma caixa com 10 bolas, sem se importar com a ordem?
Solução:
• O número total de elementos é 10.
• O número de elementos que escolhemos é 3.
• Usando a fórmula da combinação:
C(10,3) = 10! / (3! * (10 - 3)!) = 10 * 9 * 8 / (3 * 2 * 1) = 1
Exemplo:
Quantas maneiras diferentes existem de escolher 3 bolas de uma caixa com 10 bolas, sem se importar com a ordem?
Solução:
• O número total de elementos é 10.
• O número de elementos que escolhemos é 3.
• Usando a fórmula da combinação:
C(10,3) = 10! / (3! * (10 - 3)!) = 10 * 9 * 8 / (3 * 2 * 1) = 1
Princípio Fundamental da Contagem.
Permite calcular o número total de possibilidades em situações que envolvem escolhas sucessivas e independentes. Isso significa que cada escolha que você faz não influencia as outras escolhas que você pode fazer.
Exemplos:
Imagine que você está montando um sanduíche e tem as seguintes opções:
Pão: 3 tipos diferentes (branco, integral e australiano)
Queijo: 2 tipos diferentes (cheddar e mussarela)
Presunto: 2 tipos diferentes (presunto normal e parma)
Para calcular o número total de sanduíches diferentes que você pode montar, você precisa multiplicar o número de opções de cada ingrediente:
3 tipos de pão x 2 tipos de queijo x 2 tipos de presunto = 12 sanduíches diferentes
Fórmula:
Número total de possibilidades = n₁ x n₂ x … x nₙ
Onde:
• n₁ é o número de opções na primeira etapa
• n₂ é o número de opções na segunda etapa
• …
• nₙ é o número de opções na última etapa
