MPI-dusledky1

Question 1

počet podgrup v grupe s prvociselnym radem

Answer 1

ma pouze trivialni podgrupy (Lang. Veta)

Question 2

cyklicke grupy

Answer 2

Z+n jsou cyklické grupy pro všechna n a generátorem jsou všechná kladná

Question 3

Grupa Z×p

Answer 3

má řád p − 1. Také platí; že je cyklická a a má tedy φ(p − 1) generátorů

Question 4

dusledky izomorfizmu

Answer 4

Neutrální prvek jedné grupy se homomorfizmem zobrazí vždy na neutrální prvek té druhé. Také inverze se zachovávají ve smyslu toho; že φ(x−1) = φ(x)−1.

Question 5

okruhy/telesa

Answer 5

Okruh celých čísel (Z; +; ·) není těleso; neb v (Z \ {0}; ·) chybí inverzní prvky. Okruh racionálních čísel (Q; +; ·) je těleso. Dokonce nejmenší číselné těleso (sobvyklými aritmetickými operacemi).

Question 6

ireducibilni polynomy

Answer 6

x2 + 1 je ireducibilní nad Q; x2 − 1 = (x + 1)(x − 1) není. x 2 + 1 je ireducibilní nad tělesem Q; ale není ireducibilní nad tělesem Z2; kde se koeficienty počítají modulo 2!

Question 7

GF(2n): aditivní grupa

Answer 7

Má řád pn. Neutrální prvek je 00···0 =0n. Není cyklická; dokonce pro každý prvek x platí; že p × x = x

Question 8

GF(2n): multiplikativní grupa

Answer 8

Má řád pn − 1. Neutrální prvek je 00 · · · 1 = 0n−11. Inverzi ke každému prvku umíme nalézt. Je vždy cyklická.